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甘肃省兰州大学附中2014届高三上学期一轮复习数学(理)单元验收试题(2) 函数

甘肃省兰州大学附中2014届高三上学期一轮复习数学(理)单元验收试题(2) 函数


兰州大学附中 2013—2014 学年度上学期高三一轮复习

【新课标】数学(理)单元验收试题(2)
命题范围:函数
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.(2013 年高考江西卷(理) 函数 y= )

x ln(1-x)的定义域为(




A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] 2.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( A. y ? 2
| x|

D.[0,1] C . y ?2 ?2
x ?x

B . y ? lg( x ? D. y ? lg

x 2 ? 1)

1 x ?1

3 . 设 f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 满 足 条 件 y ? f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , 且 当 x ? 1 时, f ( x) ? ( ) ? 1 ,则 f ( ) , f ( ) , f ( ) 的大小关系是(

2 1 3 3 3 2 1 3 2 D. f ( ) ? ( ) ? f ( ) 3 2 3 4. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 若 a ? b ? c ,则函数 )
B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 x 2 2 3 A. f ( ) ? f ( ) ? 3 2 3 2 C. f ( ) ? f ( ) ? 2 3

2 3

3 2

1 3



1 f( ) 3 1 f( ) 3

f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间(
A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 5.函数 f ( x) ? log 2 ( x A.R
?1

)

B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内 ) D. (??,1) ? (0, ??)

? 1) 的值域为(

B. (0, ??)

C. (??,0) ? (0, ??)

6. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 已知 x, y 为正实 ) 数,则( )
lg x ? lg y lg( x ? y )

A. 2 C. 2

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

B. 2

? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

lg x ?lg y

D. 2

lg( xy )

7. 下列函数 f ? x ? 中,满足“对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , 当x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ” 的是( )

A. f ? x ? ?

1 x

B. f ? x ? ? x ? 4 x ? 4
2

C. f ? x ? ? 2

x

D. f ? x ? ? log 1 x
2

8. (2013 年高考新课标 1(理) ) 已知函数 f ( x) ? ? A. (??, 0]

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0
B. (??,1]

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( C. [?2,1] ) D. [?2, 0]



9.函数 f ? x ? ? lg x ? 1 的大致图象是(

?

?

10.若曲线 y ? x ( ) A.64

?

1 2

在点 ? a , a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ?
C.16 D.8 )

B.32

11.已知函数 f ( x ) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 则下列结论正确的( 2 3 4 2013

A. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有一个零点 C. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有一个零点

B. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个零点 D. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有两个零点

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) ) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a , g ? x ? ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a ? 8. 设
2 2 2 2

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q? ? 表示 p, q 中的较
大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则

A? B ? ( )
A. a 2 ? 2a ? 16 B. a 2 ? 2a ? 16 C. ?16 D. 16

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.若 f ? x ? 是 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象必过定点 14.设函数 f ( x) ? 。

x | x | ?a | x | ? x ? a 是奇函数,则 a= a?3



15. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用
2

区间表示为

.
x x x

16.2013 年高考湖南卷(理) 设函数 f ( x) ? a ? b ? c , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0. )

且 (1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, a =b? ,则
(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为
.

(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的序 号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分)。 17. (12 分)已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x) 的定义域 D ,并判断 f ( x) 的奇偶性; (2)用定义证明函数 f ( x) 在 D 上是增函数; (3)如果当 x ? (t , a) 时,函数 f ( x) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值.

18. (12 分)已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. x

(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值.

19. (12 分) (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 设函数 )

f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ?| x f (x)>0
(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求长度的最小值.

20. (12 分)设函数 f ( x) ? x ?

a 定义域为 ( 0 , ? ? ) ,且 x

f (2) ?

设点 P 是函数图像上的任意一点, 过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 . N (1)写出 f ? x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值,若 不是,则说明理由; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

5 . 2

21. (12 分)定义在 R 上的单调函数 f ? x ? 满足 f ? 3? ? log 2 3 且对任意 x, y ? R 都有

f ? x ? y ? ? f ( x) ? f ( y ) .
(1)求证 f ? x ? 为奇函数;
x x x (2)若 f k ? 3 ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

?

?

22. (14 分) (Ⅰ)已知函数 y ? f (x) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数 y ? f (x)

的一个不动点,设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 . (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时,求函数 f (x) 的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若函数 y ? f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动 点,且直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围. a ?1
2

参考答案
一、选择题 1.D;2.D;3.A;4.A;5.C;6.D;7.C;8.D;9.B;10.A;11.C;12.B; 二、填空题 13. (?1,?2) ;14. 0;15. ?? 5,0 ? ? ?5,?? ? ;16.(1) (0, ,(2)①②③; 1] 三、解答题 17.解: (1)令

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? 1? x
1? x ? 1? x ? ? 1? x ? ? log a ? ? ? ? log a ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
?1

对任意 x ? D, f (? x) ? log a 所以函数 f ( x) 是奇函数.

另证: 对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a 是奇函数. (2)设 x1 , x2 ? (?1,1), 且x1 ? x2 ,

1? x ? 1? x ? 所以函数 f ( x) ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 , 1? x ? 1? x ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? log a ? log a ( ? ) ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 0 ∴

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ?1 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∵ 0 ? a ?1

∴ log a

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ?0 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x) 在 D 上是增函数. (3)由(2)知,函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数, 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x) 的值域是 ? ??,1? , 所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x) ? 故 g (a) ?

1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 ) 1? a

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x

a2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1 ( ? 2 ? 1 舍去)

所以 a ? 2 ? 1 , t ? ?1 18.解:(1) 当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1)–f(x2)= x1 ?

4 ?2, x

4 4 ( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 4) ? ? x2 ? x1 x 2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) f ( x) ? x ? 当0 ?

a ? 2 ? 2 a ? 2 ,当且仅当 x ? a 时等号成立, x

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f (x) 的最小值为 2 a ? 2 ,

当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f (x) 在 (0,2] 上单调递减, 所以当 x ? 2 时, f (x) 取得最小值为

a , 2
0 ? a ? 4,

综上所述: f ( x) min

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

a ? 4.
a a . ) .所以区间长度为 2 1? a2 1? a

19.解:解: (Ⅰ) f ( x) ? x[a ? (1 ? a 2 ) x] ? 0 ? x ? (0, (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, l ?

a ? 1? a2

1 a? 1 a
1 1 ? 1- k ? k 2 ? 0? ? 1 - k恒成立 . 1? k 1? k

已知k ? (0,1),0 ? 1 - k ? a ? 1 ? k .令

? g (a) ? a ?

1 1? k 1? k 在a ? 1 ? k时取最大值 ? 这时l ? ? 2 a 1 ? (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2 1? k . 1 ? (1 ? k ) 2

所以 当a ? 1 ? k时,l取最小值 20.解: (1) 、因为函数 f ( x) ? x ?

a 5 5 a 的图象过点 A( 2, ) ,所以 ? 2 ? ? a ? 1 函数 x 2 2 2
, 则 PM 的 方 程

f ( x) 在 (0,1) 上是减函数.

? ( 2 )、 设 P? x 0 , x 0 ? ? x0 ? ? ?
? 1 ? y ? ? x 0 ? ? ? ?? x ? x 0 ? 。 ? x0 ? ? ?

?

1 ?

, 直 线 PM 的 斜 率 ? 1

?y ? x ? 1 1 ? , x0 ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? , M ? x 0 ? ? 2 x0 2 x0 ? ? y ? ? x0 ? x ? ? ? 0 ? ? ? ? 1 1 ? 1 PA ? ? ,? ?, PB ? ?? x0 ,0 ? ,? PA ? PB ? ? ?x ? 2 ? 0 x0 ?
? 1 ?

? ? 1 ? ? 、 N ? 0, x 0 ? ? ? ? x0 ? ? ? ?

? , 直 线 PM 的 斜 率 为 ? 1 , 则 PM 的 方 程 ( 2 ) ( 文 ) 设 P? x 0 , x 0 ? 、 ? x0 ? ? ? ? 1 ? y ? ? x 0 ? ? ? ?? x ? x 0 ? , ? x0 ? ? ? ?y ? x ? 1 1 ? ? ? , , x0 ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? , M ? x 0 ? ? 2 x0 2 x0 ? y ? ? x0 ? ? ? ? ? ? x0 ? ? ? ? x0 ? y 0 ? 1 1 ? ? , ? 3、 PM ? , OM ? 2 ? x 0 ? ? 2 x0 ? 2 2 x0 ? ? ? ? 1 1 ? 1 1? 1 ? ? ?? ∴ S ?OPM ? ? 2 ? ? x 0 ? ? ? 2 x ? 2 ? 2 x 2 ? 1? , 2 2 x0 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2 1 N ? 0, x 0 ? ? , S ?OPN ? ? ? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 2 ?
∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ? 当且仅当 x 0 ?
4

2 1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 , S OMPN ? 1 ? , 2 2 2 x0

1 2 时,等号成立,∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ? 。 2 2

21.解:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R), ① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0, 则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (2)解: f ? 3? ? log 2 3 >0,即 f(3)>f(0),又 f ? x ? 在 R 上是单调函数, 所以 f ? x ? 在 R 上是增函数 又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3 x )<-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2), ∴ k·3 x <-3 x +9 x +2,3 2 x -(1+k)·3 x +2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3 x >0,问题等价于 t 2 -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.

R 恒成立. 22.(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ,解 2 x ? 2 x ? 1 ? x ,得 x ? ?1, x ?
2

1 。 2

所以函数 f ( x) 的不动点为 x ? ?1, x ?

1 。 2

(Ⅱ)因为 对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,所以,对于任意实数

b ,方程 f ( x) ? x 恒有两个不相等的实数根,即方程 ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? x 恒有两个不
相等的实数根, 所以 所以 即 对于任意实数 b ,b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 , ? x ? b 2 ? 4a (b ? 2) ? 0 ,

? b ? (?4a )2 ? 4 ? 8a ? 0 ,解得

0?a?2

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的两个不同的不动点为 x1 , x2 ,则 A( x1 , x1 ), B ( x2,x2 ) 且 x1 , x2 是 ax ? bx ? b ? 2 ? 0 的两个不等实根, 所以 x1 ? x2 ? ?
2

b a

直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 (?

b b ,? ) 2a 2a

因为 直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线, a ?1
2

所以 k ? ?1 ,且 (?

b b 1 , ? ) 在直线 y ? kx ? 2 上 2a 2a a ?1



?

b b 1 ? ? 2 2 a 2a a ? 1

a ? (0, 2)

所以 b ? ?

a 1 1 1 ?? ?? ?? 1 a ?1 2 1 a? 2 a? a a
2

当且仅当 a ? 1 ? (0, 2) 时等号成立

又 b?0

所以 实数 b 的取值范围 [?

1 , 0) . 2


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