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高等数学(2017高教五版)课件微积分基本公式(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件微积分基本公式(工科类)_图文

第二讲 微积分基本公式

微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用

微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用

?物理事实

变速直线运动的路程
s(T1 )
T1
T2 T1

s (T2 ) ? s (T1 )

s (T2 )

s ? s( t )
v ? v(t )

?

T2

T1

v ( t )dt

T2

? v ( t )d t ? s (T2 ) ? s (T1 )

s ?( t ) ? v ( t )

?推广

一般情况下

F ?( x ) ? f ( x )

?

b

a

? f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a )

?积分上限的函数 定义 设 f ( x ) ? C [ a , b ]

?( x ) ? ? f ( t ) d t (a ? x ? b)
a

x

称为积分上限的函数.

性质
定理1 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续,那么积分上限的函数

? ( x ) ? ? f ( t ) d t 在[a , b ]上可导,并且它的导数 a d x ? ?( x ) ? ? f ( t ) d t ? f ( x ) ( a ? x ? b ) y ? f ( x) a dx y ? x 2 ?例1 求 ? ? ( x) ? ?a 1 ? t dt ? ? ? ?

x

o a

x?

b x
x ? ?x

?牛—莱公式 定理2 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续,那么函数

? ( x ) ? ? f ( t ) d t 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
a

x

定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数

那么 ?注
函 数 f (? )(b ? a)
积分 中值定理
b a

? a f ( x ) d x ? F (b ) ? F ( a )
导 数 F ?(? )(b ? a)
微分 中值定理

b

牛顿 - 莱布尼茨公式

f ( x) dx ? 定积分

牛—莱公式

不定积分 F (b ) ? F (a )

?牛—莱公式 定理2 如果函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续,则函数

? ( x ) ? ? f ( t ) d t 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
a

x

定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数

则 ?注

? a f ( x ) d x ? F (b ) ? F ( a )
牛顿 - 莱布尼茨公式
微分 中值定理

b

f (? )(b ? a ) 微分学 F ?(? )(b ? a )
积分 中值定理

?

b a

f ( x ) d x 积分学F (b ) ? F ( a )

牛—莱公式

?例2 计算 ?例4

?例3 计算 ?

?1

?2

dx . x

?1 ? x ? 0 ?x f ( x) ? ? ? sin x ? 1 0 ? x ? 1

求 ? f ( x )dx.
?1

1

?例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上 与x轴围成的平面图形的面积.

y

y ? sin x

?例6 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 到某处需要减速 停车, 设汽车以等加速度 问从开始刹车到停车走了多少距离? 刹车,

o

? x

?例7

求极限

微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用

微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用
二、积分上限函数及其应用

?积分上限的函数 定义 设 f ( x ) ? C [ a , b ]

?( x ) ? ? f ( t ) d t (a ? x ? b)
a

x

称为积分上限的函数.

性质 若 f ( x ) 在 [a , b ]上连续,则 ? ?( x ) ? f ( x )
推论 若 f ( x ) 在 [a , b ]上连续,g ( x ), h( x ) 可导
g( x) ~ Φ( x ) ? ? f (t ) dt a

~ Φ ?( x ) ? f ( g ( x )) g ?( x )

Ψ ( x ) ? ? f (t ) dt
~ Ψ ( x) ? ? Ι ( x) ? ?
x b
h( x )

b

f (t ) dt

g( x)

? 例 求? sin t d t ? ?0 ? ? ? ? 0 2t 例 求? Ψ ?( x ) ? ? f ( x ) ? ?x e dt ? ? ? ? ? ~ 0 2 Ψ ?( x ) ? ? f ( h( x )) h?( x ) 例 求? ? ?costx dt ? ? ? ?
x2

?

Ι ?( x ) ? f ( g ( x )) g ?( x ) ? f ( h ( x )) h ?( x )

h( x )

f (t ) dt

2 例 求? ? ?sin x cos(? t )dt ? ? ? ? cos x

?

?应用 只要有函数的地方,就可以有积分上限函数的题目

只要是积分上限函数的题目,就应该考虑其导数 ?例8 求 lim
x?0

?

1 cos x

e dt . 2 x

?t2

?例9 f ( x ) ? C [ 0 , ?? ),

f ( x ) ? 0 证明

在 [ 0, ?? ) 内单调增加.

tf (t )dt ? F ( x) ? ? f (t )dt
0 x 0

x


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