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《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明

第2讲 直接证明与间接证明 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2013· 中山调研)设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的 ( ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 1? ? 解析 若“a+b=1”,则 4ab=4a(1-a)=-4?a-2?2+1≤1;若“4ab≤1”, ? ? 取 a=-4,b=1,a+b=-3,即“a+b=1”不成立;则“a+b=1”是 “4ab≤1”的充分不必要条件. 答案 A 2.(2013· 金华十校联考)对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题中真命题是 ( A.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m?α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n 解析 对于平面 α 和共面的直线 m,n,真命题是“若 m?α,n∥α,则 m∥ n”. 答案 C 3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 ( ). ). A.2ab-1-a b ≤0 ?a+b?2 C. 2 -1-a2b2≤0 2 2 a4+b4 B.a +b -1- 2 ≤0 2 2 D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析 因为 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0,故选 D. 答案 D 4.(2013· 四平二模)设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 ( A.②③ ). B.①②③ C.③ D.③④⑤ 1 2 解析 若 a=2,b=3,则 a+b>1,但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2,与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.用反证法证明命题“a,b∈N,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”,那么假设的内容是________________________. 解析 “至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”,故应假设 a,b 中没有一 个能被 5 整除. 答案 a,b 中没有一个能被 5 整除 6.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是________. 解析 取 a=2,b=1,得 m<n.再用分析法证明: a- b< a-b? 显然成立. 答案 m<n 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: a+b b+c c+a lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c. 证明 ∵a,b,c∈(0,+∞), a+b b+c a+c ∴ 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ac>0. 又 a,b,c 是不全相等的正数, 故上述三个不等式中等号不能同时成立. a+b b+c c+a ∴ 2 · 2 · 2 >abc 成立. 上式两边同时取常用对数, ?a+b b+c c+a? 得 lg? · 2 · 2 ?>lg(abc), ? 2 ? a+b b+c c+a ∴lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c. 8.(13 分)(2013· 鹤岗模拟)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项 和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明 2 假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 =S1S3, a< b+ a-b? a<b+2 b· a-b+a-b? 2 b· a-b>0, 2 即 a1 (1+q)2=a1· a1· (1+q+q2), 因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)解 当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列; 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 亲爱的同学: 经过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地 展 示了一下自己的身手吧!那今天就来小试牛刀 吧!注意哦:在答卷的过程中一要认真仔细 哦!不交头接耳,不东张西望!不紧张!养成 良好的答题习惯也要取得好成绩的关键! 祝取得好成绩!一次比一次有进步!

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