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江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编9:直线与圆 Word版含答案

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编9:直线与圆 Word版含答案


江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

直线与圆
一、填空题 1 、 ( 常 州 市 2016 届 高 三 上 期 末 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 圆 O :

x2 ? y2 ? 1, O1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,动点 P 在直线 x ? 3 y ? b ? 0 上,过 P 分别作圆 O,O1
的切线,切点分别为 AB,若满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个,则实数 b 的取值范围是 2、 (淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末)已知 A(0,1) ,B(1,0) ,C (t ,0) , 点 D 是直线 AC 上的动点,若 AD ? 2 BD 恒成立,则最小正整数 t 的值为 3、(南京、盐城市 2016 届高三上期末)过点 P(?4,0) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 5 相交 于 A, B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点,则直线 l 的方程为 ▲

4、 (南通市海安县 2016 届高三上期末) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 P (?1, 0) , Q(2 , 1) ,直线 l: ax ? by ? c ? 0 其中实数 a,b,c 成等差数列,若点 P 在直线 l 上的射影为 H,则线段 QH 的取值范围是 ;

? a ? b 5 、 ( 苏 州 市 2016 届 高 三 上 期 末 ) 若 直 线 l1 : y? x 和 直 线 l2 : y? x 将圆

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 分成长度相等的四段弧,则 a 2 ? b 2 =



2 2 6、(泰州市 2016 届高三第一次模拟)已知直线 y ? kx(k ? 0) 与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 相交

于 A, B 两点,若 AB ?

2 5 ,则 k ? 5


2 2

7、 (无锡市 2016 届高三上期末)已知圆 C : ( x ? 2) ? y ? 4 ,线段 EF 在直线 l : y ? x ? 1 上 运动,点 P 为线段 EF 上任意一点,若圆 C 上存在两点 A、B,使得 PA ? PB ? 0 ,则线段 EF 长度的最大值是 8、(扬州市 2016 届高三上期末)已知圆 O: x ? y ? 4 ,若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交
2 2

??? ? ??? ?

于 P 、 Q 两点,且满足直线 OP 、 PQ 、 OQ 的斜率依次成等比数列,则直线 l 的斜率为 ▲ . 9、(南通市如东县 2016 届高三上期末)

填空题答案

1

1、 ?- 6、

? ?

20 ? ,4 ? 3 ?
7、 14

2、4

3、 x ? 3 y ? 4 ? 0

4、 [ 2,3 2]

5、18

1 2

8、 ?1

9、[-2 5,2 5]

二、解答题 1、(淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末)如图, OA 是南北方向的一条 公路, OB 是北偏东 45 方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线 C .为方便游客光,拟 过曲线 C 上的某点分别修建与公路 OA , OB 垂直的两条道路 PM , PN ,且 PM , PN 的造价分 别为 5 万元/百米, 40 万元/百米,建立如图所示的直角坐标系 xoy ,
0

y A M P N O x B

则曲线符合函数 y ? x ?

4 2 (1 ? x ? 9) 模型,设 PM ? x ,修建两 x2

条道路 PM , PN 的总造价为 f ( x) 万元,题中所涉及的长度单位均为 百米. (1)求 f ( x) 解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f ( x) 最低?并求出最低造价.

2、(南京、盐城市 2016 届高三上期末)如图所示, A, B 是两个垃圾中转站, B 在 A 的正东 方向 16 千米处, AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾,政府决定在 AB 的北 面建一个垃圾发电厂 P . 垃圾发电厂 P 的选址拟满足以下两个要求( A, B, P 可看成三个 点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比 例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距 离要尽可能大). 现估测得 A, B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?



· A

居民生活区 第 17 题图

· B

2

3、(苏州市 2016 届高三上期末)图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图,其横断面如图 2 所示, 其中 C 为半圆弧 ? ACB 的中点,渠宽 AB 为 2 米. (1)当渠中水深 CD 为 0.4 米时,求水面的宽度; (2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠,且使渠的底面与地面 平行,则当改挖后的水渠底宽为多少时,所挖出的土量最少?

解答题答案 1、(1)在直角坐标系中,因为曲线 C 的方程为 y =x + 所以点 P 坐标为 ? x, x ?

4 2 ?1 ≤ x ≤ 9 ? , PM ? x x2

? ? ?

4 2? ?, x2 ? ?

直线 OB 的方程为 x ? y ? 0 , ……………………………………………………2 分

? 4 2? 4 2 x ??x ? 2 ? x ? x2 4 ? 则点 P 到直线 x ? y ? 0 的距离为 ? ? 2 ,………………4 分 x 2 2
又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米. 则两条道路总造价为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5 ? x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 9 ? . …………8 分 2 x x ? ?

(2) 因为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5? x ? 2 ? , 2 x x ? ?

3

3 ? 64 ? 5( x ? 64) 所以 f ?( x)=5 ?1 ? 3 ? ? , x ? x3 ?

………………………10 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ,列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

( 1, 4 )

4
0

( 4,9 )

?
单调递减

?
单调递增

极小值

32 ? ? 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 有最小值,最小值为 f ? 4 ? ? 5 ? 4 ? 2 ? ? 30 .……13 分 4 ? ? 32 ? ? 答:(1)两条道路 PM ,PN 总造价 f ( x) 为 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ?1≤ x ≤ 9? ; x ? ?
(2)当 x ? 4 时,总造价最低,最低造价为 30 万元. ……………………14 分

32 ? ? ? x x 32 ? (注:利用三次均值不等式 f ( x) ? 5 ? x ? 2 ? ? 5 ? ? ? 2 ? ≥ 5 ? 3 3 8 ? 30 , x ? ? ?2 2 x ?
当且仅当

x x 32 ,即 x ? 4 时等号成立,照样给分.) ? ? 2 2 x2

2、解法一:由条件①,得

PA 50 5 ? ? . PB 30 3

..............2 分

设 PA ? 5 x, PB ? 3x ,则 cos ?PAB ? 分 所 以 点

(5x )2 ? 162 ? (3x )2 x 8 ? ? , 2 ? 16? 5x 10 5 x

..............6

P





线

AB







h?

s P

i ? A n

x ? P 1

8 2 1 4 5 A? ? ?B x1 ? ? 17 x 2 x? ( 64? x 0 4 5

)

1 ? ? ( x 2 ? 34)2 ? 225 , 4
所以当 x ? 34 ,即 x ? 34 时, h 取得最大值 15 千米.
2

...............10 分

即选址应满足 PA ? 5 34 千米, PB ? 3 34 千米.

...........14 分 .......2

解法二:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 分
4

则 A(?8, 0), B(8, 0) .

y P ...............4 分

PA 50 5 ? ? . 由条件①,得 PB 30 3

2 2 2 2 设 P( x, y )( y ? 0) ,则 3 ( x ? 8) ? y ? 5 ( x ? 8) ? y ,

· A
...............10 分

O

· B

x

化简得, ( x ?17)2 ? y 2 ? 152 ( y ? 0) ,

即点 P 的轨迹是以点( 17, 0 )为圆心、 15 为半径的圆位于 x 轴上方的半圆. 则当 x ? 17 时,点 P 到直线 AB 的距离最大,最大值为 15 千米. 所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为 (17,15) 即可. ............14 分

3、解: (1)以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系 xOy, 因为 AB=2 米,所以半圆的半径为 1 米, 则半圆的方程为 x2 ? y 2 ? 1(?1≤ x≤1, y ≤0) . 分 因为水深 CD=0.4 米,所以 OD=0.6 米, 在 Rt△ODM 中, DM ? OM 2 ? OD 2 ? 1? 0.62 ? 0.8 (米). ………………………5 分 所以 MN=2DM=1.6 米,故沟中水面宽为 1.6 米. ………………………6 分 ………………………3

(2)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与半圆相切,设切点为

? P(cos? ,sin ? )(? ? ? ? 0) 是圆弧 BC 上的一点,过 P 作 2
半圆的切线得如图所示的直角梯形 OCFE,得切线 EF 的 方程为 x cos? ? y sin ? ? 1 . ……………………8 分 令 y=0, 得 E(
A O D C

y B M P F E x N

0 ) , o s c ?

1

1n ? i s ? , 令 y=-1, 得 F( ,) 1? . o s c ?
OCFE 的 面 积 为 S , 则

设 直 角 梯 形

S ?( C ? F
(?

? ……………………10 分 ? ? ? 0 ). 2 cos? cos? ? (2 ? sin ? )(? sin ? ) 1 ? 2sin ? ? ,令 S ? ? 0 ,解得 ? ? ? , S? ? ? 2 2 cos ? cos ? 6 ? ? 当 ? ? ? ? ? 时, S ? ? 0 ,函数单调递减; 2 6 ? 当 ? ? ? ? 0 时, S ? ? 0 ,函数单调递增. ………………………12 6
所以 ? ? ?

1 1 ? s ?i n ? ? 2 s i n O ?) E ? O( C ? ? ) ? 1 c o? s ? c o s ? c o s



? 时,面积 S 取得最小值,最小值为 3 . 6
5

? 1 ? sin(? ) 6 ? 3 ,即当渠底宽为 2 3 米时,所挖的土最少. ……………14 此时 CF ? ? 3 3 cos(? ) 6


6


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