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广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科)-解析

广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科)-解析

惠州市2013届高三第三次调研考试

数学试题(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)

1 ? 3i 3 1.复数 i 的共轭复数是(
A. ?3 ? i 2.已知向量 A. 5 3.已知集合 A.

) C. 3 ? i ) D.13 ) D. 3 ? i

B. ?3 ? i

6 ? p ? ? 2 , 3? , q ? ? x ,? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为(
B. 13 C. 5

A ? ??1, 1?



B ? ? x ax ? 1 ? 0?
B.

,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为( C.

??1?

?1?

1 ??1,?

D.

0 1? ??1,,

1 2 ( , ) log4 f (2) 的值为( 4.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 2 2 ,则
1 A. 4
5.“ m ? n ? 0 ”是“方程



1 B. - 4

C.2 )

D.-2

mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶 图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( ) A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20
?x ? y ? 5 ? 0 ? ,则z ? 2 x ? 4 y ?x ? y ? 0 ?y ? 0 ?

7.已知 A. ?14

x , 满足约束条件 y

的最小值为(

) D. ?17 ) D.82

B. ?15

C. ?16

8.数列{ A.76

an

} 中,

an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则数列{ a n }前 12 项和等于(
B.78 C. 80
第 1 页 共 12 页

二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分) (一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9. 在等比数列 则 n 的值为

?an ? 中,a1 ? 1, q ? 2 , ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 , 公比 若


10.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为________.
x2 y 2 ? 2 ?1 2 11.已知双曲线 a b 的一个焦点与抛线线

y2 ? 4 10x

10 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 3 ,则该双曲线的
方程为 .

? ? 12.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,
下列命题中正确的有 .

n 则 ? 则 ① 若m‖? ,‖? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; m 则 n 则 ③ 若m‖? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, f ? x? ? ? 2 ?a x ? a ,x ? 1 ? 13.已知函数 .若

f ? x?



? ? 0 , ?? 上单调递增,则实数 a 的取值范围

为 . (二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, PA 切 ? O 于点 A ,割线 PBC 经过圆心 O ,OB ? PB ? 1 ,OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD ,则 PD 的长为 .

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A 、 B 的极坐标分

(3 , ) (4 , ) 3 , 6 ,则△ AOB(其中 O 为极点)的面积为 别为

?

?



三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) ,且函数
?? ? x? y ? f ?2x? ? 4 ? 的图像关于直线 ?

?

? 6 对称. (1)求 的值; (2)若
第 2 页 共 12 页

f (? ?

2? 2 )? 3 4 ,求 sin 2? 的值。

17. (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满 分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:

50 100 60 ?40 , ? ,?50 , ? ,…,?90 , ? 后得到如

下图的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该 校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在

50 100 ?40 , ? 与 ?90 , ? 两个

分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。

18. (本小题满分14分)如图,在长方体 棱 AB 上移动. (1)证明:

ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA ? 1 , AB ? 2 ,点 E 在 1

D1E ? A1D ; ACD1 的距 (2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面

? D ? EC ? D 的大小为 4 ? 离; (3) AE 等于何值时,二面角 1

1 x 19. (本小题满分14分)已知点(1, 3 )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数


{an }

{b } (bn ? 0) S 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 n 的首项为 c ,且前 n 项和 n 满足:

S n - Sn?1 = S n + Sn?1 ( n ? 2 ).(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

{c } (2)若数列 n 的通项

1 cn ? bn ? ( ) n 3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn ;

第 3 页 共 12 页

1 1000 } bn bn?1 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? 2009 的最小正整数 n 是多少? (3)若数列{
x2 y 2 l:x? M: 2? ?1 a ? 2 F1 ,直线 a 2 20. (本小题满分14分)设椭圆 的右焦点为

?

?

a2 a2 ? 2 与 x 轴

???? ???? OF1 ? 2F1 A (其中 O 为坐标原点)(1)求椭圆 M 的方程; 交于点 A ,若 .
(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x ? ? y ? 2? ? 1的任意一条直径( E 、 F 为直径
2 2

的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

x3 f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ? ? x 2 ? 2ax a?R ? ?. 3 21. (本小题满分14分)已知函数
(1)若 x ? 2 为 f (x) 的极值点,求实数 a 的值;

? ?3 , ?? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 y ? f (x) 在
1 ?1 ? x ? + b a?? f ?1 ? x ? ? 2 时,方程 3 x 有实根,求实数 b 的最大值。 (3)当
3

惠州市2013届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i 3 1. 【解析】 i .故选D.
2. 【解析】

2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 ? 6) 3)

.故选B.

3. 【解析】 a ? 0或1或 ?1 .故选D.

1 ? 2 1 1 1 1 2 ? ( )2 ? ? ? ( , ) ( ) ? ? 2 2 2, 4. 【解析】由设 f ( x) ? x ,图象过点 2 2 得 2
log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?
1

1 4 .故选A.
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mx 2 ? ny 2 ? 1 ?
5. 【解析】

x2 y 2 ? ?1 1 1 1 1 m?n?0?0? ? m n m n ,即 p ? q .故选C. ,

6. 【解析】甲中位数为19,甲中位数为13.故选A. 7. 【解析】最优解为 8. 【解析】

(?2.5 , 2.5) ? zmin ? ?15 .故选B. ?

an?2 ? an ? (?1)n (2n ?1) ? (2n ?1) ,

5, 6 10 取 n ? 1, 9 及 n ? 2 , , ,
结果相加可得

S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? a11 ? a12 ? 78 .故选B.

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题, 每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.

9.7

10.3

x2 ? y2 ? 1 11. 9

12.④

13.

2 ?1,?

14. 7

15.3

9. 【解析】

Sn ? 127 ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 1? 2 .答案: 7 .

k k k k 10. 【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3.
11. 【解析】抛线线

y2 ? 4 10x 的焦点 ( 10 , ) ? a2 ? b2 ? 10 . 0

e?

x2 10 10 ? y2 ? 1 ? ? a ? 3? b ?1 a 3 .答案: 9 .

n n n 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;
m?

? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.

1 12 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x 2 13. 【解析】 , a ? a 是增函数,所以 a ? 1
? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】∵PA切 ? O 于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA, ∴

?AOB ? 60? ,∴ ?POD ? 120? ,在△POD中由余弦定理,得:
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1 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 PD ? PO ? DO ? 2PO ? DO cos ?POD = 2 .
2 2 2

解析2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵ ?POD ? 120 ,∴ ?DOB ? 60 ,
? ?

OE ?
可得

1 2 , DE ?

3 PD ? 2 ,在 Rt ?PED 中,∴

PE 2 ? DE 2 ?

25 3 ? ? 7 4 4 .答案:

7.

? ? 1 (3 , ) (4 , ) S? ABC ? OA? OBsin?AOB ? 3 , 6 ,则 2 15. 【解析】 A 、 B 的极坐标分别为
1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 2 6 (其中 O 为极点) .答案3.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ ∴函数

f ( x) ? sin ? x ? ? ?

,……………………………………2分

f ? x?

的最小正周期为 2? .…3分,∵函数

?? ? ? ? ? y ? f ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 4? 4 ? ? ? ,…5分

又 y ? sin x 的图像的对称轴为
2x ?

x ? k? ?

?
2 (k ?Z ) ,………………………………6分

?
4



? ? ? k? ?

?
2 ,将

x?

?
6 代入,得

? ? k? ?

12 ( k ? Z ) 0 ? ? ? ? ,∴ .∵

?

??

11? 12 .7分

f (? ?
(2)解:

2? 2 2? 11? ? 2 )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) 3 4 3 12 4 2 ,…9分

sin ? ? cos ? ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 2 4 4 ………12分

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .…1分,解得 a ? 0.03 .…………2分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3分 由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.………………………………………5分 (3)解:成绩在

50 ?40 , ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,………………
第 6 页 共 12 页

6分

成绩在

?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,
2 C6 ? 15

……………………………………7分 ………………… 9分

若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有 如果两名学生的数学成绩都在

50 100 ?40 , ? 分数段内或都在 ?90 , ? 分数段内,那么这两名学生的数学 50 100 ?40 , ? 分数段内,另一个成绩在 ?90 , ? 分数
10分 ……11分
2 2 C2 ? C4 ? 7

成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在

段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.………………… 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为

所以所求概率为

P?M ? ?

7 15 .……………………………………………………………………13分

18. (本小题满分14分) 证明: (1) 如图, 连接

A ADD1 中,AD ? AA1 ? 1 , D1B , 依题意有: 在长方形 1

四边形A1 ADD1 ?

A1 D ? AD1 ? ? ? A1 D ? 平面AD1 B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E ? D1 E ? 平面AD1 B ? AD ? AB ? A? .…… 4分

(2)解: AC ?

AB2 ? BC 2 ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 ,
cos ?AEC ? 1? 2 ? 5 2 2 ?? ? sin ?AEC ? 2 , 2 ?1? 2 2 .

1 2 1 S?AEC ? ?1? 2 ? ? 2 2 2 ,…………… 6分 ∴
1 1 1 VD1 ? AEC ? ?1? ? 3 2 6
5?



AD1 ? AA12 ? DA2 ? 2



D1C ? D1C12 ? CC12 ? 5



? sin ?D1 AC ?

1 1 3 10 3 2 ? 3 10 S?A1DC ? ? 2 ? 5 ? ? 10 .∴ 5 2 10 2.

ACD1 的距离为 d ,∴ 设点 E 到平面

1 3 1 1 VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? 3 2 6 3.

1 ACD1 的距离为 3 . ………………………………………………… 8分 ∴点 E 到平面
第 7 页 共 12 页

DF ?DFD1 为二面角 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 1 .由三垂线定理可知,
D1 ? EC ? D 的平面角.∴
sin ?DCF ? ?DFD1 ?

?
4,

?D1 DF ?

?

2 , D1D ? 1 ? DF ? 1 .…… 10分

DF 1 ? ? ? ? ?DCF ? ?BCF ? DC 2 6 ,∴ 3 .…………………… 12分

tan


?
3

?

BE ? BE ? 3 BC , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 .

? D ? EC ? D 的平面角为 4 .…………………………… 14分 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 1
19. (本小题满分14分)
1 ? f x ??1? ? ? ? ? Q f ?1? ? a ? 3, ? 3? 解: (1)
x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c ?? a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? ? ? 3 9, ,

4 2 a2 81 ? ? 2 ? 1 ? c a1 ? ? 2 a3 ? 2 3 3 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 .又数列 ?an ? 成等比数列, 27 , 所以 c ? 1 ;

q?
又公比

a2 1 2?1? ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3? 3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*

;……………………2分

Q Sn ? Sn?1 ?


?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1;

数列

? S ? 构成一个首相为1公差为1的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n



Sn ? n 2

当n ? 2,

bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1
2

;又其满足

b1 ? c ? 1,?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );… 5分

?1? ?1? ? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? 3? ? ? 3 ? ,所以 Rn (2)
1 2 3

n

n

? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn
3

?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
第 8 页 共 12 页



①式减②式得:

n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 3 ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

…… 7分

2 1 Rn ? ? 2 ? 3 3

?1? ? ? ?3?

2

化简: 所以所求 (3)
Tn ?

? ? 1 ?n ?1 ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n ? ? 3? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? ? 2 ? 2(n ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 3 3 ?3? ? 3? 1? 3 ……

9分 10分

Rn ? 1 ?

n ?1 3n

…………………………………………

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ; ……

…… 12分

13分



Tn ?

1000 1000 n 1000 n? Tn ? ? 9 ,满足 2009 的最小正整数为112. ………… 2n ? 1 2009 得
A( a2 a ?2
2

14分

, 0)

20. (本小题满分14分)解: (1)由题设知,
2



F1

?

a2 ? 2 , 0

? ,………1分

? a ? ???? ???? a 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? 2 ? ? 2 ? OF ? 2 AF1 ? 0 ,得 ? a ?2 ? ,…………………………3分 由 1

x2 y2 M: ? ?1 2 6 2 解得 a ? 6 .所以椭圆 M 的方程为 .……………………………4分
(2)方法1:设圆 N : x ? ? y ? 2? ? 1的圆心为 N ,
2 2

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP …6分

?

??

?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

? ………7分

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1 .………………………………………………………………8分
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设
2 2

2

P ? x0 ,0 ? y

,………………………………………10分

x0 y 2 2 ? 0 ?1 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 .………………………………………………11分
因为点

N ?0,2 ?

NP ? x0 ? ? y0 ? 2? ? ?2? y0 ? 1? ? 12 .…………………12分 ,所以
2 2 2 2

第 9 页 共 12 页

因为

y0 ? ? ? 2 , 2 ? ? ?

,所以当

y0 ? ?1时, NP 取得最大值12.…………………13分
2

所以 PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………………………14分
? x2 ? ? x1 , ? ? y2 ? 4 ? y1.

y F y y 方法2:设点 E( x1 ,1 ) , (x2 ,2 ), P(x0 ,0 ) ,因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以

…6分

??? ??? ? ? PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) …………………………………7分 所以
2 2 ? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 ) ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0
2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .………………………………………9分

因为点 E 在圆 N 上,所以

x12 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3 .………………10分

2 2 x0 y0 ? ?1 2 x2 ? 6 ? 3 y0 .…………………………11分 2 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 ,即 0

所以 PE ? PF

??? ??? ? ?

2 ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.……………………………………12分

??? ??? ? ? y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 因为

?

?

min

? 11

.………………………14分

方法3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6分
? y ? kx ? 2 ? 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
x?? 1 k 2 ? 1 .………………………………7分
2 2



,解得

x0 y 2 2 ? 0 ?1 P ? x0 ,0 ? y x ? 6 ? 3 y0 2 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 ,所以 6 ,即 0 .…8分
??? ? 1 ? ? ? ??? ? ? k 1 k PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 2 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 ? k ?1 ?, ? ? …………9分 所以

所以 因为

PE ? PF ? x0 ?
2

1 k2 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y0 ) 2 ? 1 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 k ?1 k ?1 .…………10分
2

y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ? ,所以当 y0 ? ?1时, PE ? PF 取得最大值11.……………11分
?x ? 0 ? 0 ,由 ? x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,解得 y

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 不妨设,

? 1或 y ? 3 .

E ? 0 ,? 3



F ? 0 ,? 1

. ………………12分
第 10 页 共 12 页

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 所以 因为

P ? x0 ,0 ? y

x0 y 2 ? 0 ?1 x 6 2 ,所以 ,即 0

2

2

? 6 ? 3 y0 .
2

??? ? PE ? ? ? x0 , ? y0 ? 3
y0 ? ? ? 2 , 2 ? ? ?



??? ? PF ? ? ? x0 ,? y0 ? 1

??? ??? ? ? PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 . .所以

,所以当

y0 ? ?1时, PE ? PF 取得最大值11.……………13分

综上可知, PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………14分

f ?( x) ?
21.解: (1)

2a x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ? x2 ? 2 x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1 .……1分

f ? x? f ? ? 2? ? 0 因为 x ? 2 为 的极值点,所以 .…………………………………2分
2a ? 2a ? 0 即 4a ? 1 ,解得 a ? 0 .

…………………………………………3分 ……………4分

又当 a ? 0 时, f ?(x) ? x(x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. (2)因为

f ? x?

在区间

?3, ??? 上为增函数,

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ?? ? ?0 f ?? x? ? ? 3, ?? ? 2ax ? 1 所以 在区间 上恒成立.………5分

?

? ? ①当 a ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增函数,故

a ? 0 符合题意.………………………………………6分
②当 a ? 0 时,由函数
2

f ? x?
2

的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 , ……………………7分 …………8分

? 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ?[3 , ?) 上恒成立.
1 g ( x) ? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ? 4a , 令

因为 a ? 0 所以

1?

1 ?1 ? 4a ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可,

g ? 3? ? ?4a2 ? 6a ?1? 0 因为 ,解得
因为 a ?

3 ? 13 3 ? 13 ?a? 4 4 .

…………9分 …10分

? 3 ? 13 ? 3 ? 13 ?0 , ? 0?a? 4 ? a 的取值范围为 ? 0 ,所以 4 .综上所述, .

a??
(3)若

1 b (1 ? x)3 b ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? f (1 ? x) ? + 2 时,方程 3 x 可化为, x.
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? ? 0 , ?? 上有解, 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在
2 2 3

即求函数 g( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

………………………………11分

以下给出两种求函数 方法1:因为 则

g ? x?

值域的方法: ,令

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?

h( x) ? ln x ? x ? x 2 ( x ? 0) ,
,…12分

h?( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x

时 1) 所以当 0 ? x ? 1 , h ( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数,
时, ( x) ? 0 ,从而 h 当 x ?1 ?
h( x)在(1,?? ) 上为减函数,
………………13分

?

因此 h(x) ? h(1) ? 0 .而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. 方法2:因为 ………………………………………14分
2

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?
2

? ,所以 g ( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x .
1 6 x2 ? 2 x ?1 ? 2 ? 6x ? ? x x .

设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则 当 当
0? x?
x?

p?( x) ?

1? 7 6 时,

p? ? x ? ? 0

,所以

p ? x?

1? 7 (0 , ) 6 在 上单调递增;

1? 7 6 时,

p? ? x ? ? 0

,所以

p ? x?

1? 7 ( , ?) ? 在 6 上单调递减;

因为

p ?1? ? 0

? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? p? p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 ? 6 ??0 ? e e e ? ? ?e ? ,故必有 ,又 ,

因此必存在实数

x0 ?(

1 1? 7 , ) g '( x0 ) ? 0 , e2 6 使得

x ? ) 0 ?当0 ? x ? x时,g ( x ? ,所以 g ( x)在? 0 ,0 ? 上单调递减; 0
当 当

x0 ? x ? 1时, ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增; g
x ? 1 g '( x) ? 0 , g( x)在?1, ?? 时, 所以 ?
上单调递减;

1 1 x ? 0时 , x ? ? 0 ln g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) 4 4 ,当 又因 为 ,则

g ( x ) ? 0,又

g(1)? 0 .

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. ………………………………14分
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