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高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)课件 新人教A版必修5_图文

高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)课件 新人教A版必修5_图文

3.3.2 简单的线性规划问题(2)

?2x ? y ? 6,

练习

1:已知实数

x,

y

满足

? ?

x

?

3

y

?

9,

求:

?? x ? y ? 6.

(1) z1 ? x ? y 的最大值和最小值;

(2) z2 ? 3x ? y 的最小值;

(3) z3 ? x ? 4 y 的最小值.

(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.
将 z1 ? x ? y 变形为 y ? ?x ? z1 ,这是

斜率为 ?1、随 z1 变化的一族平行直线. z1 直 线在 y 轴上的纵截距.当然直线要与可行域相 交,即在满足约束条件时目标函数 z1 ? x ? y
取得最值.
由图可见,当直线 z1 ? x ? y 经过可行域

上的点 B 时,纵截距 z1 最小.

解方程组

?2x ? y

? ?

x

?

3y

? ?

6, 9,



B

点的坐标为

x

?

9 5

,

y

?

12 5

.所以

z1 的最小值为

21 5

.

同理,当直线 z1 ? x ? y 与可行域的边界 x ? y ? 6 重合时, z1 最大为 6 .

(2)同理将 z2 ? 3x ? y 化为 y ? ?3x ? z2 ,这是斜率为 ? 3 的一族平行直线.如图所 示,当它过可行域上的点 A(0,6) 时, z 2 最小为 6 .

(3)同理将 z3

?

x ? 4 y 化为 y

?

?1 4

x?

z3 4

,它是斜率为 ?

1 4

的一族直线.如图所示,

当直线经过可行域上的点 C 时,

z3 4

最大,即 z3 最大.

解方程组

? x ? y ? 6, ??x ? 3y ? 9,

得点 C

的坐标为

x

?

9 2

,

y

?

3 2

.所以

z3 的最小值为

21 2

.

问题 1:上面的问题中,可行域是不变的,但是三个目标函数 取得最大值时,最优解所对应的位置不同,这是什么原因导致的呢?
是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的 直线的斜率的大小关系不同导致的.
练习 2::若已知目标函数 z ? ax ? y 在可行域中的点 B
处取得最小值,求实数 a 的取值范围.

解: z ? ax ? y 可化为 y ? ?ax ? z , 因为 z ? ax ? y 在可行域中的点 B 处取得最小值,

所以,直线 z ? ax ? y 与可行域只有一个公共点 B 或与边界 AB 重合,

或与边界 BC 重合. 因此 ? 2 ? ?a ? ? 1 .
4

所以实数

a

的取值范围是

????

2,?

1 4

? ??

.

练习 3:若在练习 1 中的不等式组中增加条件“ x, y ? N ”,
再求目标函数 z1 ? x ? y 的最小值,该如何探求最优解呢? 学生探究一:可以把可行域中的所有“整点”都求出来.
求这些最优解时,可根据可行域对 x 的限制条件,先令
x 去整数,然后代入到可行域,求出 y 的范围并进一步 求出 y 的整数值.

学生探究二:由于 x, y ? N ,则必有 x ? y ? N .又因为当

x

?

9, 5

y

?

12 5

时,

z1 的最小值为

21 5

,且直线

z1

?

x

?

y

应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相应的

z1

的值大于

21 5

.

?2x ? y ? 6, ? x ? 1,

所以令

z1

?

x

?

y

?

5 ,即

y

?

?x

?

5

,代入

? ?

x

?

3y

?

9,

得 ??x

?

3,

?? x ? y ? 6. ??5 ? 6,

即1

?

x

?

3

,所以当

? ? ?

x y

? ?

1, 4,



?x

? ?

y

? ?

2, 3,



?x

? ?

y

? ?

3, 2

时,

z1

取得最小值

5

.

解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,则目标函数为 z ? x ? y .
可行域如图所示.

把 z ? x ? y 变形为 y ? ?x ? z ,得到斜率为

?1,在 y 轴上截距为 z 的一族平行直线.

由图可以看出,当直线 z ? x ? y 经过可行域上 的点 M 时,截距 z 最小.









?x ? 3y ??2x ? y

? ?

27, 15,





M

?? ?

18 5

,

39 5

?? ?

.



此问题中的 x, y 必须是整数,所以 M ?? 18 , 39 ?? 不是 ?5 5?

最优解.经过可行域内整点且使截距 z 最小的直线是 y ? ?x ? 12 ,经过的整点是 B(3,9) 和

C(4,8) ,它们是最优解. zmin ? 12 .
答:要解得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板张数最小的方法有两种,第一种 截法是第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张;第二种截法是第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张.两种截法都最少要两种钢板 12 张.

用线性规划解答实际问题要经历怎样的步骤?
规律:(1)找出实际问题中的数量关系,根据数量关系设出合理的两个变量 x, y ; (2)用 x, y 表示实际问题中的数量关系,得到线性约束条件和目标函数;
(3)用图解法解答线性规划问题的最优解,必要时要探求“整点”; (4)用最优解作答实际问题.

?2x ? y ? 6,

变式训练

2:已知实数

x,

y

满足

? ?

x

?

3

y

?

9,

?? x ? y ? 6.



y x

的最小值是

最小值是

.

, x2 ? ( y ? 3)2 的

解:如图所示,可行域内的点 (x, y) 与原点 (0,0) 连线是介于直线 OC 和 y 轴之间,根

据斜率的变化规律,直线 OC 的斜率最小为 1 ,所以 y 的最小值为 1 ; x2 ? ( y ? 3)2 表

3

x

3

示可行域内的点 (x, y) 与点 P(0,3) 的距离,所以结合图形可以知道点 P 到直线 AB 的距离就



x2 ? ( y ? 3)2 的最小值为 | 2 ? 0 ? 3 ? 6 | ? 3

5
.

22 ? 12

5

[反思小结,观点提炼] 问题 5:通过这节课的学习,你认为“二元”不等式问题解决的一般策略是什么?
数形结合
既然是数形结合,那么在解题中就不能将“数”与“形” 脱离开来,你能举例说明这一点吗?
平移直线时,要根据目标函数对应直线的斜率确定该直线 与可行域边界直线的相对位置关系;在图形变化的过程中, 寻求对应的斜率的变化范围,等等.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/8/29

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谢谢欣赏!

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