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2018年数学优化指导(北师大版选修2-2)练习:第3章 2.1 实际问题中导数的意义 活页作业13 Word版含解析

2018年数学优化指导(北师大版选修2-2)练习:第3章 2.1 实际问题中导数的意义 活页作业13 Word版含解析

活页作业(十三) 实际问题中导数的意义 1. 质点运动的速度 v(单位: m/s)是时间 t(单位: s)的函数, 且 v=v(t), 则 v′(1)表示( A.t=1 s 时的速度 C.t=1 s 时的位移 B.t=1 s 时的加速度 D.t=1 s 时的平均速度 ) 解析:v(t)的导数 v′(t)表示 t 时刻的加速度. 答案:B 2.从时刻 t=0 开始的 t s 内,某导体的电荷量(单位:C)可用公式 q=2t2+5t 表示,则 第 5 s 时,电流强度为( A.45 C/s C.25 C/s 解析:q′(t)=4t+5,q′(5)=25. 答案:C 3.下列四个命题: ①曲线 y=x3 在原点处没有切线; ②若函数 f(x)= x,则 f′(0)=0; ③加速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数; ④函数 y=x5 的导函数的值恒非负. 其中真命题的个数为( A.1 C.3 解析:①中 y′=3x2,x=0 时,y′=0, ∴y=x3 在原点处的切线为 y=0. ②中 f(x)在 x=0 处导数不存在. ③中 s(t)对时间 t 的导数为瞬时速度. ④中 y′=5x4≥0. 所以命题①②③为假命题,④为真命题. 答案:A 4. 某汽车启动阶段的路程函数 s(t)=2t3-5t2(t 为时间), 则 t=1 时, 汽车的加速度为( A.6 B .4 ) ) B .2 D.4 ) B.30 C/s D.20 C/s C.2 解析:速度 v(t)=s′(t)=6t2-10t, ∴加速度 a(t)=v′(t)=12t-10, 当 t=1 时,a(1)=2. 答案:C D.1 5.如下图,设有定圆 C 和定点 O,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超 过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图像大致是( ) A. B. C. D. 解析:由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段 相对增速较快. 选项 A 表示面积的增速是常数,与实际不符; 选项 B 表示最后时段面积的增速较快也与实际不符; 选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符; 选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快.符合实际. 答案:D 6.一质点沿直线运动,若由始点起经过 t s 后的位移为 s=3t2+t,则速度 v=10 时的时 刻 t=________. 解析:s=3t2+t,s′=6t+1. 令 s′=10,得 6t+1=10, 3 ∴t= . 2 3 答案: 2 7.假设某国家在 20 年间的平均通货膨胀率为 5%,物价 p(单位:元)与时间 t(单位:年) 有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中 p0 为 t=0 时的物价,假定某种商品的 p0=1,那 么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年(精确到 0. 01). 解析:∵p0=1,∴p(t)=(1+5%)t=1.05t. 在第 10 个年头,这种商品价格上涨的速度,即为函数的导函数在 t=10 时的函数值. ∵p′(t)=(1.05t)′=1.05t· ln 1.05, ∴p′(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年). ∴在第 10 个年头,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨. 答案:0.08 8.一列在直线轨道上运行的火车,从刹车到停车的这段时间内,测得刹车后 t s 内火车 前进的距离 s=27t-0.45t2(单位:m),则这列火车在刹车后停下来消耗的时间为________s. 解析:由题意可知,火车停止时速度为 0,令 v=s′=27-0.9t=0,解得 t=30. 答案:30 9.一杯 80 ℃的热红茶于 20 ℃的房间里,它的温度会逐渐下降.温度 T(单位:℃)与时 间 t(单位:min)间的关系,由函数 T=f(t)给出,请问: (1)f′(t)的符号是什么?为什么? (2)f′(3)=-4 的实际意义是什么? 解:(1)f′(t)是负数.因为 f′(t)表示温度随时间的变化率,而温度是逐渐下降的,所以 f′(t)为负数. (2)f′(3)=-4 表明在 3 min 附近时,红茶温度约以 4 ℃/min 的速度下降. 10.某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100 件,假设日产品的总成本 1 C(元)与日产量 x(件)的函数关系式为 C(x)= x2+60x+2 050.求: 4 (1)日产量 75 件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由 75 件提高到 90 件,总成本的平均改变量; (3)当日产量为 75 件时的边际成本. 1 解:(1)当 x=75 时,C(75)= ×752+60×75+2 050=7 956.25(元), 4 C?75? ∴ ≈106.08(元). 75 故日产量 75 件时的总成本和平均成本分别为 7 956.25 元,106.08 元. ΔC C?90?-C?75? (2)当日产量由 75 件提高到 90 件时, 总成本的平均改变量 = =101.25(元 Δx 90-75 /件). 1 (3)∵C′(x)= x+60,∴C′(75)=97.5(元). 2 11.已知成本 C 与产品 x 之间的函数关系式为 C(x)=0.001x3+5x,那么,当 x=1 000 时,边际成本为( A.2 000 C.3 005 解析:C′(x)=0.003x2+5, C′(1 000)=0.003×1 0002+5=3 005. 答案:C 12.正方形的周长 y 关于边长 x 的函数是 y=4x,则 y′=________,其实际意义是 ____________. 答案:4 边长每增加 1 个单位长度,周长增加 4 个单位长度 1 13.某汽车的路程函数是 s=2t3- gt2(g=

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