9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

2018_2019高中数学三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换课件新人教A版_图文

2018_2019高中数学三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换课件新人教A版_图文

第三章
三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换
第1课时 三角恒等变换

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

变换是生活中的常态,换一个环境,换一种心情,换一个角度,或许就柳 暗花明又一村了,我们经常看到的魔术更是如此.可见,变换已深入到我们生 活中的每一个角落. 在前面几节的学习中,我们已经领略了三角变换的风采,那么,对于前面 学习的和角公式,通过对各公式做加减运算,又能得到什么样的变换呢?

1.半角公式(不要求记忆) α sin2=±
1-cosα 1+cosα ± 1-cosα 1-cosα α ± α 1+cosα 2 2 ,cos2=____________,tan2=____________= sinα =

sinα α .符号由2所在的象限决定. 1+cosα

2.常见的三角恒等变换
2 2 b a + b (1)asinx+bcosx=__________sin(x+φ)(ab≠0),其中 tanφ=a,φ 所在象限由

3 b a 和 b 的符号确定.仅仅讨论a=± 1,± 3,± 3 的情况.
1+cos2x 1-cos2x 1 sin2x 2 2 2 (2)sin x= , cos x = __________ , sin x cos x = _________ ____. 2 2

[知识点拨](1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的. α (2)半角公式给出了求2的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道 cosα α α α 的值及相应 α 的条件,sin2,cos2,tan2便可求出. sinα α α 1-cosα (3)由于 tan2= 及 tan2= sinα 不含被开方数,且不涉及符号问题, 1+cosα 所以求解题目时,使用相对方便,但需要注意该公式成立的条件. 1-cosα 2α (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时, 常用 sin 2= 2 和 cos 2


1+cosα = 2 .

[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用) 1 sinαcosβ=2[sin(α+β)+sin(α-β)], 1 cosαsinβ=2[sin(α+β)-sin(α-β)], 1 cosαcosβ=2[cos(α+β)+cos(α-β)], 1 sinαsinβ=-2[cos(α+β)-cos(α-β)].

(2)和差化积公式(不要求记忆和应用) x+y x-y sinx+siny=2sin 2 cos 2 , x+y x-y sinx-siny=2cos 2 sin 2 , x +y x -y cosx+cosy=2cos 2 cos 2 , x+y x-y cosx-cosy=-2sin 2 sin 2 .

α 1.已知 180° <α<360° ,由 cos2的值等于 A.- C.- 1-cosα 2 1+cosα 2 B. D. 1-cosα 2 1+cosα 2

( C )

3 5π θ θ 2.已知 sinθ=5, 2 <θ<3π,那么 tan2+cos2的值为 10 A. 10 -3 10 C.-3- 10 10 B.3- 10 10 D.3+ 10

( B )

5π 4 5π θ π 2 [解析] ∵ 2 <θ<3π,∴cosθ=- 1-sin θ=-5, 4 <2<32. θ θ ∵sin2<0,cos2<0. θ ∴sin2=- 1-cosθ 3 θ 2 =-10 10,cos2=- 1+cosθ 2 =- 10 10.

θ sin2 θ ∴tan2= θ=3. cos2 10 θ θ ∴tan2+cos2=3- 10 .

?3π ? 4 α ? ? 3.已知 cosα=5,α∈ 2 ,2π ,则 sin2等于 ? ?

( B )

10 A.- 10 3 C.10 3

10 B. 10 3 D.-5

[解析]

?3π ? ? α ?3π ∵α∈? 2 ,2π?,∴2∈? 4 ,π?. ? ? ? ?

α ∴sin2=

1-cosα 10 2 = 10 .

4.3sinx- 3cosx=
? π? A.sin?x-6? ? ? ? π? B.3sin?x-6? ? ?

( D )

C.

? π? 3sin?x+6? ? ?

D.2
? 3? ? ?

? π? 3sin?x-6? ? ?

[解析] 3sinx- 3cosx=2 =2 =2
? π π? 3?sinxcos6-cosxsin6? ? ? ? π? 3sin?x-6?. ? ?

? 3 1 ? sin x - cos x ? 2 2 ?

互动探究学案

命题方向1 ?应用半角公式求值
4 5π θ θ θ 典例 1 已知 sinθ= ,且 <θ<3π,求 sin ,cos ,tan . 5 2 2 2 2

[思路分析] 式求值.

θ 已知条件中的角 θ 与所求角中的2成二倍关系,从而选择半角公

4 5π [解析] ∵sinθ=5, 2 <θ<3π, 3 ∴cosθ=- 1-sin θ=-5.
2

5π θ 3π ∵ 4 <2< 2 , θ ∴sin2=- θ cos2=- 1-cosθ 2 5 2 =- 5 , θ sin2 1+cosθ 5 θ 2 =- 5 ,tan2= θ=2. cos2

θ 『规律总结』 已知 θ 的某个三角函数值,求2的三角函数值的步骤是:(1) 利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即 可.

3 θ 〔跟踪练习 1〕设 π<θ<2π,cos2=-5,求 (1)sinθ 的值;(2)cosθ 的值;(3)sin 4的值.
π θ [解析] (1)∵π<θ<2π,∴2<2<π, 3 θ θ 又 cos2=-5,∴sin2= 1-cos 2=




32 4 1-?-5? =5,

3 4 24 θ θ ∴sinθ=2sin2cos2=2×(-5)×5=-25.

32 7 (2)cosθ=2cos 2-1=2×(-5) -1=-25. 3 θ 1-cos2 1-?-5? 4 θ 2 (3)sin 4= 2 = =5. 2



命题方向2 ?三角恒等式的证明
3x 2sinx x 典例 2 求证 tan -tan = 2 2 cosx+cos2x.

[思路分析]

可以从左向右证明,从函数名称入手考虑,将函数名称统一为

3x x 3x x 弦;也可以从右向左证明,从角入手考虑,注意到 x= 2 -2,2x= 2 +2,从消 除等式两边角的差异入手考虑.

3x x sin 2 sin2 3x x [证明] 证法一:tan 2 -tan2= 3x- x cos 2 cos2
?3x x ? 3x x 3x x sin 2 cos2-cos 2 sin2 sin? 2 -2? ? ? = = 3x x 3x x cos 2 cos2 cos 2 cos2

sinx 2sinx = 3x x = ?3x x? ?3x x ? cos 2 cos2 cos? 2 -2?+cos? 2 +2? ? ? ? ? 2sinx = . cosx+cos2x

?3x x ? 2sin? 2 -2? 2sinx ? ? 证法二: = ?3x x ? ?3x x ? cosx+cos2x cos? 2 -2?+cos? 2 +2? ? ? ? ? ? 3x x 3x x ? 2?sin 2 cos2-cos 2 sin2? ? ?



3x x 2cos 2 cos2

3x x sin 2 sin2 3x x = 3x- x=tan 2 -tan2. cos 2 cos2

『规律总结』

(1)在恒等式的证明中,“化繁为简”是化简一个三角函数

式的一般原则,由复杂的一边化到简单的一边,按照目标确定化简思路.如果
两边都比较复杂,也可以采用左右归一的方法. (2)化简与证明的常用方法: ①“切”化“弦”; ②积化和差,和差化积;

③平方降次;
④异角化同角,异次化同次,异名化同名.

1 〔跟踪练习 2〕求证: 1 = sin2α. α 4 α-tan2 tan2

cos2α

[证明] 证法一

α α cos αsin2cos2 cos2α cos2α 左边= α = α = 2α α 2 2α 2α cos2 sin2 cos 2-sin 2 cos 2-sin 2 α- α α α sin2 cos2 sin2cos2
2

α α cos αsin2cos2 1 1 α α = =sin2cos2cosα=2sinαcosα=4sin2α=右边. cosα
2

∴原式成立.

cos2α cos2αsinα 1 1 证法二 左边= = 2cosα =2sinαcosα=4sin2α=右边. 1+cosα 1-cosα sinα - sinα ∴原式成立. 证法三: sin2α=右边. ∴原式成立. α α cos αtan2 2tan2 1 2 1 2 1 1 左边= = 2 cos α· = 2 cos α· tanα = 2 cosαsinα = 4 α α 1-tan22 1-tan22
2

辅助角公式的应用
典例 3 将下列三角函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)+m 的形式.
x x x (1)f(x)=2cos2( 3sin2+cos2)-1; π π (2)f(x)=2 2cos(x+4)cos(x-4)+2 2sinxcosx.

[思路分析]

先将f(x)利用三角恒等变换化为asinx+bcosx的形式,再利用辅

助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的形式

[解析]

π x x 2x (1)f(x) = 2 3sin 2 cos 2 + 2cos 2 - 1 = 3 sinx + cosx = 2(sinxcos 6 +

π π cosxsin6)=2sin(x+6). π π π π (2)f(x)=2 2(cosxcos4-sinxsin4)· (cosxcos4+sinxsin4)+ 2sin2x = 2(cosx-sinx)(cosx+sinx)+ 2sin2x= 2cos2x+ 2sin2x π =2sin(2x+4).

『规律总结』

将三角函数 y=f(x)化为 f(x)=Asin(ωx+φ)+m 的步骤

1 (1)将 sinxcosx 运用二倍角公式化为2sin2x,对 sin2x,cos2x 运用降幂公式, sin(x± α),cos(x± α)运用两角和与差的公式展开. (2) 将 (1) 中得到的式 子利用 asinα + bcosα = a2+b2 · sin(α + φ) 化为 f(x) = Asin(ωx+φ)+m 的形式.

〔跟踪练习 3〕化简下列三角函数解析式为 y=Asin(ωx+φ)的形式: (1)y=cos4x-2sinxcosx-sin4x; 1 (2)y=sinx(cosx-sinx)+2. [解析] (1)y=cos4x-2sinxcosx-sin4x
=(cos4x-sin4x)-2sinxcosx =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-2sinxcosx ? ? 2 2 ? =cos2x-sin2x= 2?- sin2x+ cos2x? ? 2 2 ? ? ? 3π 3π? = 2?sin2xcos 4 +cos2xsin 4 ? ? ? ? 3π? = 2sin?2x+ 4 ?. ? ?

1 (2)y=sinx(cosx-sinx)+2 1 =sinxcosx-sin x+2
2

1-cos2x 1 1 =2sin2x- +2 2 1 1 1 1 =2sin2x+2cos2x-2+2
? 2? 2 ? 2 = 2 ? sin2x+ cos2x? ? 2 ? 2 ?

π? 2 ? = 2 sin?2x+4?. ? ?

应用半角公式求值时错用公式
α α 典例 4 设 3π<α<4π,cos2=m,那么 cos4等于 A. C.- m+1 2 1-m 2 B.- D. m+1 2 1-m 2 ( )

[错解] 选A或选C

[错因分析]

α 将余弦降幂公式错记为正弦降幂公式导致错选 C;或忽略对角4

范围的讨论导致符号错误错选 A.
α cos2+1 3π α α α α 2 2 [正解] 由于 cos2=2cos 4-1,可得 cos 4= 2 .又 3π<α<4π,所以 4 <4 α α <π.所以 cos4<0.所以 cos4=- m+1 2 .

『点评』 正确运用半角公式求解问题的两个注意点: (1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提. (2)应用半角公式求值时,要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数 值的符号.

3 7π θ -3 . 〔跟踪练习 4〕已知 sinθ=-5,3π<θ< 2 ,则 tan2=_______

[解析]

3 根据角 θ 的范围,求出 cosθ 后代入公式计算,即由 sinθ=-5,

3 -5 7π 4 sinθ θ 3π<θ< 2 ,得 cosθ=-5,从而 tan2= = 4=-3. 1+cosθ 1-5

1.下列各式与 tanα 相等的是 A. 1-cos2α 1+cos2α sinα B. 1+cosα 1-cos2α D. sin2α

( D )

sinα C. 1-cos2α

[解析]

1-cos2α 2sin2α sinα sin2α =2sinαcosα=cosα=tanα.

5π 2.设-3π<α<- 2 ,则化简 α A.sin2 α C.-cos2

1-cos?α-π? 的结果是 2 α B.cos2 α D.-sin2

( C )

5 3 α 5 [解析] ∵-3π<α<-2π,∴-2π<2<-4π, α ∴cos2<0, ∴原式= 1+cosα α α 2 =|cos2|=-cos2.

1 3 3.设 a=2cos6° - 2 sin6° ,b=2sin13° cos13° ,c= A.c<b<a C.a<c<b B.a<b<c D.b<c<a

1-cos50° ,则有 2 ( C )

[解析] a=sin30° cos60° -cos30° ,sin6° =sin(30° -6° )=sin24° ,b=sin26° , c= 2sin225° ,∴b>c>a.故选 C. 2 =sin25°

sin2α-cos2α π 4.已知 tan(α+4)=2,则 的值为 1+cos2α 1 A.-6 5 C.2 1 B.6 5 D.-6

( A )

π tan?α+4?-1 π π 1 [解析] tanα=tan[(α+4)-4]= π =3, 1+tan?α+4? cosα?2sinα-cosα? 1 1 1 1 原式= =tanα-2=3-2=-6,故选 A. 2cos2α


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com