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【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习:2.3.1直线与平面垂直的判定(含答案解析)

【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习:2.3.1直线与平面垂直的判定(含答案解析)


第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定 A 级 基础巩固 一、选择题 1.给出下列三个命题: ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直; ②一条直线与一个平面内的任意直线所成的角都相等,则这条直线和这个平面垂直; ③一条直线在平面内的射影是一点,则这条直线和这个平面垂直. 其中正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 2.3.1 解析:①中三条直线不一定存在两条直线相交,因此直线不一定与平面垂直;②中直线 与平面所成角必为直角,因此直线与平面垂直;③根据射影定义知正确. 答案:C 2.已知直线 m,n 是异面直线,则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( A.有且只有一个 C.有一个或无数个 B.至多一个 D.不存在 ) 解析:若异面直线 m、n 垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在. 答案:B 3 .如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是 ( ) ①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边 A.①③ C.②④ B.② D.①②③ 解析:由线面垂直的判定定理可知①③是正确的,而②中线面可能平行、相交.④中由 于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直. 答案:A 4.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( A.垂直且相交 C.垂直但不相交 B.相交但不一定垂直 D.不垂直也不相交 ) 解析:如图,取 BD 中点 O,连接 AO,CO, 则 BD⊥AO,BD⊥CO, 所以 BD⊥平面 AOC,BD⊥AC, 又 BD、AC 异面. 所以 AC 与 BD 垂直不相交. 答案:C 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( ) A.1 C.3 B.2 D.4 PA⊥BC PA⊥平面ABC ? ? ?? 解析: ? BC? 平面ABC? BC⊥平面 PAC? BC⊥PC, ? ? ?? ? PA∩AC=A? AC⊥BC 所以直角三角形有△ PAB,△PAC,△ABC,△PBC. 答案:D 二、填空题 6.已知△ ABC 所在平面外一点 P 到△ ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影是△ ABC 的____________________ (填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”). 解析: P 到△ ABC 三顶点的距离都相等, 则点 P 在平面 ABC 内的射影到△ ABC 三顶点 的距离都相等,所以是外心. 答案:外心 7.如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为________. 解析:连接 A1C1, 因为 AA1⊥平面 A1B1C1D1, 所以∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角. 又 A1B1=B1C1=2,AA1=1,所以 AC1=3. AA1 1 在 Rt△AA1C1 中,sin∠AC1A1= = . AC1 3 1 答案: 3 8.如图所示,平面 α∩β=CD,EA⊥α ,垂足为 A,EB⊥β ,垂足为 B,则 CD 与 AB 的位置关系是________. 解析:因为 EA⊥α,CD? α , 根据直线和平面垂直的定义,则有 CD⊥EA. 同样,因为 EB⊥β,CD? β ,则有 EB⊥CD. 又 EA∩EB=E, 所以 CD⊥平面 AE

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