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【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.2 第二课时 排列的应用-缺

【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.2 第二课时 排列的应用-缺

最新 K12 教育 第二课时 排列的应用

[对应学生用书P10]

无限制条件的排列问题 [例 1] (1)有 5 个不同的科研小课题,从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进 行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法? (2)有 5 个不同的科研小课题,高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加,每组限报一个 课题,共有多少种不同的报名方法? [思路点拨] (1)选出 3 个课题进行排列; (2)每个学习小组都选一个课题. [精解详析] (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个,由兴趣小组进行研究,对应于从 5 个 不同元素中取出 3 个元素的一个排列.
3 因此不同的安排方法有 A5 =5×4×3=60 种.

(2)由题意知,3 个兴趣小组可能报同一科研课题,因此元素可以重复,不是排列问题. 由于每个兴趣小组都有 5 种不同的选择,且 3 个小组都选择完才算完成这件事.由分 步计数原理得,共有 5×5×5=125 种报名方法. [一点通] 没有限制条件的排列问题, 即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限 制,这一类题相对简单,分清元素和位置即可.

1.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目最多 1 项,则该外商不同的投资方案有________种.
3 解析:不同的投资方案有 A4 =4×3×2=24 种.

答案:24 2.有 5 名男生和 2 名女生,从中选出 5 人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学 科的课代表,则不同的选法共有________种.(用数字作答) 解析:由题意知,从 7 人中选出 5 人担任 5 个学科课代表,共有 A5 7=2 520 种不同的选 法. 答案:2 520 3.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示多少种不同的信号? 解:第 1 类,挂 1 面旗表示信号,有 A1 3种不同方法; 教案试题

最新 K12 教育 第 2 类,挂 2 面旗表示信号,有 A2 3种不同方法; 第 3 类,挂 3 面旗表示信号,有 A3 3种不同方法.
2 3 根据分类计数原理,可以表示的信号共有 A1 3+A3+A3=3+3×2+3×2×1=15 种.

排队问题 [例 2] 7 位同学站成一排. (1)其中甲站在最左端的位置,共有多少种不同的排法? (2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? (3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种? [思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特 殊元素或位置优先安排的原则. [精解详析] (1)先考虑甲站在最左端有 1 种方法,再在余下的 6 个位置排另外 6 位同 学,共 A6 6种排法. (2)法一:先考虑在除两端外的 5 个位置选 2 个安排甲、乙有 A2 5种,再在余下的 5 个位
2 置排另外 5 位同学的排法有 A5 A5 5种,共有 A5· 5种排法.

法二: 考虑特殊位置优先法, 即两端的排法有 A2 中间 5 个位置有 A5 共有 A2 A5 5种, 5种, 5· 5 种排法. (3)法一:分两类:乙站在排头和乙不站在排头,乙站在排头的排法共有 A6 6种,乙不站 在排头的排法总数为:先在除甲、乙外的 5 人中选 1 人安排在排头的方法有 5 种,中间 5 个位置选 1 个安排乙的方法有 5 种,再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 A5 5种,
5 故共有 A6 6+5×5A5种排法.

法二: 考虑间接法, 总排法为 A7 不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为 A6 7, 6种,
6 5 但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况,故共有 A7 7-2A6+A5种排法.

[一点通] 解决这种有限制条件的排队问题,关键是搞清元素是什么,位置是什么,根 据给出的限制条件,按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决.

4.张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起 见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法 种数为________.(用数字作答) 解析:第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位 妈妈任意排在中间的三个位置上有 A3 3种排法;第三步:将两个小孩排序有 2 种排法.故总 的排法有 2×2×A3 3=24(种). 教案试题

最新 K12 教育 答案:24 5.6 个人按下列要求站一排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站右端,也不站左端; (2)甲、乙站在两端; (3)甲不站左端,乙不站右端. 解:(1)第一步,先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左、右两端,有 A2 5种不同的站法; 第二步,再让剩下的 4 个人站在中间的 4 个位置,有 A4 4种不同的站法,由分步计数原理有 A2 A4 5· 4=480 种不同的站法. (2)让甲、乙先站两端,有 A2 2种站法,再考虑中间 4 个位置,由剩下的 4 个人去站,有
2 4 A4 A4 =48 种不同的站法. 4种不同的站法,由分步计数原理有 A2·

(3)以元素甲的位置进行考虑,可分两类:甲站右端有 A5 5种不同的站法;甲在中间 4 个 位置之一,而乙不在右端,可先排甲后排乙,再排其余 4 个,有 4×4×A4 4种不同的站法,
4 故共有 A5 5+4×4×A4=504 种不同的站法.

组数问题 [例 3] 用 0,1,2,3,4 这五个数字,组成五位数, (1)可组成多少个五位数? (2)可组成多少个无重复数字的五位数? (3)可组成多少个无重复数字的五位奇数? [思路点拨] 该题目中的特殊元素为 0,它不能放在首位.(1)数字可以重复;(2)只需限 制首位(即万位)不为 0;(3)限制末位是奇数,首位不是 0. [ 精解详析 ] (1) 各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成五位数

4×5×5×5×5=2 500 个. (2)法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有 A1 4种方法,其余四个
1 4 位置排四个数字共有 A4 4种方法,所以组成的无重复数字的五位数共有 A4A4=96 个.

法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可,有 A1 4种方法,其
1 4 余四个数字全排,有 A4 4种方法.故组成的无重复数字的五位数共有 A4A4=96 个.

(3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有 A1 2种方法.然后从剩下的 3 个非 0
1 数中选一个排在万位,有 A3 种方法,最后将剩下的 3 个数排在其他三个数位上,有 A3 3种方 1 3 法.故组成的无重复数字的五位奇数共有 A1 2A3A3=36 个.

[一点通] 组数问题中常用的知识: 教案试题

最新 K12 教育 (1)能被 2 整除的数的特征:末位数是偶数;不能被 2 整除的数的特征:末位数是奇数. (2)能被 3 整除的数的特征:各位数字之和是 3 的倍数;能被 9 整除的数的特征:各位 数字之和是 9 的倍数. (3)能被 4 整除的数的特征:末两位是 4 的倍数. (4)能被 5 整除的数的特征:末位数是 0 或 5;能被 25 整除的数的特征:末两位数是 25 的正整数倍. (5)能被 6 整除的数的特征:各位数字之和是 3 的倍数的偶数.

6.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数, (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个四位偶数?
3 1 3 解:(1)先排首位,有 A1 5种排法,再排个位、十位和百位,有 A5种排法,故共有 A5A5=

300 个不同的四位数. (2)当个位数字是 0 时,有 A3 5种;
2 1 当个位数字不是 0 时,有 A1 2A4A4种. 1 2 1 所以,共有 A3 5+A2A4A4=156 个,即可组成 156 个偶数.

7.在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共 有多少个? 解:依题意,所选的三位数字有两种情况: (1)3 个数字都是奇数,从 1,3,5 三个数中选三个数排列,有 A3 3种方法;(2)3 个数字中有 一个是奇数,分两步进行,选一个奇数,有 3 种选法,这个奇数与两个偶数全排列,故有 3A3 3种方法.
3 由分类计数原理,共有 A3 3+3A3=24 个满足条件的三位数.

1.解决排列问题时通常从以下三个途径考虑 (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置,如组数问题中的首 位,如果所给数字中有 0,应先考虑首位不为 0;

教案试题

最新 K12 教育 (3)先不考虑附加条件,计算出排列数,然后去掉不符合要求的排列. 2.解决组数问题应注意的几点 (1)首位数字不为 0; (2)若所选数字中含有 0,则可先排 0,即“元素分析法”; (3)若排列的数是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”; (4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.

[对应课时跟踪训练(四)]

一、填空题 1.由 1,2,3,4,5,6,7,8 八个数字,组成无重复数字的两位数的个数为________.(用数字 作答) 解析:A2 8=8×7=56 个. 答案:56 2.5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有________种.(用数字作答)
3 解析:先排甲、乙之外的 3 人,有 A3 种排法,然后将甲、乙两人插入形成的 4 个空中, 3 有 A2 A2 4种排法,故共有 A3· 4=72(种)排法.

答案:72 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 A,B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么 不同的排法有________种. 解析:根据题目的条件可知,A,B 必须相邻且 B 在 A 的右边,所以先将 A,B 两人捆 起来看成一个人参加排列,即是 4 个人在 4 个位置上作排列,故不同的排法有 A 4 4= 4×3×2×1=24(种). 答案:24 4.由数字 1,2,3 与符号“+”和“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不 相邻的全排列的个数是________.
2 解析:符号“+”和“-”只能在两个数之间,这是间隔排列, 排法共有 A3 3A2=12 种.

答案:12 5.将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数,第二行 2 个数,第三行 3 个数的形式随机排列, 设 Ni(i=1,2,3)表示第 i 行中最大的数, 则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是________. (用 数字作答) 教案试题

最新 K12 教育
2 解析:由题意知数字 6 一定在第三行,第三行的排法种数为 A1 3A5=60;剩余的三个数 1 字中最大的一定排在第二行,第二行的排法种数为 A1 2A2=4,由分步计数原理知满足条件的

排列个数是 240. 答案:240 二、解答题 6.7 名同学排队照相, (1)若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? (2)若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多 少种不同的排法?
4 解:(1)分两步,先排前排,有 A3 7种排法,再排后排,有 A4种排法,符合要求的排法共

有 A3 A4 7· 4=5 040 种;
1 (2)第一步安排甲,有 A1 3种排法;第二步安排乙,有 A4种排法,第三步将余下的 5 人排 1 1 在剩下的 5 个位置上,有 A5 A4 · A5 5种排法.由分步计数原理得,符合要求的排法共有 A3· 5=1

440 种. 7.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数 y=ax2+ bx+c 的系数 a,b,c,问: (1)共能组成多少个不同的二次函数? (2)在这些二次函数中,图像关于 y 轴对称的有多少个? 解:(1)法一:(直接法——优先考虑特殊位置) ∵a≠0, ∴确定二次项系数有 7 种,确定一次项和常数项有 A2 7种, ∴共有 7A2 7=294 个不同的二次函数. 法二:(直接法——优先考虑特殊元素)a,b,c 中不含 0 时,有 A3 7个,a,b,c 中含有
3 2 0 时,有 2A2 7个,故共有 A7+2A7=294 个不同的二次函数. 2 3 法三:(间接法)共可构成 A3 8个函数,其中 a=0 时有 A7个均不符合要求,从而共有 A8-

A2 7=294 个不同的二次函数. (2)(直接法)依题意 b=0,所以共有 A2 7=42 个符合条件的二次函数. 8.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数? 教案试题

最新 K12 教育 (2)能组成多少个比 1 325 大的四位数? 解:(1)五位数中为 5 的倍数的数可分两类: 第 1 类:个位上是 0 的五位数有 A4 5个;
3 第 2 类:个位上是 5 的五位数有 A1 4A4个. 1 3 所以满足条件的五位数有 A4 5+A4A4=216(个).

(2)比 1 325 大的四位数可分三类:
1 3 第 1 类:千位上是 2,3,4,5 时,共有 A4 A5个; 2 第 2 类:千位上是 1,百位上是 4,5 时,共有 A1 2A4个; 1 1 第 3 类:千位上是 1,百位上是 3,十位上是 4,5 时,共有 A2 A3个. 3 1 2 1 1 由分类计数原理得,比 1 325 大的四位数共有 A1 4A5+A2A4+A2A3=270(个).

教案试题


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