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最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第八章8.5轨迹问题 精品

最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第八章8.5轨迹问题 精品

8.5 轨迹问题 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.曲线与方程的关系 曲线 C 方程 f(x,y)=0. 2.求轨迹方程的基本方法 ①直接求;②代入(相关点)法;③参数法;④定义法;⑤待定系数法. 二、点击双基 1.动点 P 到直线 x=1 的距离与它到点 A(4,0)的距离之比为 2,则 P 点的轨迹是 …( ) A.中心在原点的椭圆 B.中心在(5,0)的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在(5,0)的双曲线 答案:B 2.若动圆与圆(x+2)2+y2=4 外切,且与直线 x=2 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 A.y +8x=0 B.y -8x=0 C.y -12x+12=0 D.y +12x-12=0 解析: 定义法.动圆圆心到定圆圆心(-2,0)与到直线 x=4 的距离相等(都是动圆的半径), ∴p=6. 2 ∴y =12(x-1),即选 C. 答案:C 3.平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 两点 A(3,1)、 B(-1,3), 若点 C 满足 OC =α OA +β OB , 其中α 、β ∈R,且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为( ) 2 2 A.3x+2y-11=0 B.(x-1) +(y-1) =5 C.2x-y=0 解析:直接代入法.设 C(x,y), ∴(x,y)=α (3,1)+β (-1,3). ∴? 答案:D D.x+2y-5=0 ?x ? 3? ? ? , 利用α +β =1,消去α 、β 得 x+2y=5. ? y ? ? ? 3? . x2 y2 4.F1、F2 为椭圆 + =1 的左、右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 的外角 4 3 平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是________________________________. 解析: 延长 F1D 与 F2A 交于 B, 连结 DO, 可知 DO= 1 F2B=2, ∴动点 D 的轨迹方程为 x2+y2=4. 2 答案:x2+y2=4 5.已知 A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆的另一个焦 点 F 的轨迹方程是( ) x2 A.y =1(y≤-1) 48 2 x2 B.y =1 48 2 x2 C.y =-1 48 2 y2 D.x =1 48 2 解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2. 故 F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线下支. 又 c=7,a=1,b2=48, 所以轨迹方程为 y2- x2 =1(y≤-1). 48 答案:A 诱思·实例点拨 【例 1】 求过点(0,2)的直线被椭圆 x2+2y2=2 所截弦的中点的轨迹方程. 解:设直线方程为 y=kx+2, 把它代入 x2+2y2=2, 整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 要使直线和椭圆有两个不同交点,则Δ >0,即 k<- 6 6 或 k> . 2 2 设直线与椭圆两个交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,中点坐标为 C(x,y),则 x= x1 ? x2 2 ? 4k 2 ? 4k 2 =,y== . 2 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2 k ? 1 ? 4k ? x ? , ? 6 6 ? 2k 2 ? 1 从参数方程 ? (k<或 k> ),消去 k 得 x2+2(y-1)2=2, 2 2 2 ?y ? 2 ? 2k ? 1 ? 且|x|< 1 6 ,0<y< . 2 2 1 ,tan∠MNP=-2,且△PMN 的面积为 1,建立适当的坐 2 【例 2】 在△PMN 中,tan∠PMN= 标系,求以 M、N 为焦点,且过点 P 的椭圆的方程. 剖析:如下图,以直线 MN 为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则所求椭圆方程为 x2 y2 + =1.显然 a2、b2 是未知数,但 a2、b2 与已知条件没有直接联系, a2 b2 因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元,或改造已知条件. 解法一:如下图,过 P 作 PQ⊥MN,垂足为 Q, 令|PQ|=m,于是可得 |MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m, 1 m. 2 1 3 ∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m- m= m. 2 2 1 1 3 于是 S△PMN= |MN|·|PQ|= · m·m=1. 2 2 2 |QN|=|PQ|cot∠PNQ= 因而 m= 4 4 1 ,|MQ|=2 ,|NQ|= ,|MN|= 3 . 3 3 3 2 2 |MP|= | MQ | ? | PQ | = 16 4 ? 3 3 = 2 15 , 3 2 2 |NP|= | NQ | ? | PQ | = 1 4 ? 3 3 = 15 . 3 x2 y2 + =1(a a2 b2 以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 设椭圆方程为 >b>0). 则 2a=|MP|+|NP|= 15 , 2c=|MN|= 3 , 故所求椭圆方程为 4x 2 y 2 + =1. 3 15 解法二:设 M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y>0, 1 ? y ?x ? c ? 2, ? ? y ? 2, 则? ?x ?c ? y ? c ? 1, ? ? 解之,得 x= 5 3 2 3 3 ,y= ,c= . 6 3 2 设椭圆方程为 b2x2+a2y2=a2b2,则 ? 2 5 3 2 2 3 2 b ?( ) ? a2 ( ) ? a 2b 2 , ? ? 6 3 ? ?a 2 ? b 2 ? 3 , ? 4 ? 解之,得 a2= 15 2 ,b =3. 4 (以下略) 讲评:解法一选

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