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广东省广州市番禺中学2012-2013学年高二上学期期中数学试题 Word版含答案

广东省广州市番禺中学2012-2013学年高二上学期期中数学试题 Word版含答案


番禺中学 2012-2013 学年高二上学期期中数学理试题
试卷说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟.试卷满 分 150 分. 注意事项: 1.考生应在答题之前将班级、姓名、学号、试室号、座位号填写在答题卡、答题卷指 定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,应将对应题目的答案标号填写在答题卡指定的位置上. 3.非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划 掉原来的答案, 然后写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试过程中不得使用计算器. ....... 5.考生必须保持答题卡、答题卷的整洁,考试结束后,将答题卡、答题卷一起交回.

第Ⅰ卷

选择题

(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.函数 f ( x ) ?
A . ( ? ? , ? 1)
1 1? x ? lg (1 ? x ) 的定义域是(


D . (?? , ?? )

B . (1, ? ? )
x ? 2
3

C . ( ? 1,1) ? (1, ? ? )

2.函数 f ? x ? ?
A . ( ? 2 ,0 )

的零点所在的区间是(
B . ( 0 ,1 )


C . (1 , 2 )

D .

( 2 ,3 )

? ? 3. 若直线 ? x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为(

)

A.

?1

B . ?

C .

?

D .

??

4.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 (
A .3 B . 11
C . 38

) .

D . 123

5.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ...
A.
3

)

B .2

C .2

3

D .6

6.已知函数 y ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , | ? |? 则(
A.

?
2

) 的部分图象如题图所示,


? ? 1, ? ? ?
6

B . ? ? 1, ? ? ? D .? ? 2,? ? ?

?
6

C . ? ? 2,? ?

?
6

?
6

7.如图,矩形 A B C D 中,点 E 为边 C D 的中点,若在矩形 A B C D 内部随 机取一个点 Q ,则点 Q 取自 Δ A B E 内部的概率等于(
A.
1 4


D .
2 3

B .

1 3

C .

1 2

8.已知向量 a ? (1,0) b ? (0,1) c ? a ? ? b ( ? ? R) , , ,向量 d 如图所示.则(



A.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60
?

C.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 3 0 ? D.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 共线

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分 9.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 1 5 0 、 1 5 0 、 4 0 0 、 3 0 0 名学生,为了解学生的 就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 4 0 名学生进行调查,应在丙 专业抽取的学生人数为 .
??? ???? ?

? 10.在 ? A B C 中, ? A ? 9 0 ,且 A B ? B C ? ? 1 ,则边 AB 的长为



11.如图,点 ( x , y ) 在四边形 A B C D 内部和边界上运动,那么 z ? 2 x ? y 的 最小值为________.

12.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 4,则该双曲线的离心 率为 .

13. 在平 面直 角坐 标 系 x O y 中 , 有一 定点 A ( 2 , , 若 线 段 O A 的垂 直 平分 线过 抛物 线 1)
y
2

? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点,则该抛物线的准线方程是



14.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)
y 与乘客量 x

之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两

种调整的建议,如图(2) (3)所示.

给出下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有说法正确的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? s in ( ? ? x ) s in (
?
2 ? x) ? cos x .
2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(2)当 x ? [ ?

?
8

,

3? 8

] 时,求函数 f ( x ) 的值域.

16. (本题满分 12 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1, 2 , 3, 4 , 5 .现从一批该 日用品中随机抽取 2 0 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

(1)若所抽取的 2 0 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求
a , b , c 的值;

(2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x 1 , x 2 , x 3 ,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y 1 , y 2 ,现从这 5 件日用品 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取两件(假定每件日用品被取出 的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

17.(本题满分 14 分)

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABC D 中 , 底 面 ABC D 是 平 行 四 边 形 , ? AD C ? 45? ,
A D ? A C ? 1 , O 为 A C 的中点, P O ? 平 面 A B C D , P O ? 2 , M 为 P D 的中点.

(1)证明: P B // 平 面 A C M ;

(2)证明: A D ? 平 面 P A C ; (3)求三棱锥 M ? ADC 的体积.

18.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) ? ax
2

? bx ( a ? 0 ) 满足条件: f ( 2 ) ? 0 且方程 f ( x ) ? x 有等根.

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)问是否存在实数 m , n ( m ? n ) 使 f ( x ) 的定义域和值域分别为 ? m , n ? 和 ?2 m , 2 n ? , 如存在, 求出 m , n 的值;如不存在,说明理由.

19.(本题满分 14 分) 已知在平面直角坐标系 x O y 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F ( ? 3 , 0 ) , 右顶点为 D ( 2 , 0 ) ,设点 A ? 1,
? ? 1 ? ?. 2 ?

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 P A 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B , C ,求 ? A B C 面积的最大值.

20.(本题满分 14 分) 设各项均为正数的等比数列 { a n } 中, a 1 ? a 3 ? 1 0 , a 3 ? a 5 ? 4 0 .设 b n ? lo g 2 a n . (1)求数列 { b n } 的通项公式;

(2)若 c 1 ? 1 , c n ? 1 ? c n ?

bn an

,求证: c n ? 3
1 bn ? 1 1 bn ? 2 1 bn ? n k 10

(3)是否存在正整数 k ,使得

?

?? ?

?

对任意正整数 n 均成

立?若存在,求出 k 的最大值,若不存在,说明理由.

广东番禺中学 2012-2013 学年度上学期高二年级期中 考试 数学参考答案与评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (9) 16 ; (10) 1; ( 11) 1; ②③. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15.(本小题满分 12 分) ( 12) 2; ( 13)
x ? ? 5 4



(14)

16. (本题满分 13 分) 解: (1)由频率分布表得
a ? 0 .2 ? 0 .4 5 ? b ? c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0 .3 5 .????2

分 因 为 所 抽 取 的 20 件 日 用 品 中 , 等 级 系 数 为 4 的 恰 有 4 件 , 所 以
b ? 3 20 ? 0 . 1 ,???3 分 5

又 因 为 所 抽 取 的 20 件 日 用 品 中 , 等 级 系 数 为 5 的 恰 有 2 件 , 所 以
c ? 2 20

,???4 分 ? 0 .1 于 是
a ? 0 . 3? 5 0? .

. 1 ?5

0 所 1以 .

a ? .0 1 . , 0 1

b ? 0 .1 5



c ? 0 .1 .???????6 分

(2)从 5 件日用品 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取两件,所有可能的结果为:

? x1 , x 2 ? , ? x1 , x 3 ? , ? x 1 , y 1 ? , ? x 1 , y 2 ? , ? x 2 , x 3 ? ? x 2 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? , ? x 3 , y 1 ? , ? x 3 , y 2 ? , ? y 1 , y 2 ? .
所以所有可能的结果共 1 0 个。???????9 分 设事件 A 表示 “从这 5 件日用品 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取两件, 等级系数恰好相等” A 包 则 含的事 件为 ? x1 , x 2 ? , ? x1 , x 3 ? , ? x 2 , x 3 ? , ? y 1 , y 2 ? 共 4 个,???????11 分 所以所求的概率为 P ? A ? ?
4 10 ? 0 .4 .???????12 分

18.(本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)方程 f ( x ) ? x ,即 ax 由方程有等根, 得 1分 由 f ( 2 ) ? 0 ,得 4 a ? 2 b ? 0 由①、②得, a ? ? 故
f (x) ? ? 1 2 x
2
2

? bx ? x ,亦即 ax
? ? ( b ? 1)
2

2

? ( b ? 1) x ? 0 ,

? 4a ? 0 ? 0 , b ? 1 ∴



????



????2 分

1 2

, b ? 1 ,????3 分

? x.

????4 分

(Ⅱ)假设存在实数 m 、 n 满足条件,由(1)知,

f (x) ? ?

1 2

x

2

? x ? ?

1 2

( x ? 1)

2

?

1 2

?

1 2

,????5 分

则2n ? 7
? f (x) ? ? 1 2

1 2

, n ? 即

1 4

.

????

( x ? 1) 1 4

2

?

1 2

的对称轴为 x ? 1 , ????9

∴当 n ? 分

时, f ( x ) 在 [ m , n ] 上为增函数.

? 1 2 ? m ? m ? 2m ? ? f (m ) ? 2m 于是有 ? ,即 ? 2 , 1 f (n) ? 2n ? ? ? n 2 ? n ? 2n 2 ?

????11 分

∴?

? m ? ? 2或 m ? 0 ? n ? ? 2或 n ? 0

,又 m ? n ?

1 4

,∴ ?

?m ? ?2 ? n ? 0

.

故存在实数 m ? ? 2 , n ? 0 ,使 f ( x ) 的定义域为 [ m , n ] ,值域为 [ 2 m , 2 n ] . ???? 14 分 19.(本题满分 14 分) 解(1)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ?
3 ,则半短轴 b ? 1 . ????3 分
2

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x

? y

2

? 1 ????4 分

4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), ????5 分 x=
x0 ? 1 2

x0= 2x-1 得 y0=

由 y=
y0 ? 2 1 2

2y-

1 2

由点 P 在椭圆上,得

( 2 x ? 1) 4

2

? (2 y ?

1 2

)

2

? 1 , ????7 分

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ?

1 2

)

2

? 4( y ?

1 4

)

2

? 1 .???????8 分

(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. ????9 分 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y=kx,代入
x
2

? y

2

? 1,

4
2 4k
2

解得 B(

,
?1

2k 4k
2

),C(-
?1 4k

2
2

,-
?1

2k 4k
2

),????10 分
?1

则 BC ? 4

1? k 1 ? 4k

2

k ?

1 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=
2

,????11 分
2

1? k

∴△ABC 的面积 S△ABC=

1 2

AB ? d ?

2k ? 1 1 ? 4k
2

于是 S△ABC=
4k 4k
2

4k

2

? 4k ? 1
2

4k

?1

?

1? 4k

4k
2

?1

????12 分
1 2



?1

≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=-

时,等号成立. ????13 分

∴S△ABC 的最大值是 2 . 20.(本题满分 14 分)

???????14 分

解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0),
?a1+a1q =10 ? 由题意有? 2 4 ? ?a1q +a1q =40
2

,????2 分

∴a1=q=2,∴an=2 , ∴

n

bn
????4 分



n.
(2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n,????5 分 2

n

1 2 当 n ≥2 时, cn =(cn - cn - 1)+(cn - 1 - cn - 2)+?+(c2 - c1)+ c1 =1+ + 2 +?+ 2 2

n-1
2
n-1

,????6 分 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n .????7 分 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 ,????8 分 2 2 2 2

因为 9分

n+1
2
n-1

大于零, cn<3. 故

????

(3)令 f(n)= = 1 + 1

1

bn+1 bn+2



1

+?+

1

bn +n

n+1 n+2

1 +?+ ????10 分 2n

1 1 1 ∵f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - >0,????11 分 2n+1 2n+2

∴f(n+1)>f(n). ∴数列{f(n)}单调递增, 1 ∴f(n)min=f(1)= .????12 分 2

k 1 由不等式恒成立得: < , 10 2
∴k<5. ????13 分 故存在正整数 k,使不等式恒成立,k 的最大值为 4. ????14 分


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