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宁夏回族自治区银川一中2016届高三数学上学期第五次月考试题 理

宁夏回族自治区银川一中2016届高三数学上学期第五次月考试题 理


银川一中 2016 届高三年级第五次月考 数 学 试 卷(理)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {x ? Z x ? 3 ? 2},则集合 C U A ? A.{1, 2, 3, 4} B.{2, 3, 4} C.{1,5} D.{5} 2.已知 ? 、 ? 是两个不同平面, m 、 n 是两不同直线,下列命题中的假命题是 A. 若m // n, m ? ? , 则n ? ? C. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? 3.已知等差数列{ an }中, a7 ? A. ? B. 若m // ? ,? ? ? ? n, 则m // n D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

?
4

,则 tan( a6 ? a7 ? a8 )= C.-1 D.1

3 3

B. ? 2
1 x ? x 2 的定义域为 x ?1

4.函数 f ( x ) ? ln A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1) ? (1,+ ? )

5.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体 的三视图如图所示,则该截面的面积为 A.
3 10 2

B. 4

C.

9 2

D. 5

2 2 6.已知圆 x ? y ? mx ?

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m= 4 4
C. 2 D.± 3

A.±2 2

B. 3

0?) 的单调递增区间是 7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ? π,
A. ? ? π, ?

? ?

5π ? 6? ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6

C. ? ? , 0?

? π ? ? 3 ?

D. ? ? , 0?

? π ? ? 6 ?

8.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是 A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

1

9.有下列四个命题:

p1: ?x, y ? R,sin( x ? y ) ? sin x ? sin y ; p2:已知 a>0,b>0,若 a+b=1,则

1 4 ? 的最大值是 9; a b

p3:直线 ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 过定 点(0,-l); p4:由曲线 y ? x 2 , y ? x3 围成的封闭图形面积为
其中真命题是 A.p1,p4 B.p1p2, C.p2,p4 D.p3,p4

1 12

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的唯一最 ?2 x ? y ? 5 ? 0, ?
优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为 A.a<-l B.0<a<l C.a≥l
AB AB ? AC AC

D.a>1
) ? BC ? 0 ,且 AB AB ? AC AC ? 1 , 2

11.已知在△ABC 中,向量 AB 与 AC 满足 ( 则△ABC 为 A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

12.已知 f′(x)是奇函数 f(x)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,

xf′(x)﹣f(x)>0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣1,0)∪(0,1) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点 (3, ﹣4) , 则此双曲线的离心率为 14.函数 y ? loga (2 x ? 3) ? 则 f(9)=_____________ 15.若 sin(? ? x) ? sin( ? ? x) ? . B.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

2 的图像恒过定点 P,P 在幂函数 y=f(x)的图像上, 2
1 ,,则 sin2x= 2

3 2



2 2 2 16.关于 x 的方程 ( x ? 4) ? 4 x ? 4 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;

2

④存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; ⑤存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号是 号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得 (写出所有真命题的序

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测
得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 18. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,
A A1

D 为 CC1 中点。
(1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的大小; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离; 20.(本小题满分 12 分)
B C D B1 C1

已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 2

P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).
x 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M .

?1 ? ?2 ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用

3

2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙ O 是 ? ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙ O 的直径. (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作⊙ O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 2 ,

CF ? 4 ,求 AC 的长.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin? , ? ? ? ? , ? ? ?2 ? ? ? (1)求半圆 C 1 的参数方程; (2)设动点 A 在半圆 C 1 上,动线段 OA 的中点 M 的轨迹为 C 2 ,点 D 在 C 2 上,C 2 在点 D 处 的切线与直线 y ?

3 x ? 2 平行,求点 D 的直角坐标.
1 x?3 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?| x ? 1 | ? | x ? a | , g ? x ? ?

(1)当 a ? ? 2 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ?的解集;

(2)若 a ? ?1 ,且当 x ? ?? a ,1? 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ?有解,求实数 a 的取值范围.

银川一中 2016 届高三年级第五次月考数学(理)答案 一、选择题 题号 1 答案 C 5 5 13. or 3 4 2 B 14.
1 3

3 C

4

5 C

6 D

7 D

8 C

9 A

10 D

11 D

12 B

B 3 15. ? 4

16. ①②③⑤

17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s · sin ? ? 所以 BC ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? 在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )
由正弦定理得

4

18.解: (Ⅰ)? an?1 ? 2Sn ,

? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?
又? S1 ? a1 ? 1 ,

Sn ?1 ? 3. Sn

? 数列 ?Sn ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* ) .
当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2? 3n?2 (n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n?2 3 ,n ≥ 2. ??? (Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1;
当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? 30 ? 6? 31 ? ?? 2n? 3n?2 ,????①

3Tn ? 3 ? 4? 31 ? 6? 32 ? ?? 2n? 3n?1 ,?????????②
① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ??? 3n?2 ) ? 2n? 3n?1

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 2? ? 2n? 3n ?1 1? 3 ? ?1 ? (1 ? 2n)? 3n?1 . 1 ? 1? ?Tn ? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?
又?T1 ? a1 ? 1 也满足上式,?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

A 19.解答:解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,

A1

? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为 C

F

C1 D BC,CC1 的中点, O ? B1O ⊥ BD , B B1 ? AB1 ⊥ BD . 在正方形 ABB1 A 1 中, AB 1⊥A 1 B ,? AB 1 ⊥平面 A 1BD . (Ⅱ) 设 AB1 与 A 在平面 A 作 GF ⊥ A1D 于 F , 连结 AF , 由 (Ⅰ) 得 AB1 ⊥ 1B 交于点 G , 1BD 中, 平面 A 1BD . ? AF ⊥ A1D ,?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.
在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

1 4 5 ,又? AG ? AB1 ? 2 , 2 5

5

? sin ∠AFG ?

AG 2 10 . ? ? AF 4 5 4 5
10 . 4

所以二面角 A ? A 1 D ? B 的正弦值 (Ⅲ) △A1BD 中, BD ? A1 D ?

5,A1 B ? 2 2, ? S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 .

在正三棱柱中, A 1 到平面 BCC1B 1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A 1BD 的距离为 d . 由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得 S△ BCD ? 3 ?

1 3

3S△ BCD 2 1 S△ A1BD ?d ,? d ? ? . 3 S△ A1BD 2

z 2 . A 2 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 , C ? AD ⊥ 平面 BCC1B1 . O ??? ? ???? ? ? ??? 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向 B 为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, x

? 点 C 到平面 A1BD 的距离为

A1
F D

C1
y

B1

, 0, 0) , D(?11 , , 0) , A1 (0, 则 B(1 2, 0) , 2,3) , A(0, 0,3) , B1 (1,

???? ???? ??? ? 1 , 0) , BA1 ? (?1 ? AB1 ? (1 , 2, ? 3) , BD ? (?2, , 2,3) . ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥平面 A1BD . ???? ???? (Ⅱ)设平面 A , , ? 3) , AA1 ? (0, 2, 0) . 1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) . AD ? (?11 ???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ???? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ? y ? 0, ?n?AD ? 0, ? ?? ?? ? ? ???? ?2 y ? 0, ? x ? ? 3z. ? ? ?n?AA1 ? 0, ?
令 z ? 1 得 n ? (? 3, 01) , 为平面 A1 AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A 1BD ,? AB 1BD 的法向量. 1 为平面 A

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 ?? . cos ? n , AB1 ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1
6

? 二面角 A ? A1D ? B 的余弦值为 . 4 ???? ??? ? ???? (Ⅲ)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A , 0,, 0) AB1 ? (1 , 2, ? 3) . 1BD 法向量,? BC ? (?2 ??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 . ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB1

6

20.(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4cy ,由 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2 2 2 x x 1 1 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? 1 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 ,所 2 2 4 4 2 x x x 以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 ,同理可得切 2 2 2 线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ? 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ? 1 9 所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2 21.(Ⅰ) 当 k ? 1 时, f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
2 2 2

2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x?
f ? x?

? ??,0?
?
?

0

? 0,ln 2?
?
?

ln 2

? ln 2, ???
?
?

0
极大值

0
极小值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0 ? , ? ln 2, ??? .
x x x x (Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

7

所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所以当 x ? 0,ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k
k

?

?

?

?

?

?

3

k 3 令 h ? k ? ? ? k ?1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e k ? 3k ,

?

?

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ?? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k k

3? ?1 ? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ? ?1 ? ?1 ? 所以存在 x0 ? ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?
所以 ? ? k ? 在 ? ,1? 上递减,而 ? ? 当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 ,

?1 ? ?2 ? 1 7 ?1? 因为 h ? ? ? ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , 2 8 ?2? ?1 ? 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ?
所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. 综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k .
k 3

8

9


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