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集合与简易逻辑(高考知识点复习总结)

集合与简易逻辑(高考知识点复习总结)

高考文科数学第一轮复习:集合与常用逻辑用语
一、知识梳理: 1、集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合 的 。 、 、 、 。 。 ,记为 ,记为 ;A 的真子集个数为 ;A 的非空

集合的常用表示法: 集合元素的特征: 2、子集: 3、真子集:

集合的子集个数:设含有 n 个元素的集合 A,则 A 的子集个数为 子集个数为 4、补集: 5、全集: 6、交集: ;A 的非空真子集个数为 。

,记为 ,通常全集记作 U 。 ,记为

A ? B = B ? A , A ? B ? A,A ? B ? B 。
7、并集 ,记为

A? B = B ? A, A ? A? B , B ? A? B 。
8、元素与集合的关系:有 9、命题: 10、 、 两种,集合与集合间的关系,用

叫做命题。 叫做逻辑联结词; 不含有逻辑联结词的命题是简单命题; 由简单命题和逻辑联结词“或”、

“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式:p 或 q(记作 p∨q);p 且 q(记作 p∧q);非 p(记作┑q) 。 11、“或”、“且”、“非”的真值判断: ? ? ? “非 p”形式复合命题的真假与 P 的真假 “p 且 q”形式复合命题当 “p 或 q”形式复合命题当 ; 为真,其他情况时为假; 为假,其他情况时为真.

12、命题的四种形式与相互关系: ? ? ? ? ? 原命题:若 P 则 q; 逆命题: 否命题: 逆否命题: 原命题与逆否命题互为逆否命题,同真假;

原命题 若p, 则q
互 为 否 命 题

互为逆命题

逆命题 若q, 则p
互 为 否 命 题

互为逆否命题

否命题 若非p, 则非q

互为逆命题

逆否命题 若非q, 则非p
1

?

逆命题与否命题互为逆否命题,同真假;

13、命题的条件与结论间的属性: 若 p? q, p是q 的 则 若 p ? q ,则 p 是 q 的 若 p ? q ,且 q 若p 若p 条件, 是 p 的 q 条件,简称 p 是 q 的 条件, 即“前者为后者的充分, 后者为前者的必要”。 条件。 条件。 条件。 条件。

p ,那么称 p 是 q 的

q, 且 q ? p,那么称 p 是 q 的 q, 且 q p,那么称 p 是 q 的

14、全称量词与存在量词 全称量词:所有的,一切,全部,都,任意一个,每一个等; 存在量词:存在一个,至少有一个,有个,某个,有的,有些等; 全称命题:含有全称量词的命题称为全称命题。一般形式为:命题 P: 全称命题的否命题: 。 。 。

15、存在量词:含有存在量词的命题称为存在性命题。一般形式为:命题 P: 存在性命题的否命题: 16、判断全称命题与存在性命题的真假:

二、典型例题: 例 1: 1.用列举法表示集合 x x ? 6 ,且 x ? Z ?是________________。 2.用描述法表示:不等式 x
2

?

? 1 ? 0 的解集为________________。

3.下列四组对象,能构成集合 的是__________。 ① 某班所有高个子的学生 ② 著名的艺术家 ③ 一切很大的书 ④ 倒数等于它自身的实数

4.已知集合 A ? ?? 1 1 2,,B ? ?- 1 0, ,则 A ? B =__________。 , 4? , ,2? 5.设 M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 M ? N 等于__________。 例 2.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)· (x-3a)<0}.(a>0) (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值.

2

例 3:下列有关命题的说法正确的是(

)

A.f(x)=ax-2(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0,-2) B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是“若一个数是正数,则 它的平方不是正数” D.“a>1”是“f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件

3 例 4: 设命题 p: 函数 f(x)=(a- )x 是 R 上的减函数, 命题 q: 函数 f(x)=x2-4x+3 在[0, a]上的值域为[-1,3], 2 若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围.

三:课堂练习

1.若 A={x∈Z|2≤22-x<8}, B={x∈R||log2x|>1},则 A∩(CRB)的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( ) 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 3.若集合 M={0, 1, 2}, N={(x, y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0, x、y∈ M},则 N 中元素的个数为( A.9 B.6 C.4 D.2



4.对于集合 M、N,定义 M-N={x|x∈ M,且 x ?N},M○N=(M-N)∪ + (N-M).设 A={y|y=x2-3x, x∈ R}, B={y|y=-2x, x∈ R},则 A○B=( + A. (? 0, ]
4 9

) C. (??,? ) ? (0,??)
9 4

B. [? ,0)

9 4

D. (??,? ) ? [0,??)

9 4

5.命题“对任意的 x∈ R,x3-x2+1≤0”的否定是( ) 3 2 A.不存在,x∈ x -x +1≤0 R, B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈ x3-x2+1>0 R, D.对任意的 x∈ x3-x2+1>0 R,
6.给定集合 A、B,定义 A※B={x|x=m-n,m∈A,n∈B}.若 A={4,5,6},B={1,2,3},则集合 A※B 中的所有 元素之和为( A.15 ) B.14 C.27 D.-14
3

四:课后练习 1.设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)的元素个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

2.集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,则 A∩B= (A) (C)

?

?

?

?

? x x ? 1?
? x ? 1 ? x ? 1?

(B) x ? 1 ? x ? 2 (D) x ? 1 ? x ? 1

?

?

?

?

3.已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x (A) ? 0, 2 ?
3

?

?

?

x ? 4, x ? Z ,则 A ? B ?
(D) ?0,1, 2?

?

(B) ? 0, 2?

(C) ?0, 2? )

4.“x>0”是“ x2>0”成立的( A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件

B.必要非充分条件 D.充要条件 )

5.若集合 A={x|x2-x<0},B={x|(x-a)(x+1)<0},则“a>1”是“A∩B≠?”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.给出以下四个命题:①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2;②若 2≤x<3,则(x-2)(x-3)≤0;③已知 x, y∈R,若 x=y=0,则 x2+y2=0;④若 x,y∈N,x+y 为奇数,则 x,y 中一个是奇数,一个是偶数.其中正确的 是( ) A.①的否命题为真 C.③的逆命题为假 B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假

7.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么 d ? (a ? c) ? A.a B.b C.c D.d

8.非空集合 S ? {1,2,3,4,5} ,且满足“若 a ? S ,则 6 ? a ? S ” ,这样的 S 共有_____个

x ? 2} ,集合 N= ? y | y ? x 2 , x ? M ? ,则 M ? N ? __ ? ? ? ? 10.设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R}, N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) , ? ? R} ,则 M ? N ? _____
9.设集合 M ? {x | y ? 11.命题“存在 x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是
2

4

集合与简易逻辑训练题
一.选择题
2 1.集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =

(A) {1,2}

(B) {0,1,2}

(C){1,2,3}

(D){0,1,2,3}

2.若集合 A ? x x ≤1 , B ? x x≥0 ,则 A ? B ? A. x ?1≤x≤1

?

?

?

?

?

?

B. x x≥0

?

?

C. x 0≤x≤1

?

?

D. ?

3.函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是 (A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 (D) m ? 1

4.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 M ? ?1, 4? , N ? ?1,3,5? ,则 N ? ? M ? U (A) ?1,3? (B) ?1,5? ) (C) ?3,5? (D) ?4,5?

?

?

5.下列命题中,真命题是(

(A) ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x2 ? mx( x ? R) 是偶函数 (B) ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x2 ? mx( x ? R) 是奇函数 (C) ?m ? R ,函数 f ( x) ? x2 ? mx( x ? R) 都是偶函数 (D) ?m ? R ,函数 f ( x) ? x2 ? mx( x ? R) 都是奇函数 6.下列命题中的假命题是( ... A. ?x ? R,lg x ? 0 C. ?x ? R, x3 ? 0 ) B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R,2x ? 0

7.若向量 a ? ( x,3)( x ? R) ,则“ x ? 4 ”是“ | a |? 5 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
[来源:学科网 ZXXK]

8.已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A

? B ? ?1, 2,3, 4?则 m ?



1 2 9.已知全集 U=R,集合 M={x|lgx<0},N={x|( )x≥ },则 (?UM)∩N=________. 2 2 10.A={x|(x-1)2<3x+7},则 A∩Z 的元素的个数为________.
2 11..集合 A ? {x | ax ?1 ? 0} , B ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ,且 A ? B ? B ,则实数 a =______.

?

?

5

12.设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ?N}的真子集的个数是______ ...
?x ? y ?1 ? 0 13.方程组 ? 的解集为____________ ?2 x ? y ? 4 ? 0

14. 在下列说法中:⑴ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;⑵ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为 “ “ 真的充分不必要条件;⑶ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件;⑷ “ “非 p ”为真是“ p 且 q ”为假 的必要不充分条件。其中正确的是__________

1 3 15.已知函数 f(x)= x3- x2-10x,且集合 A={x|f′(x)≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 A∪B=A,求 p 的 3 2 取值范围.

16.设命题 p:| 4 x ? 3 |? 1 ;命题 q: x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件,求实数 a
2

的取值范围?

6


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