9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题十平面向量及应用

专题十平面向量及应用


专题十 一. 基础自测

平面向量及应用
高春芳

日照实验高中

1.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0), b ? 1则 a ? 2b ?
0

(A) 3 【解析】

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

a ? 2, a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b 2 ? 4 ? 4 ? 2 ?1? cos 600 ? 4 ? 12 ? a ? 2b ? 2 3
【答案】B 2.已知 a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A. )

2

? 6
2

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【解析】因为由条件得

a ? b ? a ? 2 所以 a ? b ? 2 ? a ? 3 ? a b cos ? a, b ? ? 1? 6 cos ? a, b ?
【答案】C 3.(2009 重庆卷)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x) ,若 a ? b与4b-2a 平行,则实数 x 的值是 ( ) A.-2 【解析】 B.0 C.1 D.2

2

1 ? ? cos ? a, b ? = , ? ?= 2 3

解 法 1 因 为 a ? ( 1 , 1b )? ,

4? a 2? (x2, , 所 ) 以 a ? b ?( 3 , x ? 1 ) , b

( 6x,? 4由 于 2)

平行,得 6( x ? 1) ? 3(4 x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 2 。 a? b 与4 b - 2 a 解 法 2 因 为 a? b 与4 b - 2 a平 行 , 则 存 在 常 数 ? , 使 a ? b=? (4b-2a) , 即

(2 ?? 1 a)?
【答案】D

a 与 b 共线,故 x ? 2 。 ? (? 4 b ,根据向量共线的条件知,向量 1)

4.设向量 a , b 满足: a ? 3, b ? 4, a ? b ? 0,以 a,b, a-b 的模为边长构成三角形,则它 的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 B. 4 C. 5 ) .

D. 6

【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于

圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 【答案】C 5.( 2010 年高考全国卷 I 理科 11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、 B 为俩切点,那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

【命题意图】 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理, 着重考查最值的求法— —判别式法 , 同时也考查了考生综合运用数学知识 解题的能力及运算能力. A 【解析】 如图所示: 设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? , O P 则∠APB= 2? ,PO= 1 ? x2 , sin ? ?

1 1 ? x2



B

PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) =

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 2 y ? = , 令 , 则 , 即 x4 ? (1 ? y) x2 ? y ? 0 , 由x 是 P A ? P B ? y 2 2 x2 ? 1 x ? 1 x ?1
实数,所以

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .
故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ? 【答案】D 6.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? 0 ,则 (a ? b) ? (b ? c) 的最小值为 ( (A) ?2 【解析】 ) (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

2 ?1 .

a, b, c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a b ? (a ? b) c ? c

?

??

?

2

5

? 1? | a ? b | | c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2
【答案】 D 7. (2010 年高考北京卷理科 6) a、 b 为非零向量。 “a ? b” 是 “函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 为一次函数”的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

【解析】若 a ? b ,则有 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) ? x(| a |2 ? | b |2 ) 不一定是一次函数(当 ;反之成立,故选 B。 | a |?| b | 时不是一次函数) 【答案】B 8.( 2009 广 东 卷 理 )若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) , 则a ? .

【解析】 a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1) 或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) . 【答案】(-1,1)或(-3,1) 9.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量

OA 和 OB ,它们的夹角为 120o .
如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. [解析]设 ?AOC ? ?

1 ? cos ? ? x ? y ? ? OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA , ? ? 2 ,即 ? ? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

【答案】2

二、考点与方法梳理
1、向量的概念 (1).向量: 既有大小又有方向的量叫做向量. (2) 零向量: 长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的,. (3) 相 等 向 量 : 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量 . 两 向 量 a 与 b 相 等 , 记 为 a ? b 注 :向量不能比较大小,因为方向没有大小. (4) 单位向量: 长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向 量. (5) 共线向量: 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一 直线上.规定 0 与任一向量共线

(6)相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 2、向量的运算 (1)向量的加法 向量加法的三角形法则; 向量的加法的平行四边形法则; 向量的加法满足交换律与结合律. (2)向量的减法是向量加法逆运算: “终点减起点” (3)数乘向量: 数乘向量的结果仍是一个向量 (4)两个向量的数量积, ①两向量 a ? b 的数量积运算结果是一个数 a ? b cos? (其中 ? ? a, b ),这平面向 及应用个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ② b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 ③数量积的几何意义是数量积 a b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积. (三)运算性质及重要结论 ⑴平面向量基本定理: ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言: a// b ? a ? ? b ( b ? 0 ) 坐标语言为:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ(x2,y2),
? ? ?

?

?

?

? ?

?

? x1 ? ? x2 |a| 即? ,或 x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的, |λ|= ? , ? y1 ? ? y2 |b|
⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言: a ? b ? a ? b ? 0 坐标语言:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ⑷两个向量数量积的重要性质: ① a ?| a |
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?2

?

2

即 | a |?
? ?

?

?2

a (求线段的长度);

② a ? b ? a ? b ? 0 (垂直的判断); ③ cos ? ?

a ?b a?b

(求角度)。

(5) 如果 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , ∴平面内两点间的距离公式为 PP 1 2 ?

( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .

注意:在高考试题中,主要考查有关的基础知识,突出向量的工具作用。在复习中要重视

教材的基础作用,加强基本知识的复习,做到概念清楚、运算准确,不必追求解难题。热点 主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角,解析几何等方面的应用.

三.典例展示
例1(1)设P是?ABC所在平面内的一点, BC ? BA ? 2 BP, 则( ) A. PA+PB=0 C. PC+PA=0 B. PB+PC=0 D. PA+PA+PC=0

(2)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点。若AC=? AE + ? AF, 其中? ,? ? R,则? +? =____

思维启迪
(1)BC+BA=2BP ? P为AC中点 ? PC ? PA ? 0 (2)设AE=a, AF=b ? 用a, b来表示 AC ? 与 AC ? ? AE ? ? AF 比较的出?,?值 ? 求? ? ?的值

解析
(1) BC+BA ? 2BP,? P点为AC的中点, ?PC+PA ? 0
1 1 (2)设AE=a, AF=b,则AB+BF=AF,即AB+ AD=b ,同理: AB+AD=a 2 2 4 2 4 2 由上两式知AB= b- a, AD= a- b, 3 3 3 3 2 2 ? AC ? AB ? AD ? a + b,而 AC ? ? AE ? ? AF ? ? a +? b, 3 3 2 2 4 ? ? ? ,? ? ,? ? ? ? 3 3 3 4 答案(1)C (2) 3

探究提高
向量的有关概念及运算要注意以下几点: (1)正确理解相等向量、共线向量、 相反向量、单位向量、零向量等基本概念,如有遗漏, 则会出现错误. (2) 正 确 理 解 平 面 向 量 的 运 算 律 , 一 定 要 牢 固 掌 握 、 深 刻 理 解

(a ? b ? b ? a, a ? b ? b ? a, ? a ? b ? ?(a ? b)与a ( ? b ? c) ? (a ? b) ? c) ;
(3)用已知向量表示另外一些向量,是用向量解题的基础,除了用向量的加减法、实数与 向量乘积外,还要充分利用平面几何的一些定理,充分联系其它知识。

变式训练

1. ( 2010 年高考 四川卷理科 5 ) 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, 则?AM?? BC ? 16, ?AB ? AC ???AB ? AC ?? (A)8
2

2

(B)4

(C) 2

(D)1w_w w. k#s5_u.c o*m

解析:由 BC =16,得|BC|=4 w_w_w.k*? AB ? AC ???AB ? AC ??? BC ? =4 m 而?AB ? AC ?? ??AM?故?AM?? 2 答案:Cw_w.k*s 5*u.c o*m 例 2 (2010 年高考江苏卷试题 15) (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。

思维启迪

本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。

(1)根据已知条件求出 AB, AC ? AB ? AC , AB ? AC ? AB ? AC , AB ? AC , 问题可得 到解决。 (2) 把向量 AB ? tOC 和 OC 分别用坐标表示,再求其数量积即可.

(1) (方法一)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则
AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4). 所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2.
故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ;

(2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t,5 ? t ) 。
由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

11 。 5

2 11 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? AB ? OC ?? 2 5 | OC |

探究提高
(1)解决此类问题的关键是求出 a与b 的数量积, 然后用夹角公式
2 2

cos ? a , b ??

a ?b a?b

及向量模的公式 a ?

a

(2)涉及向量的平行,垂直问题也常转化为向量的数量积解决 ,尤其是已知向量的坐标时, 用其坐标运算可大大简化数量积的运算, (3) 在涉及数量积时向量运算应注意 : a ? b ? 0,未必有a ? 0或b ? 0,

a ?b ? a ? b

变式训练
2.已知 a ? 4, b ? 3, (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61 (1) 求 a与b 的夹角; (2) 求 a ? b ; (3)若

AB ? a, AC ? b ,求△ABC 的面积.
得 4 a ? 4a ? b ? 3 b ? 61,
2 2

解析:(1)由 (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61

a ? 4, b ? 3 代入上式得 a ? b ? ?6 ? cos ? ?

a ?b a?b

?

?6 1 ?? 4?3 2

又 00 ? ? ? 1800 ,
2 2

?? ? 1200.
2

(2) a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ? 42 ? 2 ? (?6) ? 32 ? 13, ? a ? b ? 13.

(3)由(1)知∠ABC= ? =120

0

AB ? a ? 4, AC ? b ? 3,

? S?ABC ?
例3

1 1 AB ? AC sin ?BAC ? ? 3 ? 4 ? sin1200 ? 3 3 2 2

已知向量a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? ( ?1, 0) (1)求向量 b+c 的长度的最大值; (2)设? =

?
4

且a ? (b+c),求cos?的值.

思维启迪
(1)由向量b, c ? 求 b+c 表达式 ? 求三角函数的最值 ? 得出结论 (2)由a ? (b+c)? a ? (b+c)=0 ? 三角函数式 ? 求cos?的值.
2

解析
2 (1)方法一: b ? c ? (cos ? ? 1,sin ? ), 则 b+c =(cos ? ? 1) ? (sin ? ) 2 =2(1 ? cos ? ); 2

-1 ? cos? ? 1,? 0 ? b ? c ? 4即0 ? b ? c ? 2. 当cos? ? ?1时,有 b ? c ? 2,所以向量b+c的长度的最大值为2. 方法二: b ? 1, c ? 1, b ? c ? b ? c ? 2, 当cos? ? ?1时,有b ? c ? (-2,), 0 即 b ? c ? 2,所以向量b+c的长度的最大值为2 (2)方法一: b ? c ? (cos ? ? 1,sin ? ), a ?(b ? c) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? a ? (b+c)? a ?(b+c) ? 0即cos(? -? )=cos? 由? ?

2

?
4

得cos(

?
4

-? )=cos

?
4

,即? ?

?
4

? 2 k? ?

?
4

, (k ? Z ),

? ? ? 2 k? ?

?
2

或? ? 2 k ? , (k ? Z ),于是cos? ? 0或cos? ? 1

? 2 2 方法二:若? ? 则a ? ( , ),又由b ? (cos ? ,sin ? ), c? ( ? 1,0) 4 2 2 2 2 2 2 2 得a ?(b ? c) ? ( , ) ? (cos ? ? 1, sin ? ) ? cos ? + sin ? ? , 2 2 2 2 2 a ?(b+c), ? a ?(b+c) ? 0即cos? + sin ? ? 1, ? sin ? ? 1 ? cos? , 平方后化简得cos?( cos ? ? 1)=0
解得cos? ? 0或cos? ? 1,经检验cos? ? 0或cos? ? 1即为所求。
探究提高

向量与三角函数的综合, 实质上是借助向量的工具性,这类题型是高考命题的一 大热点,在解决有关向量的平行、垂直、模长问题时先利用向量的坐标运算,再 利用平行、垂直的充要条件、模长公式即可简化运算过程。

变式训练
3、已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2).

(1)若 a / / b ,求 tan ? 的值;

(2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。

解 : (1) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

1 . 4
2

(2)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5. 从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2?) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 ,

于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ? 3? . ,或 2? ? ? .因此 ? ? ,或 ? ? 4 4 4 4 4 2 3 3 例 4 已知射线 OA、OB 的方程分别为 y ? x( x ? 0) , y ? ? x( x ? 0) ,动点 M、N 分 3 3 别在 OA、OB 上滑动,且 MN ? 4 3 。 ?
(1)若 MP ? PN ,求 P 点的轨迹 C 的方程; ( 2 )已知 F1 (?4 2 ,0) , F2 (4 2 ,0) ,请问在曲线 C 上是否存在动点 P 满足条件

?

PF1 ? PF2 ? 0 ,若存在,求出 P 点的坐标,若不存在,请说明理由。

思维启迪
(1)设出 P、M、N 点的坐标利用已知条件建立方程,再用 P 点的坐标代替其它两点坐 标即可; (2)设出 P 点的坐标,求出

PF 1, PF 2 ,然后利用向量的数量及公式求解。

解析:
(1)设 M ( x1 ,

3 3 x1 )(x1 ? 0), N ( x2 ,? x2 )(x2 ? 0) , P( x, y) , 3 3

则 MP ? ( x ? x1 , y ?

3 3 x1 ) , PN ? ( x2 ? x,? x2 ? y) , 3 3

x ? x1 ? x 2 ? x ? ? x1 ? x 2 ? 2 x ? 所以 ? ,即 ? 。 3 3 y? x1 ? ? x2 ? y ? x1 ? x 2 ? 2 3 y ? 3 3 ?
又 因 为 MN ? 4 3 , 所 以

( x1 ? x2 ) 2 ? [

3 ( x1 ? x2 )]2 ? 48 , 代 入 得 : 3

x2 y2 ? ? 1(?3 ? x ? 3, y ? 0) 。 36 4 (2) P( x0 , y0 ) ,所以 PF 1 ? (?4 2 ? x0 ,? y 0 ) , PF2 ? (4 2 ? x0 , y 0 )

2 因为 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,所以 ? (4 2 ? x0 )(4 2 ? x0 ) ? y 0 ? 0 ,得 x0 ? yo ? 32,

2

2



x0 y 63 63 ,因为 ? 0 ? 1,联立得 x0 ? ? ? 3 ,所以不存在这样的 P 点。 36 4 2 2

2

2

探究提高
本题是一道综合题,重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。 (1)求变量的题往往利用方程(组)的思想,求几个变量的值就需要建立几个方程,往 往是题目中的一个条件对应一个方程。 (2)对于探索性问题往往假设存在,然后进一步探求或推出矛盾。 变式:在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知点 M (1, ?3) , N (5,1) ,若点 C 满足

OC ? tOM ? (1 ? t )ON (t ? R) ,点 C 的轨迹与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A、B 两点;
(1)求点 C 的轨迹方程; (2)求证: OA ? OB ; (3)在 x 轴正半轴上是否存在一定点 P(m,0) ,使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的 长度是原点到该弦中点距离的 2 倍,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)设 C ( x, y) ,由 OC ? tOM ? (1 ? t )ON 知,点 C 的轨迹为 y ? x ? 4 .

?y ? x ? 4 2 消 y 得: x ? 12 x ? 16 ? 0 2 ? y ? 4x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? 16 , x1 ? x2 ? 12 ,
(2)由 ? 所以 y1 y2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ?16 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,于是 OA ? OB (3)假设存在过点 P 的弦 EF 符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程 为 x ? ky ? m ,由 ?

? x ? ky ? m 2 消 x 得: y ? 4ky ? 4m ? 0 ,设 E ( x3 , y3 ) , F ( x4 , y4 ) , 2 ? y ? 4x 则 y3 ? y4 ? 4k , y3 y4 ? ?4m .
因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的 2 倍,所以 OE ? OF 即

x3 x4 ? y3 y4 ? 0 ,所以

y32 y4 2 ? y3 y4 ? 0 得 m ? 4 ,所以存在 m ? 4 . 16

四.提炼升华
1. 向量自身包含着方向和大小两方面的内容,所以涉及向量的知识必须注意到其两面性。 高考中对向量的考查主要从三个方面进行:一是基础知识,及有关概念、线性表示和坐 标表示;二是数量积几级何意义;三是向量的工具作用,在解答题中常用来描述题目条 件和结论。 2. 几个重要结论。 (1)若 a, b 为不共线向量,则 a ? b , a ? b 是以 a, b 为邻边的平行四边形的对角线 的向量。 (2) a ? b ? a ? b ? 2( a ? b ). 3.证明直线平行、垂直,线段相等等问题的基本方法。 (1)要证 AB ? CD ,可转化为证明 AB2 ? CD2 或者 AB ? CD . 。 (2)要证两段线段 AB ∥ CD ,只要证存在一实数 ? ? 0 ,使等式 AB ? ?CD 成立即可。
2 2 2 2

(3)要证两线段 AB ⊥ CD ,只需证明 AB ? CD ? 0 。

五.巩固提高
一、选择题 1.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c ,则 ? a, b ?? (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

解析:由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点 处的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 【答案】B

2(2009 浙江卷)已知向量 a ? (1, 2), b=(2,-3) .若向量

c满足(c ? a) b, c ? (a ? b), 则c ? (
A. ( , )

)
C. ( , )

7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

解析 不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b , 则有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ? 【答案】 D 3.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 )

?

?

?

?

7 9

7 3

D. PA ? PB ? PC ? 0

解析 :因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答. 答案 B 4. (2010 年高考福建卷理科 7) 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心 2 a
)

和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) B. [3 ? 2 3, ??) C. [-

7 , ?? ) 4
2

D. [ , ??)
2

7 4

【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方

程 为

x2 x2 ? y 2 ? 1 , 设 点 P ( x0 , y0 ) , 则 有 0 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) , 解 得 3 3 x0 2 ? 1( x0 ? 3) 3
, 因 为

y0 2 ?

FP ? ( x0 ? 2, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) , 所 以
x0 2 4x 2 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 3 3

OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y02 = x0 ( x0 ? 2) ?
线 的 对 称 轴 为 x0 ? ?

3 , 因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , O P? F P取 得 最 小 值 4

4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 ,故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) ,选 B。 3
【答案】B 命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函 数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运算 能力。 5.(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界) ,设 OP ? mOP1 ? nOP 2 ,且点 P 落 在第Ⅲ部分,则实数 m、n 满足( A.m>0, n>0 C.m<0, n>0 答案 B ) B.m>0, n<0 D.m<0, n<0

二、填空题 6.(2009 上海十校联考)已知平面上直线 l 的方向向量 d ? ? 3, ?4 ? ,点 O ? 0 ,0 ? 和 A ? 4, ?2? 在 l 上的射影分别是 O1 和 A 1A 1 ? ________________ 1 ,则 O 答案 4 7.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)已知向量
?

OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA 与OC 夹角的取值范围是
( A. [0, )

?
4

]

B. [

? 2?
3 , 3

]

C. [

? 3?
4 , 4

]

D. [

? 5?
6 , 6

]

答案 C 8.(江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研) O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三

若( OB ?OC )·( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状是 答案 等腰三角形 9.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ① 非零向量 a 、 b 满足| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b 的夹角为 30°; ② a · b >0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件;

.

③ 将函数 y=|x-1|的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为 y=|x|; ④若( AB ? AC ) · ( AB ? AC )=0,则△ABC 为等腰三角形 ⑤若 a b = a c ,则 b ? c 以上命题正确的是 答案 ①③④ 三、解答题 10.如图 4,已知点 A(1 , 1) 和 单位圆上半部分上的动点 B . ⑴若 OA ? OB ,求向量 OB ; ⑵求 | OA ? OB | 的最大值. 。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

y B
图 O 4

A

x

解:依题意, B(cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? (不含 1 个或 2 个端点也对)

OA ? (1 , 1) , OB ? (cos? , sin ? ) (写出 1 个即可)
因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 cos ? ? sin ? ? 0 解得 ? ?

3? 2 2 ,所以 OB ? (? , ). 4 2 2
(1 ? cos θ) 2 ? (1 ? sin ? ) 2

⑵ OA ? OB ? (1 ? cos? , 1 ? sin ? ) , | OA ? OB |?

? 3 ? 2(sin? ? cos? ) 当? ?

? 3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

)
3 ? 2 2 ? 2 ?1

?
4

时, | OA ? OB | 取得最大值, | OA ? OB | max ?

.

11.(2009 上海卷) 已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a?

? ,求ΔABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三角形
解: (2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

12.(2010 年上海市春季高考 22)


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com