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数字信号处理第五章习题解答

数字信号处理第五章习题解答

————第五章———— ————第五章———— 第五章 数字滤波网络
5.1 学 习 要 点
本章主要介绍数字滤波器的系统函数 H ( z ) 与其网络结构流图之间的相互转换方法,二 者之间的转换关系用 Masson 公式描述.由于信号流图的基本概念及 Masson 公式已在信号 与系统分析课程中讲过,所以下面归纳 IIR 系统和 FIR 系统的各种网络结构及其特点. 5.1.1 IIR 系统的基本网络结构
1. 直接型结构

如果将系统函数 H ( z ) 化为标准形式(5.1)式:

H (z ) =

∑b z
k =0 N k k =1

M

k

1 ∑ ak z

(5.1)
k

则可根据 Masson 公式直接画出 H ( z ) 的直接 II 型网络结构流图如图 5.1 所示 (取 N=4, M=3) . 二阶直接 II 型网络结构最有用,它是级联型和并联型网络结构的基本网络单元. 优点:可直接由标准形式(5.1)或差分方程 y (n ) =

∑ ak y(n k ) + ∑ bk x(n k ) 画出网
k =1 k =0

N

M

络结构流图,简单直观. 缺点:对于高阶系统: (1)调整零,极点困难; (2)对系数量化效应敏感度高; (3)乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大.
2. 级联型结构

将(5.1)式描述的系统函数 H ( z ) 分解成多个二阶子系统函数的乘积形式

H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) H m ( z )

(5.2)

β 0i + β1i z 1 + β 2i z 2 H i (z ) = , 1 α1i z 1 α 2i z 2
画出的级联型方框图如图 5.2 所示.

i = 1,2, , m

(5.3)

图中每一个子系统均为二阶直接型结构,根据 H ( z ) 的具体表达式确定 H i ( z ) 的系数

β 0i , β1i , β 2i , α1i 和 α 2i 后,可画出 H i ( z ) 的网络结构流图如图 5.3 所示.
优点:

(1)系统结构组成灵活; (2)调整零,极点容易,因为每一级二阶子系统 H i ( z ) 独立地确定一对共轭零点和一 对共轭极点; (3)对系数量化效应敏感度低. 缺点: (1)存在计算误差积累; (2)乘法运算量化误差在输出端的噪声功率大于并联型结构.
3. 并联型结构

将(5.1)式写成:

H (z ) = ∑

ci 1 i =1 1 pi z

N

将上式中的复共轭对极点对应的两项合并为一个二阶项:

r0i + r1i z 1 H i (z ) = 1 α1i z 1 α 2i z 2

H ( z ) 就可以写成:
H (z ) = ∑ H i (z )
i =1 m

(5.4)

由 (5.4) 式画出 H ( z ) 的并联结构方框图如图 5.4 所示,图中每个并联子系统 H i ( z ) 采用二 阶直接 II 型网络结构流图,如图 5.5 所示. 优点:运算速度快,调整极点方便,系数量化误差敏感度低,乘法运算量化误差在输出 端的噪声功率小. 缺点:调整零点不方便,当 H ( z ) 有多阶极点时,部分分式展开较麻烦. 5.1.2 FIR 系统网络结构 FIR 系统的网络结构有三种类型:直接型,级联型和频率采样型结构.当 FIR 系统具有 线性相位特性时,还可以画出其线性相位结构.实质上,线性相位结构是直接型结构的一种 简化形式.下面分别给出 FIR 系统函数 H ( z ) 的四种表达式及其相应的四种网络结构形式.
1. 直接型结构

设 h(n ) 长度为 N ,则 FIR 系统的系统函数为

H ( z ) = ∑ h(n )z n
n =0

N 1

(5.5)

由 Masson 公式画出 H ( z ) 的直接型结构流图如图 5.6 所示.
2. 级联结构

将 H ( z ) 分解成二阶因子的乘积

H ( z ) = ∑ β 0 k + β1k z 1 + β 2 k z 2
k =1

N 2

(

)

(5.6)

N N 2 表示对 2 取整.根据(5.6)式画出级联结构如图 5.7 所示.
3. 线性相位 FIR 系统网络结构

第七章将证明线性相位 FIR 系统的单位脉冲响应 h(n ) 应满足

h(n ) = ± h( N 1 n )
这时,(5.5)式可以写成如下形式: 当 N 为奇数时,

H (z ) =
当 N 为偶数时,

N 1 1 2 n =0

∑ h(n)[z

n

±z

( N 1 n )

]

N 1 + h z 2

N 1 2

(5.7)

H ( z ) = ∑ h(n ) z n ± z ( N 1n )
n =0

N 1 2

[

]

(5.8)

(5.7)式和(5.8)式对应的线性相位 FIR 系统结构分别如图 5.8 和图 5.9 所示. 图中的正负号由 h(n ) 确定, h(n ) = h( N 1 n ) 时, "+" 当 h(n ) = h( N 1 n ) 当 取 号, 时,取""号.
4. 频率采样结构

FIR 系统的频率采样结构是根据其系统函数 H ( z ) 的 z 域内插表达形式所画出的一种网 络结构.根据频域采样理论有 H ( z ) 的 z 域内插公式

H (z ) =
记 H c (z ) = 1 z
N

1 1 z N N

(

)∑ 1 H (k )z W
N 1 k =0 k N

1

, H k (z ) =

H (k ) .这时, 1 WNk z 1 H (z ) =
N 1 1 H c (z ) ∑ H k (z ) N k =0

由上式可见, H ( z ) 的网络结构为 FIR 子系统 H c (z ) 和 IIR 子系统
N 1 k =0

∑ H (z ) 级联而成,
k =0 k

N 1



∑ H (z ) 为 N 个一阶 IIR 子网络 H (z ) 并联而成.频率采样结构如图 5.10 所示.
k k

频率采样结构存在两个问题,影响其工程应用,所以要对其加以修正.但只要掌握了图 5.10 所示的基本形式,修正型结构就容易得到. (1)稳定性问题.由于系数量化误差使零极点不能对消时,系统就会不稳定.所以实 际中将梳状滤波器 H c (z ) 的零点和 H k ( z ) 的极点设置在半径 r 小于 1 又接近 1 的圆周上, 所 得修正的频率采样结构系统函数为

1 r N zN H (z ) = N

∑ 1 rW
k =0

N 1

H (k )
k N

r 1

(5.9)

其中,r 为修正半径,其值与系统字长有关. (2)复数乘法运算问题.图 5.10 或(5.9)式画的修正的频率采样结构图中存在大量的复 数运算.复数运算比实数运算复杂,特别是用硬件实现复杂.对常用的实序列 h(n ) ,可以 完全解决该问题.
5. FIR 系统四种网络结构的比较

FIR 系统的直接型结构简单直观,乘法运算较少,但调整零点较难;级联型结构每级独 立控制一对共轭零点,所以适用于需要控制传输零点的场合,其缺点是乘法器比直接型多; 线性相位 FIR 系统结构的乘法运算比直接型少,当 N 为偶数时,乘法运算减少一半,当 N 为奇数时,由原来的 N 个乘法器减少为

N +1 个;频率采样结构可以直接由采样值 H (k ) 控 2

制滤波器频响特性,当滤波器通带很窄时, H (k ) 的非零值很少,大部分零值采样 H (k ) 对 应的并联二阶网络可省去,从而使结构大大简化.所以,频率采样结构适用于窄带滤波器. 当然,对集成化的结构而言,适合任何滤波特性.

5.2 5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述:

y ( n)

3 1 1 y (n 1) + y (n 2) = x(n) + x(n 1) , 4 8 3

试画出系统的直接型,级联型和并联型结构. 解:

y ( n)
将上式进行 Z 变换

3 1 1 y (n 1) + y (n 2) = x(n) + x(n 1) 4 8 3

3 1 1 Y ( z ) Y ( z ) z 1 + Y ( z ) z 2 = X ( z ) + X ( z ) z 1 4 8 3 1 1 + z 1 3 H ( z) = 3 1 1 2 1 z + z 4 8
(1)按照系统函数 H ( z ) ,根据 Masson 公式,画出直接型结构如题 1 解图(一)所示. (2)将 H ( z ) 的分母进行因式分解

1 1 + z 1 3 H ( z) = 3 1 1 2 1 z + z 4 8 1 1 + z 1 3 = 1 1 (1 z 1 )(1 z 1 ) 2 4
按照上式可以有两种级联型结构:

1 1 + z 1 1 3 (a) H ( z ) = 1 1 (1 z 1 ) (1 z 1 ) 2 4
画出级联型结构如题 1 解图(二) (a)所示

1 1 + z 1 1 3 (b) H ( z ) = 1 1 (1 z 1 ) (1 z 1 ) 2 4
画出级联型结构如题 1 解图(二) (b)所示 (3)将 H ( z ) 进行部分分式展开

1 1 1 z )(1 z 1 ) 2 4 1 z+ H ( z) A B 3 = = + 1 1 1 1 z ( z )( z ) z z 2 4 2 4 1 z+ 1 10 3 A= (z ) 1= 1 1 2 z= 3 ( z )( z ) 2 2 4 1 z+ 1 7 3 B= (z ) 1 = 1 1 4 z= 3 ( z )( z ) 4 2 4 10 7 H ( z) = 3 3 1 1 z z z 2 4 (1

H ( z) =

1 1 + z 1 3

10 7 10 7 z z 3 3 H ( z) = 3 3 = + 1 1 1 1 1 1 z z 1 z 1 z 2 4 2 4
根据上式画出并联型结构如题 1 解图(三)所示. 2. 设数字滤波器的差分方程为

y (n) = (a + b) y (n 1) aby (n 2) + x(n 2) + (a + b) x(n 1) + abx(n) ,
试画出该滤波器的直接型,级联型和并联型结构. 解: 将差分方程进行 Z 变换,得到

Y ( z ) = (a + b)Y ( z ) z 1 abY ( z ) z 2 + X ( z ) z 2 + (a + b) X ( z ) z 1 + abX ( z )

H ( z) =

Y ( z ) ab + (a + b) z 1 + z 2 = X ( z ) 1 (a + b) z 1 + abz 2

(1)按照 Massion 公式直接画出直接型结构如题 2 解图(一)所示. (2)将 H ( z ) 的分子和分母进行因式分解:

H ( z) =

(a + z 1 )(b + z 1 ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) (1 az 1 )(1 bz 1 )

按照上式可以有两种级联型结构: (a)

H1 ( z ) =

z 1 + a 1 az 1 z 1 + b 1 bz 1 z 1 + a 1 bz 1 z 1 + b 1 az 1

H 2 ( z) =
画出级联型结构如题 2 解图(二) (a)所示. (b)

H1 ( z ) =

H 2 ( z) =

画出级联型结构如题 2 解图(二) (b)所示●. 3. 设系统的系统函数为

H ( z) =

4(1 + z 1 )(1 1.414 z 1 + z 2 ) , (1 0.5 z 1 )(1 + 0.9 z 1 + 0.18 z 2 )

试画出各种可能的级联型结构. 解: 由于系统函数的分子和分母各有两个因式,可以有两种级联型结构.

H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z )
(1)

H1 ( z ) = H 2 ( z) =

4 (1 + z 1 ) 1 0.5 z 1

,

1 1.414 z 1 + z 2 1 0.9 z 1 + 0.81z 2

画出级联型结构如题 3 解图(a)所示●. (2)

1 1.414 z 1 + z 2 H1 ( z ) = , 1 0.5 z 1 H 2 ( z) = 4 (1 + z 1 ) 1 0.9 z 1 + 0.81z 2

画出级联型结构如题 3 解图(b)所示. 4.图中画出了四个系统,试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应, 并求其总系统函数.图 d 解: (d)

h(n) = h1 (n) [h2 (n) + h3 (n) h4 (n)] + h5 (n) = h1 (n) h2 (n) + h1 (n) h3 (n) h4 (n) + h5 (n) H ( z ) = H 1 ( z ) H 2 ( z ) + H1 ( z ) H 3 ( z ) H 4 ( z ) + H 5 ( z )

5. 写出图中流图的系统函数及差分方程.图 d 解: (d)

H ( z) =

r sin θ z 1 1 r cos θ z 1 r cos θ z 1 + r 2 sin 2 θ z 2 + r 2 cos 2 θ z 2

=

r sin θ z 1 1 2r cos θ z 1 + r 2 z 2

y (n) = 2r cos θ y (n 1) r 2 y (n 2) + r sin θ x(n 1)
6. 写出图中流图的系统函数.图 f 解:

(f)

1 1 1 z 2 2 + z 1 4 2 H ( z) = = 1 1 3 2 1 1 3 2 1 z + z 1 z + z 4 8 4 8 2+

8.已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为 h( n) = δ ( n) δ (n 1) + δ ( n 4) ,试用频率采样结

构实现该滤波器.设采样点数 N=5,要求画出频率采样网络结构,写出滤波器参数的计算公 式. 解: 已知频率采样结构的公式为

H ( z ) = (1 z N )
式中,N=5

1 N

∑1W
k =0
4

N 1

H (k ) k 1 N z

H (k ) = DFT [h(n)] = ∑ h(n)WNkn = ∑ [δ (n) δ (n 1) + δ (n 4)]WNkn
n=0 n =0

N 1

= 1 e

2 j πk 5

+e

8 j πk 5

, k = 0,1, 2,3, 4

它的频率采样结构如题 8 解图所示.


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