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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案:1.2.2 第二课时 组合的综合应用 Word版含解析

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案:1.2.2 第二课时 组合的综合应用 Word版含解析

第二课时 组合的综合应用 有限制条件的组合问题 [典例] 课外活动小组共 13 人, 其中男生 8 人, 女生 5 人, 并且男、女各指定一名 队长, 现从中选 5 人主持某种活动, 依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选. 4 [解] (1)一名女生,四名男生,故共有 C1 C8 =350(种)选法. 5· (2)将两队长作为一类,其他 11 人作为一类, 故共有 C2 C3 2· 11=165(种)选法. (3)至少有一名队长当选含有两类: 有一名队长当选和两名队长都当选. 故共有 C1 C4 2· 11+ C2 C3 2· 11=825(种)选法. 5 或采用间接法:C5 13-C11=825(种). (4)至多有两名女生含有三类:有两名女生,只有一名女生,没有女生.故共有 C2 C3 5· 8+ 5 C1 C4 5· 8+C8=966(种)选法. 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题, 主要有两类: 一是“含”与“不含”问题, 其解法常用直接分步法, 即“含”的先取出, “不含” 的可把所指元素去掉再取, 分步计数; 二是“至多”“至少”问题, 其解法常有两种解决思路:一是直接分类法, 但要注 意分类要不重不漏;二是间接法, 注意找准对立面, 确保不重不漏. [活学活用] 有 4 个不同的球, 4 个不同的盒子, 把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个空盒,有几种放法? (2)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法? 解:(1)先从 4 个小球中取 2 个放在一起,有 C2 4种不同的取法,再把取出的 2 个小球与 另外 2 个小球看成三堆,并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里,有 A3 4种放法,根据分步乘 3 法计数原理,共有 C2 4A4=144(种)不同的放法. (2)恰有 2 个盒子不放球,也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中.有两类放法: 第一类,1 个盒子放 3 个小球,1 个盒子放 1 个小球,先把小球分组,有 C3 4种,再放到 3 2 2 个盒子中有 A2 4种放法,共有 C4A4种放法; 2 第二类,2 个盒子中各放 2 个小球有 C2 4C4种放法. 2 2 2 故恰有 2 个盒子不放球的方法有 C3 4A4+C4C4=84(种). 几何中的组合问题 [典例] 平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线.以这些点为 顶点,可构成多少个不同的三角形? [解] 法一:以从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准. 1 第一类:共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点,共有 C2 4C8=48 个不同的三角形; 2 第二类:共线的 4 个点中有 1 个点为三角形的顶点,共有 C1 4C8=112 个不同的三角形; 第三类:共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点,共有 C3 8=56 个不同的三角形. 由分类加法计数原理知,不同的三角形共有 48+112+56=216 个. 法二:(间接法):从 12 个点中任意取 3 个点,有 C3 12=220 种取法,而在共线的 4 个点 中任意取 3 个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有 C3 4=4 种. 3 故这 12 个点构成三角形的个数为 C12 -C3 4=216 个. 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题,主要考查组合的知识和空间想象能力,题目多以立体几何中的点、 线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖,多个知识点交汇在一起,综 合性强. (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样,只要把图形的限制条件 视为组合问题的限制条件即可. (3)计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在限制条件较多的情况下,需要分类计 算符合题意的组合数. [活学活用] 正六边形的顶点和中心共 7 个点,可组成________个三角形. 解析:不共线的三个点可组成一个三角形,7 个点中共线的是过中心的 3 条对角线,即 共有 3 种情况,故组成三角形的个数为 C3 7-3=32. 答案:32 排列与组合的综合问题 [典例] 用 0 到 9 这 10 个数字组成没有重复数字的五位数,其中含 3 个奇数与 2 个偶 数的五位数有多少个? [解] [法一 直接法] 把从 5 个偶数中任取 2 个分为两类: (1)不含 0 的:由 3 个奇数和 2 个偶数组成的五位数,可分两步进行:第 1 步,选出 3 3 2 奇 2 偶的数字,方法有 C5 C4种;第 2 步,对选出的 5 个数字全排列有 A5 5种方法. 2 5 故所有适合条件的五位数有 C3 5C4A5个. (2)含有 0 的:这时 0 只能排在除首位(万位)以外的四个位臵中的一个,有 A1 4种排法; 3 再从 2,4,6,8 中任取一个,有 C1 4种取法,从 5 个奇数数字中任取 3 个,有 C5种取法,再把取 1 1 3 4 出的 4 个数全排列有 A4 4种方法,故有 A4C4C5A4种排法. 2 5 1 1 3 4 根据分类加法计数原理,共有 C3 5C4A5+A4C4C5A4=11 040 个符合要求的数. [法二 间接法] 2 5 1 4 2 5 3 1 如果对 0 不限制, 共有 C3 其中 0 居首位的有 C3 故共有 C3 5C5A5种, 5C4A4种. 5C5A5-C5C4 A4 4=11 040 个符合条件的数. 解答排列、组合综合问题的思路及注意点 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都 选出来,再对元素或位置进行排列. (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点: ①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题 是排列问题. ②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条

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