9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 其它课程 >>

高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义_图文

高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义_图文

2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及其含义
目标导学:
1、能运用数量积表示两个向量的夹角, 计算向量的长度; 2、会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系。

向量的夹角:
??? ? ? ??? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a , OB ? b , ? ? 则∠AOB= θ(0?≤θ≤180?)叫做向量 与 . a 的夹角 b ? ? B 当θ= 0? 时, a 与 b同向;
? a ? b

? ? 当θ= 180? 时, a 与 b反向;
? a ? b

? b
θ
O

? ? ? ? 当θ= 90? 时, a与 b 垂直,记作 a ? b 。
? a ? b

? a

A

问题 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,那么力F 所做的功应当怎样计算?

F θ
s

W ?| F || s |cos?

? 是F 与s 的夹角,而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量,

平面向量的数量积:
? ? ? ? ? ? 已知非零向量 a 与 b ,我们把数量 | a || b | cos? 叫作 a 与 b 的 ? ? 数量积(或内积),记作 a ? b ,即规定

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? ? ? ? ? ? 其中θ 是 a 与 b 的夹角,| b | cos? (| a | cos? ) 叫做向量 b 在 a ? ? 方向上( a 在 b 方向上)的投影.并且规定,零向量与任一向量 ? ? 的数量积为零,即 a ? 0 ? 0 。 B

???? ? ? | OB1 |?| b | cos?

? b
O θ B1

? a

A

数量积的几何意义:
? ? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的 ? 投影 | b | cos ? 的乘积。
B

? b
O θ B1

? a

A

思考:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正, 什么时候为负呢?

由向量数量积的定义,试完成下面问题:

? ? ? ? 0 (1)a ? b ? a ? b ? _______ . ? ? ? ? ? ? | a || b | ; (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ ? ? ? ? ? ? ? | a || b | ; 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ ?2 ? ? ? ? ? | a | . | a |? a ? a a ? a ? _____ ? ? ? ? (3) | a ? b | ____ ≤ | a || b | .( 填 ? 或 ?)
? ? ?2 注:常记 a ? a 为 a 。 ? 2 ? 2 (a ) ?| a |

证明向量 垂直的依据

? ? ? ? 例1.已知 | a |? 5,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角θ =120? ,
? ? 求 a ?b 。

解:

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120?

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

数量积的运算规律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

如图可知: ???? ? ??? ?

???? ? ???? ???? ? ?| OB1 |?| OA1 | ? | A1 B1 | ? ? ? ? ?| a ? b | cos ? ?| a | cos ?1 ? | b | cos ? 2

? ? | OB1 |?| OB | cos? ?| a ? b | cos? ???? ? | OA1 |?| a | cos?1 ???? ? ???? ? ? | A1B1 |?| AB2 |?| b | cos?2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

A

a
?1

b

?2

B2

B

? ? ? ? ? ? ? O A c ? (a ? b) ?| c || a ? b | cos ? 1 c B1 C ? ? ? ? ?| c || a | cos ?1 ? | c || b | cos ? 2 ? ? ? ? ? c ?a ? c ?b

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

数量积的运算规律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
? ?? ? ? ? 思考:等式 (a ? b)c ? a(b ? c) 是否成立?

不成立

要注意的是: 1、两个向量的数量积是一个实数,不是向 量,符号由cosθ的符号确定; 2、两个向量的数量积称为内积,写成a· b;与 代数中的数a· b不同,书写时要严格区分; 3、在实数中,若a≠0,且a· b=0,则b=0;但在 数量积中,若a≠0,且a· b=0,不能推出b=0。 因为其中cosθ有可能为0 4、已知实数a、b、c(b≠0),则有ab=bc 得a=c.但是有a· b=b· c不能得a=c 5、在实数中(a· b)c=a(b· c), 但(a· b)c ≠ a(b· c),

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 . ? ? 对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

? ? 3 ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 (3) (a ? b) ? (a) ? 3(a) ?b ? 3a? (b) ? (b)

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角60? , ? ? ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b |。

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直。

小结

向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。

练习: P 117

1、2、3

建议课后练习: P 119 1~ 4、6、7、8

; http://www.100siqi.com/ 北京丝足

orz03msr

呢!”随后,耿大业又换了新茶泡上,大家轻松愉快地随意聊着。拉呱一会儿后,耿直忽然看着耿大业,迟迟疑疑地嗫嚅着:“大哥,那, 那个??”耿大业伸出大手拍一拍耿直的肩膀,亲切地问:“小兄弟,你想说什么啊?”耿直这才轻轻地问:“那个大坝,可重新修建 了?”耿英也轻轻地说:“真想再去看看啊,可又很害怕去那里。”耿大业长长叹息一声,摇着头说:“咳,那次溃坝造成的损失实在太 大了,下游三个县一百多里范围内的低洼村落全部被洪水冲走或冲毁了,死伤几十万人啊!之后,官府再也没有组织人们重建大坝,而且 也再没有人抄近路从山那边过来。后来才听说,大坝旁边那条人工凿建的山路已经被那次的洪水给冲断了。唉,想来啊,那一带应该已经 变成一片无人问津的荒山荒野了。”耿正轻轻地说:“是的,我们当时就看到山路已经断了。”耿英看着哥哥,难过地迟疑着说:“今儿 个下午倒是有时间的,我们还去看一眼吗?”耿正还未答话,耿大业就开始摇头了。他说:“唉,不要去了!依我看啊,即使有路走也不 要去了。我说人这一生啊,免不了会留下一些伤痛的。有一些伤痛啊,日久天长的既然已经结痂了,也就没有必要再去揭开看了。因为你 即使是揭开看了,除了再次流血之外,还能有什么结果呢?!”耿大嫂也说:“你们大哥说的对,不要多想了,你们是很孝顺的儿女!再 说,那里确实是没有路可以去了呢!”耿正说:“就听大哥大嫂的吧,我们不再去那个让人断肠的地方去了,回老家去帮助咱爹了却他的 心愿才是最重要的事情!”大家又聊了一些别的话。耿大业夫妇叙说了这些年来夫妻俩人的创业故事,耿正兄妹三人听着非常欣慰。耿正 由衷地说:“大哥大嫂仁慈宽厚,吃苦耐劳,哪里有不成功的呢!”耿英说:“我们真要好好地向大哥大嫂学习啊!”耿直也说:“我到 现在还记得娘说过的一句话,那就是‘好心必有好报!’,大哥大嫂是天底下最好的人,好报还在后头呢!”耿大业听了哈哈大笑起来。 他伸出大手用力拍着耿直的肩膀爽朗地大声说:“小兄弟啊,你长了这么一张好嘴!”说完,耿大业站起身来给耿正兄妹三人续上茶水, 对他们说:“你们继续和嫂子聊着,我去吩咐伙计照顾好那匹劳苦功高的大白骡!”晚饭后,耿英说起来:“我们路过武昌镇时,还准备 去那里看望白娘娘和小青姐姐一家人呢。爹爹当年带我们在汉口镇上开粮油零售店时遭遇罕见的洪灾,落难过江后,曾经在白幺爹家住了 半年多,彼此间相处得很好!”于是,大家又拉了一会儿有关白幺爹、白娘娘和小青姐姐的话。看看夜有些深了,耿大嫂对丈夫说:“咱 们歇息了吧,弟弟妹妹们明天还要赶路呢!”耿正兄妹三人这一晚睡得非常香甜。在睡梦中,他们已经回到了阔别近九年半的故


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com