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例谈角平分线在高中数学解题中的应用

例谈角平分线在高中数学解题中的应用


例谈角平分线在解析几何中的应用
作者:马杰 工作单位: 安徽省宿州学院附属实验中学 邮编:234000

角平分线是初中学过的基本知识, 但它频繁出现在高中数学试题中, 为了提高同学们解 题能力,笔者现把它的基本用法给与归类如下: 1.经常与等腰三角形、菱形等知识的结合使用,如等腰三角的三线合一定理、菱形的对角 线平分一组对角等等; 2.与向量的知识结合使用,如图 1,OC 是∠AOB 的平 分 线 , 则 直 线 OC 的 方 向 向 量 可 以 表 示 为

OC ? ? (

OA OB ? ); OA OB

3.角是一个轴对称图形, 它的对称轴就是角平分线所在 的直线,然后再利用点的对称或直线的对称知识解 题; 4.利用三角形的内角平分线定理即比例性质解题,如图 2 在 ? ABC 中, 是∠A 的平分线, AD 则利用相似三角形或 正弦定理很容易得:

AB AC

?

BD DC



5.利用角平分线性质解题.定理:角平分线上的点到这个角 的两边距离相等.逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线 上.然后再使用点到直线距离的公式可以解题.现举例如下: 例1、已知如图 3,点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐 16 12

标原点,若 M 是∠F1PF2 平分线上的一点,且 F1M⊥MP,则 OM 的取值范围是_______. 分析:利用 M 是∠F1PF2 平分线上的一点,且 F1M⊥ MP, ? F1F2N 是等腰三角形且判断 OM 是的中位线, 得 把 OM 用 PF1,PF2 表示,再利用椭圆的焦半径公式, 转化为用椭圆上点的横坐标表示,借助椭圆的范围即 可求出 OM 的范围。如图,延长 PF2,F1M,交与 N 点,∵PM 是∠F1PF2 平分线,且 F1M⊥MP, ∴|PN|=|PF1|,M 为 F1F2 中点, 连接 OM,∵O 为 F1F2 中点,M 为 F1F2 中点 ∴|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2|| ∵在椭圆中,设 P 点坐标为(x0,y0) 则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0, ∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=|x0| ∵P 点在椭圆上,∴|x0|∈[0,4], 又∵当|x0|=4 时,F1M⊥MP 不成立,∴|x0|∈[0,4)

∴|OM|∈[0,2) 例2、 (2003 年天津高考题)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( (A)外心

AB | AB |

?

AC | AC |

) , ? ? ?0 , ?? ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) +
(C)重心 (D)垂心

(B)内心

??? ? ???? ??? ???? ? AB AC ? 分析:因为 ??? 、???? 分别是与AB、 同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则 AC | AB | | AC | ??? ? ???? AB AC ? 知 ??? ? ???? 是与∠ABC 的角平分线(射线)同向的一个向量,又 | AB | | AC | ??? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? AB AC OP ? OA ? AP ? ? ( ??? ? ???? ) ,知 P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线,从而点 P 的轨迹一 ? AB AC
定通过△ABC 的内心。 例3、(2011 全国卷)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y 2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 9 27


M 的坐标为(2,0) ,AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = 分析:由三角形的内角平分线性质定理得:

| AF2 | | MF2 | 1 ? ? ,| AF1 | ? | AF2 |? 2a ? 6 故 | AF2 |? 6 . | AF1 | | MF1 | 2
例4、如图 4 在 ? ABC 中,已知 A(-1,5) ,∠B 与∠C 的平分线所在的直线方程为 x-y+2=0 和 y=2.求 BC 所在的直线方程. 分析:因为 BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线 所以点 A(-1,5)关于直线 BD:x-y+2=0 的对称点 A1 (3,1)在 BC 上; 点 A(-1,5)关于直线 CE:y=2 的对称点 A2(-1,-1) 也在 BC 上。 利用直线两点式方程得 BC 的直线方程是 x-2y-1=0 例 5、已知在△ABC 中,A 点坐标(-1,3) ,过 B 点的 角平分线所在直线方程为 2x-y=0,过 C 点的中线所在直线的方程为 x+7y+5=0,求 B 点的坐 标和 BC 边所在直线的方程。 分析:

x ? 1 7 y ? 21 ? x ?1 y ? 3 ? 设B? x, y ? ? AB中点? , ? ?5 ? 0 ?在x ? 7 y ? 5 ? 0上, ? 2 ? 2 2 ? 2 ? x ? 7 y ? 30 ? 0 又B? x, y ?在直线y ? 2 x上, ? x ? ?2, y ? ?4 ? B?? 2,?4 ? 2 ? k BC k ?2 又AB与BC关于直线y ? 2 x对称, ? AB ? k AB ? 7 1 ? 2k AB 1 ? 2k BC ? k BC ? 1 ? BC : y ? x ? 2 ? 0
例 6、 (2010·安徽卷)已知如图 5,椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在

x 轴上,离心率 e ?

1 。 2

(1)求椭圆 E 的方程;(2)求 ?F AF2 的角平分线所在直线 L 的 1 方程;

x2 y 2 分析: (1)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b
由题意 e ?

c 1 4 9 ? , 2 ? 2 ? 1 ,又? c 2 ? a 2 ? b2 ,解得: a 2 a b

c ? 2, a ? 4, b ? 2 3

? 椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 16 12

(2)方法 1:由(1)问得 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,又? A ? 2,3? ,易得 ?F AF2 为直角三角 1 形,其中 AF2 ? 3, F F2 ? 4, AF ? 5, 1 1 设 ?F AF2 的角平分线所在直线 L 与 x 轴交于点 M ,根据三角形内角平分线定理可知: 1

1 3 AF1 AF2 ,可得 F2 M ? , ? M ( , 0) ? 2 2 F1M F2 M

1 y ?0 2 ,即 ? ? 直线 L 的方程为: 1 3?0 2? 2 x?

y ? 2x ?1 。
方法 2:利用角平分线的方向向量,由(1)问得 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,又? A ? 2,3? ,

???? ???? ? ? AF1 ? (?4, ?3) , AF2 ? (0, ?3) , ???? ???? ? AF1 AF2 1 1 4 ? ? ???? ? ???? ? (?4, ?3) ? (0, ?3) ? ? (1, 2) , 3 5 | AF1 | | AF2 | 5
? kl ? 2 ,? 直线 L 的方程为: y ? 3 ? 2( x ? 2) ,即 y ? 2 x ? 1 。
方法3: 利用角平分线的性质, 设点 C (x,y) 是角平分线 L 上任意一点, 根据点 C 到 PF1 的

距离等于点 C 到 PF2 的距离得,

3x ? 4 y ? 6 5

? x?2

,化简得: y ? ?

1 x?4或 2

y ? 2 x ? 1 ,又因为直线 L 的斜率大于 0,所以直线 L 的方程为 y ? 2 x ? 1 .


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