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2017-2018学年高一数学北师大版必修4第3章§3二倍角的三角函数_图文

2017-2018学年高一数学北师大版必修4第3章§3二倍角的三角函数_图文

阶 段 一

阶 段 三

§3
阶 段 二

二倍角的三角函数
学 业 分 层 测 评

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1.掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法.(重点) 2.能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明.(重点) 3.能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题.(难点)

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[基础· 初探] 教材整理 二倍角公式与半角公式 阅读教材 P124~P127 练习 2 以上部分,完成下列问题.

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1.二倍角公式

2sinα cosα cos2α-sin2α 2cos2α-1
1-2sin2α

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2.半角公式 α ± (1)sin2= α ± (2)cos2= α ± (3)tan2=

1-cos α 2 ; 1+cos α 2 ;
sin α 1-cos α 1-cos α 1+cos α = 1+cos α = sin α .

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判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意 α∈R,总有 sin 2α=2sin α.( (2)对任意 α∈R,总有 cos 2α=1-2cos2α.( 2tan α (3)对任意 α∈R,总有 tan 2α= 2 .( 1-tan α 2 (4)sin 22° 30′cos 22° 30′= 4 .( 1-cos 2α (5)sin α= .( 2
2

) ) )

)

)
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【解析】

(1)sin 2α=2sin αcos α,所以(1)错.

(2)cos 2α=2cos2α-1,所以(2)错. π kπ 2tan α (3)α≠4+ 2 (k∈Z)时,有 tan 2α= 2 ,所以(3)错. 1-tan α 1 1 2 (4)sin 22° 30′cos 22° 30′=2×2sin 22° 30′cos 22° 30′=2sin 45° =4, 所以(4)对. (5)对.

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

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[小组合作型]
倍角及半角公式的直接应用

3 α 已知 cos α= 3 ,α 为第四象限的角,求 tan 2的值.

α 【精彩点拨】 根据条件求出 sin α,然后求出 cos α,利用半角公式求 tan2.

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【自主解答】

3 ∵α 为第四象限的角,cos α= 3 ,
2

6 ∴sin α=- 1-cos α=- 3 . sin α ∴tan α=cos α=- 2. ∵α 为第四象限角, α ∴2是第二或第四象限的角, α ∴tan 2<0.
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2- 6 α 由 tan α= ,得 tan2= 2 . α 1-tan22

α 2tan2

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α α 在求半角的正切 tan2时,用 tan2=±

1-cos α 来处理,要由 α 所在的象限 1+cos α

α α 确定2所在的象限,再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号;而用 tan2= 1-cos α sin α α α 1-cos α 可以避免这些问题, 尤其是 tan 2= sin α , sin α 或 tan 2=1+cos α来处理, α 1-cos α 分母是单项式,容易计算.因此常用 tan2= sin α 求半角的正切值.

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[再练一题] 1 1.已知 sin α+cos α=3,且 0<α<π,求 sin 2α,cos 2α,tan 2α 的值. 【导学号:66470073】

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1 【解】 ∵sin α+cos α=3, 1 ∴sin α+2sin αcos α+cos α=9,
2 2

1 8 4 ∴sin 2α=9-1=-9,且 sin αcos α=-9<0. 又 0<α<π,

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∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α= 1-sin 2α= ∴cos 2α=cos2α-sin2α =(cos α-sin α)(cos α+sin α) 17 1 17 =- 3 ×3=- 9 , 8 17 1+9= 3 ,

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8 -9 sin 2α ∴tan 2α=cos 2α= 17 - 9 8 17 = 17 .

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利用倍角公式、半角公式化简 XXX

cos 10° · ?1+ 3tan 10° ? 化简:(1) ; cos 70° · 1+cos 40° 1+sin α 1-sin α 3π (2) + ,其中 π<α< 2 . 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α
【精彩点拨】 (1)先把切化弦,再用二倍角公式化简. (2)用半角公式脱去根号,根据角的取值范围化简.

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【自主解答】
?1 2? ?2cos ?

? 3sin 10° ? cos + 3sin 10° cos 10 °? ? cos 10° (1)原式= = sin 20° · 2cos 20° 2 2 sin 40°

? ? 10° ?1+ ?



? 3 ? 10° + 2 sin 10° ? ? 2 2 sin 40°

2 2sin 40° = sin 40° =2 2.

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3π π α 3π (2)∵π<α< 2 ,∴2<2< 4 , α α ∴ 1+cos α= 2|cos 2|=- 2cos 2, α α 1-cos α= 2|sin 2|= 2sin 2,

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1+sin α 1-sin α ∴ + 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α 1+sin α 1-sin α = ? α α?+ ? α α? - 2?cos2+sin2? 2?sin 2-cos 2? ? ? ? ?
? ? α α?2 α α?2 ?cos +sin ? ?sin -cos ? 2 2? 2 2? ? ? = ? α α?+ ? α α? - 2?cos 2+sin 2? 2?sin 2-cos 2? ? ? ? ?

α =- 2cos 2.
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已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: ?1?先化简已知或所求式子; ?2?观察已知条件与所求式子之间的联系?从三角函数名及角入手?; ?3?将已知条件代入所求式子,化简求值.

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[再练一题] 2.设
?3π ? α∈? 2 ,2π?,化简: ? ?

1 1 2+2

1 1 2+2cos 2α.

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【解】

?3π ? ∵α∈? 2 ,2π?, ? ?

α ∴cos α>0,cos 2<0. 故原式= = = 1 1 2 + cos α 2 2

1 1 2+2cos α α? α ? α cos 2=?cos 2?=-cos 2. ? ?
2

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[探究共研型]
三角恒等变形的综合应用
探究 1 倍角公式成立的条件是什么?

【提示】

由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α 中的角 α 是任意的,

π kπ 但要使 T2α 有意义,需要 α≠4+ 2 (k∈Z).

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探究 2 半角公式适用的条件是什么?

α 【提示】 cos 2=± α tan 2=±

1+cos α α ,sin 2=± 2

1-cos α ,α∈R. 2

1-cos α sin α = 中,α≠2kπ+π,k∈Z, 1+cos α 1+cos α

α 1-cos α tan 2= sin α 中,α≠kπ,k∈Z.

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探究 3 如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角?

α 【提示】 例如 α 可以看成2的倍角,也可以看成 2α 的半角.
探究 4 怎样把 asin x+bcos x 化成 Asin(ωx+φ)形式?
? a b ? sin x + cos x 【提示】 asin x+b cos x= a +b · 2 2 2 2 ? a +b ? a +b ? ?
2 2 ?

?


? ?其中sin ? ?

a2+b2 (sin

xcos

φ + cos

xsin

φ) =

a2+b2 sin

( x + φ)

b a ? ? φ= 2 2,cos φ= 2 2?. a +b a +b ?
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已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当
? π? x∈?0,2?时,求函数 ? ?

f(x)的最大值及相应的 x 值.

【精彩点拨】 把 f(x)化成 Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质.

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【自主解答】
? π? =2sin?2x+6?. ? ?

f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x

π π π (1)令 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z), π π 得 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z),
? π π? ∴f(x)的单调递增区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). ? ?

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(2)由

? π? π π 7π ? ? x∈ 0,2 ,可得6≤2x+6≤ 6 . ? ?

π π π 所以,当 2x+6=2,即 x=6时, f(x)取最大值,最大值为 2.

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首先利用倍角公式及两角和的正弦公式,将 f?x?转化为只含一个角的三角函 数的形式,即利用化归的思想转化为形如 y=Asin?ωx+φ?的形式,再研究 f?x?的 有关性质,注意使用整体代换的思想将 ωx+φ 看成一个整体去讨论最值及单调 性问题.

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[再练一题] 3 3. 设函数 f(x)= 2 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0), 且 y=f(x)图像的一个对 π 称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求 ω 的值; (2)求
? 3π? f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值. ? ?

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【解】

3 (1)f(x)= 2 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx

1-cos 2ωx 1 3 = 2 - 3· -2sin 2ωx 2 3 1 = 2 cos 2ωx-2sin 2ωx
? π? =-sin?2ωx-3?. ? ?

π 2π 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 . 又 ω>0 ,所以 2ω = π 4×4,因此 ω=1.
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(2)由(1)知

? π? f(x)=-sin?2x-3?,当 ? ?

3π π≤x≤ 2 时,

5π π 8π 3 ≤2x-3≤ 3 ,
? π? 3 所以- 2 ≤sin?2x-3?≤1, ? ?

3 因此-1≤f(x)≤ 2 . 故
? 3π? f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 ? ?

3 2 ,-1.

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1.tan 15° 等于( A.2+ 3 C. 3+1
【解析】

) B.2- 3 D. 3-1

sin α sin 30° α 由 tan 2= ,得 tan 15° = =2- 3. 1+cos α 1+cos 30°

【答案】 B

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3 α 2.若 sin 2= 3 ,则 cos α=(

) 【导学号:66470074】

1 A.-3 1 C.3
【解析】 cos α=1-2sin
【答案】 C


2 B.-3 2 D.3
? ? = 1 - 2 × ? 2 ?
2 1 3? ? =3. 3? ?

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2 α 3.已知 cos α=3,270° <α<360° ,则 cos2的值为



α α 【解析】 因为 270° <α<360° ,所以 135° <2<180° ,所以 cos 2 <0.又 cos α= α 2cos 2-1,所以 cos 2=-


1+cos α 30 =- 6 . 2

30 【答案】 - 6

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2 4.已知 cos 2θ= 3 ,则 sin4θ+cos4θ=

.

【解析】

sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ

1 2 1 11 2 =1-2sin 2θ=1-2(1-cos 2θ)=18.

11 【答案】 18

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sin 2θ+sin θ 5.求证: =tan θ. 2cos2θ+cos θ

2sin θcos θ+sin θ sin θ?2cos θ+1? 【证明】 左边= = 2 2cos θ+cos θ cos θ?2cos θ+1? sin θ =cos θ=tan θ=右边.原式得证.

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