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江苏省宿迁市洋河实验学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

江苏省宿迁市洋河实验学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年江苏省宿迁市洋河实验学校高一(上)期中数学试 卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 分)若全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={0,1},集合 N={2,3},则(?UM)∩N=. 2. (5 分)满足条件{1}?M?{1,2,3}的集合 M 的个数是. 3. (5 分)函数 的定义域为.

4. (5 分)已知函 f(x)=

,则 f(f( ) )=.

5. (5 分)当﹣2≤x≤2 时,函数 y=x ﹣2x﹣5 的最大值为. 6. (5 分)已知 f(x+1)=2x +1,则 f(x)=. 7. (5 分)若 a>0 且 a≠1,则函数 y=a
x﹣1 2

2

+1 的图象恒过一定点,该定点的坐标为.

8. (5 分)设

,则 a,b,c 的大小关系为.

9. (5 分)已知函数

,若 f(x)为奇函数,则 a=.

10. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是 (填所有符合条件的序号) ① ②y=lgx ,y=2lgx ③
2





11. (5 分)如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的 取值范围是.

2

12. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x) =x+2,则 f(7)=. 13. (5 分)函数 y=a 与函数 y=x ﹣|x|+1 的图象有四个交点,则 a 的取值范围是. 14. (5 分)已知奇函数 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,且 f(m﹣1)+f(3m﹣1)> 0,则实数 m 的取值范围是.
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15. (14 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x≤﹣4 或 x≥1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B; (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}?A,求实数 k 的取值范围. 16. (14 分)计算求值: (1) (2) .

17. ( 14 分)利用函数单调性的定义证明:

在区间[2,+∞)上为增函数.

18. (16 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t(天)的函数关系是 p=
*

,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函

数关系是 Q=﹣t+40(0<t≤30,x∈N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金 额最大的一天是 30 天中的第几天? 19. (16 分)已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)又 当 x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1) (1)求 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2)若有 f(2x﹣5)≤3 成立,求 x 的取值范围. 20. (16 分)该试题已被管理员删除. A.【无选项】 B.【无选项】

C.【无选项】

D.【无选项】

2014-2015 学年江苏省宿迁市洋河实验学校高一(上)期 中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 分)若全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={0,1},集合 N={2,3},则(?UM)∩N={2, 3}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 M 的补集,再利用交集的定义求(?UM)∩N. 解答: 解:由题意∵U={0,1,2,3,4},集合 M={0,1}, ∴CUM={2,3,4}, 又集合 N={2,3}, 故(?UM)∩N={2,3} 故答案为:{2,3}. 点评: 本题考查交、并、补集的混合运算,正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的 定义,并能根据所给的规则进行正确运算 2. (5 分)满足条件{1}?M?{1,2,3}的集合 M 的个数是 4. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 规律型. 分析: 根据集合满足的条件,判断集合中的元素情况,从而判断集合 M 的情况. 解答: 解:∵{1}?M,∴1∈M,∵M?{1,2,3},∴2、3∈M 或 2、3?M, ∴M={1},{1,2},{1,3},{1,2,3}. 故答案是 4. 点评: 本题考查集合的包含关系及应用. 3. (5 分)函数 的定义域为(1,2].

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 满足偶次根式的被开方数大于等于 0, 对数的真数大于 0, 解不等式组即可求出所求. 解答: 解:应该满足 ,

即 1<x≤2 所以函数的定义域为(1,2] 故答案为: (1,2] 点评: 本题主要考查了对数函数定义域的求法,以及偶次根式的解法,同时考查了计算能 力,属于基础题.

4. (5 分)已知函 f(x)=

,则 f(f( ) )= .

考点: 对数的运算性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数直接进行求值即可. 解答: 解:由分段函数可知 f( )= f(f( ) )=f(﹣2)= 故答案为: . 点评: 本题主要考查分段函数求值,比较基础. 5. (5 分)当﹣2≤x≤2 时,函数 y=x ﹣2x﹣5 的最大值为 3. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对函数进行配方,根据函数的单调性即可求得其最大值. 解答: 解:y=x ﹣2x﹣5=(x﹣1) ﹣6, 2 2 当﹣2≤x≤1 时,函数 y=x ﹣2x﹣5 递减,当 1≤x≤2 时,函数 y=x ﹣2x﹣5 递增, 2 1﹣(﹣2)>2﹣1,所以当 x=﹣2 时函数取得最大值,为(﹣2) ﹣2×(﹣2)﹣5=3, 故答案为:3. 点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值,数形结合是解决该类题目的有力工具. 6. (5 分)已知 f(x+1)=2x +1,则 f(x)=2x ﹣4x+3. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;规律型. 分析: 由题设,本题已知复合函数 f(x+1)=2x +1 的解析式,求外层函数的解析式,解题 的方法是换元法,令 t=x+1 代入换元即可 解答: 解:令 t=x+1,则 x=t﹣1 故有 f(t)=2(t﹣1) +1=2t ﹣4t+3 2 所以 f(x)=2x ﹣4x+3 2 故答案为 2x ﹣4x+3 点评: 本题考查函数解析式的求解及常用方法,由于本题中已知复合函数的解析式与内层 函数的解析式,求外层函数解析式,要用换元法求解,其具体步骤是令内层函数为 t,解出 t 表示的 x 的解析式,代入复合函数解析求出 f(t) ,由于习惯用 x 表示自变量,再将 t 换成 x 即可得到外层函数的解析式,在新教材实验区,复合函数已经弱化,求外层函数的解析式的题 型已经不做要求 7. (5 分)若 a>0 且 a≠1,则函数 y=a
x﹣1 2 2 2 2 2 2 2 2





+1 的图象恒过一定点,该定点的坐标为(1,2) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 a 的幂指数 x﹣1=0,可得 x=1,此时求得 y=2,由此可得所求的定点坐标.

解答: 解:令 a 的幂指数 x﹣1=0,可得 x=1,此时求得 y=2,故所求的定点坐标为(1,2) , 故答案为 (1,2) . 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.

8. (5 分)设

,则 a,b,c 的大小关系为 b<c<a.

考点: 对数值大小的比较;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 直接判断 a、b、c 的范围,然后半径大小即可. 解答: 解:因为 所以 b<c<a. 故答案为:b<c<a. 点评: 本题考查指数与对数大小的比较,基本知识的考查. 9. (5 分)已知函数 ,若 f(x)为奇函数,则 a= . ,

考点: 函数奇偶性的性质. 分析: 因为 f(x)为奇函数,而在 x=0 时,f(x)有意义,利用 f(0)=0 建立方程,求出 参数 a 的值. 解答: 解:函数 则 f(0)=0, 即 故答案为 点评: 本题考查了函数的奇偶性的应用,当 x=0 时有意义,利用 f(0)=0 进行求解来得方 便. 10. (5 分)下列各组函数中,表示同一函数的是③④ (填所有符合条件的序号) ① ②y=lgx ,y=2lgx ③
2

.若 f(x)为奇函数,

,a= .





考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①函数 y=1 的定义为 R,而函数 的定义域为{x|x≠0},定义域不同;②y=lgx 的
2

定义域为{x|x≠0},而 y=2lgx 的定义域为{x|x>0},定义域不同;③两个函数的定义域均为 R, 且 判. 解答: 解:①函数 y=1 的定义为 R,而函数 同一函数; ②y=lgx 的定义域为{x|x≠0},而 y=2lgx 的定义域为{x|x>0},定义域不同,故不是同一函数; ③两个函数的定义域均为 R,且 一函数; ④由绝对值的定义可得 ,且函数的定义域相同,故为同一函数. 可化为 y=x,故对应关系相同,值域必相同,故为同
2

可化为 y=x,故对应关系相同,值域必相同;④由绝对值的定义,同③的方式可

的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故不是

故答案为:③④ 点评: 本题考查同一函数的判断,理清函数的三要素是解决问题的关键,属基础题. 11. (5 分)如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的 取值范围是 a≤﹣3. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;数形结合. 2 分析: 求出函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴 x=1﹣a,令 1﹣a≥4,即可解出 a 的取值 范围. 解答: 解:函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴 x=﹣
2 2

=1﹣a,

又函数在区间(﹣∞,4]上是减函数,可得 1﹣a≥4,得 a≤﹣3. 故答案为 a≤﹣3 点评: 考查二次函数图象的性质,二次项系数为正时,对称轴左边为减函数,右边为增函 数,本题主要是训练二次函数的性质. 12. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x) =x+2,则 f(7)=﹣3. 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的周期以及函数的奇偶性,化简 f(7) ,结合已知 x∈(0,2)时,f (x) =x+2,代入即可求解 解答: 解:∵f(x+4)=f(x)函数的周期为 4,函数 f(x)为奇函数 ∴f(7)=f(﹣1+8)=f(﹣1)=﹣f(1)

∵x∈(0,2)时,f (x)=x+2, ∴f(1)=1+2=3 ∴f(7)=﹣f(1)=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性及函数的周期性在函数的函数值的求解中的综合应 用.
2

13. (5 分)函数 y=a 与函数 y=x ﹣|x|+1 的图象有四个交点,则 a 的取值范围是



考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若函数 y=x ﹣|x|+1 与函数 y=a 有 4 个交点, 可由函数图象的对折变换先画出函数 y=x ﹣|x|+1 的图象,结合图象可得实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:函数 y=x ﹣|x|+1 的图象如下图所示:
2 2

结合图象可得: 当 <a<1 时函数 y=x ﹣|x|+1 与 y=a 的图象有 4 个交点, 故答案为: .
2

点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用 数形结合的思想,属于中档题. 14. (5 分)已知奇函数 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,且 f(m﹣1)+f(3m﹣1)> 0,则实数 m 的取值范围是 .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)是定义在(﹣2,2)上的奇函数,将不等式 f(m﹣1)+f(2m﹣1)>0 等价转化为 f(m﹣1)>f(1﹣3m) ,结合函数是定义在(﹣2,2)上的减函数,建立关于 m 的不等式组并解之,即可得到实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是定义在(﹣2,2)上的奇函数,

∴将不等式 f(m﹣1)+f(3m﹣1)>0 移项,得 f(m﹣1)>﹣f(3m﹣1)=f(1﹣3m) 又∵f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数, ∴m﹣1<1﹣3m

结合函数的定义域,将原不等式转化为

,解之得﹣ <m<

故答案为: 点评: 本题给出抽象函数的单调性和奇偶性,解关于 m 的不等式 f(m﹣1)+f(3m﹣1)> 0,着重考查了函数的基本性质和不等式组的解法等知识,属于基础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15. (14 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x≤﹣4 或 x≥1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B; (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}?A,求实数 k 的取值范围. 考点: 交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意集合 A={x|x≤﹣4 或 x≥1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3},根据交集的 定义计算 A∩B. (2)通过 M=?与 M≠?,利用集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,直接求实数 k 的取 值范围. 解答: 解: (1)因为集合 A={x|x≤﹣4 或 x≥1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}, 所以 A∩B={x|1≤x≤3}; (2)①当 M=?时,2k﹣1>2k+1,不存在这样的实数 k. ②当 M≠?时,则 2k+1≤﹣4 或 2k﹣1≥1, 解得 k≤﹣ 或 k≥1. 点评: 本题考查集合的基本运算,转化思想与分类讨论思想的应用,考查计算能力. 16. (14 分)计算求值: (1) (2) .

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)将带分数化为假分数;将小数化为分数;利用分数指数幂的运算法则化简求出 值. (2)直接利用换底公式以及对数运算性质化简求值即可.

解答: 解: (1)

= = =99. (2)

= = =16. 点评: 本题考查分数指数幂以及对数的运算法则、考查换底公式公式,基本知识的应用.

17. (14 分)利用函数单调性的定义证明:

在区间[2,+∞)上为增函数.

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 任取 x1,x2∈[2,+∞) ,且 x1<x2,通过作差比较 f(x1)与 f(x2)的大小,根据增 函数的定义,只需说明 f(x1)<f(x2)即可. 解答: 证明:任取 x1,x2∈[2,+∞) ,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=( )﹣( )=(x1﹣x2)

+

=



因为 2≤x1<x2,所以 x1﹣x2<0,x1x2>4, 所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , 所以 f(x)=x+ 在[2,+∞)上为增函数. 点评: 本题考查函数单调性的证明,属基础题,单调性的证明方法主要有:定义法;导数 法,要熟练掌握. 18. (16 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t(天)的函数关系是 p= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函

数关系是 Q=﹣t+40(0<t≤30,x∈N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金 额最大的一天是 30 天中的第几天? 考点: 函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分情况讨论即可获得日销售金额 y 关于时间 t 的函数关系式, 根据分段函数不同段上 的表达式,分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答. 解答: 解:由题意,y= 当 0<t<20,t∈N+时,y=(t+20) (﹣t+40)=﹣t +20t+800=﹣(t﹣10) +900. ∴t=10(天)时,ymax=900(元) , 2 2 当 20≤t≤30,t∈N+时,y=(﹣t+100) (﹣t+40)=t ﹣140t+4000=(t﹣70) ﹣900, 2 而 y=(t﹣70) ﹣900,在 t∈[20,30]时,函数递减. ∴t=20(天)时,ymax=1600(元) . ∵1600>900 ∴第 20 天日销售额最大为 1600 元 点评: 本题考查分段函数的应,考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转 化的能力,属于中档题. 19. (16 分)已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)又 当 x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1) (1)求 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2)若有 f(2x﹣5)≤3 成立,求 x 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(xy)=f(x)+f(y) ,通过赋值法即可求得 f(1) ,f(4) ,f(8)的值; (2)由“x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1)”可知 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,从而 f(2x﹣5)≤3=f(8)可脱去函数“外衣”,求得 x 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(xy)=f(x)+f(y)得:f(1?1)=f(1)+f(1)?f(1)=0;…2 分 ?f(4)=2;…2 分
2 2

*

?f(8)=3;…2 分

(2)由“x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1)”得 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数;…2 分 ∴ ?f(2x﹣5)≤f(8)? ? <x≤ …2 分

点评: 本题考查抽象函数及其应用,考查函数单调性的性质及函数求值, (2)中判断函数 f (x)在定义域(0,+∞)上为增函数是关键,属于中档题.

20. (16 分)该试题已被管理员删除. A.【无选项】 B.【无选项】

C.【无选项】

D.【无选项】


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