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江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考文科数学试卷

江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考文科数学试卷


江西师大附中、临川一中 2013 届高三 12 月联考试卷

文科数学
(本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.) 1 ? 0} ,则 A ? B ? ( 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | ) x ?1 [? [? ( A. 2 , 2] B. 2 , 1) C.1 , 2] D. ?2 , ??) [ 2 ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位),那么 m ? ( 2.如果 ) 1? i A.1 B. ? 1 C.2 D.0 2? 3.若 a ? 20.5 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 2 x y 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的 a b 离心率等于 5 ,则该双曲线的方程为( ) 2 2 4 x y y2 x2 A. 5 x 2 ? y 2 ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 5 5 4 5 4 5 D. 5 x 2 ? y 2 ? 1 4
?x ? 1 ? , 则x ? y 的最小值为( 5.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?

)

A.2 B.3 C.4 D.5 6.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ?( ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 ? 7.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥ , 则l ? m ; ②若 l ? m , ? ∥ ; 则 则 m; m, 其 ? ③若 ? ? ? , l∥ ④若 l∥ 则 ? ? ? . 中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示.若△ ... y ??? ? 1 EFG 为等腰直角三角形,且 | EF |? 1 ,则 f ( ) 的值为 ( ) 6 O x E F 3 3 1 1 A. ? B. ? C. ? D. 4 4 4 2 G
f(x) = sin(2?x)

第 1 页 共 9 页

?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N? ) ,且 (x ? 7) ?a 对任意正整数 m, n (m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范 围是( ) 9 9 A. [ ,3) B. ( ,3) C. (2,3) 4 4 D. (1,3) b x?d 1 1 ? ? 0 的解集为 ( ?1, ? ) ? ( ,1) , 10.已知 a, b, c, d 为常数,若不等式 x?a x?c 3 2 bx dx ? 1 ? ? 0 的解集为( 则不等式 ) ax ? 1 cx ? 1 1 1 1 A. (1,3) ? ( ?1, ? ) B. (??, ?1) ? (? , ) ? (1, ??) 2 3 2 1 1 C. (?1, ? ) ? ( ,1) D. (?3, ?1) ? (1, 2) 2 3

第Ⅱ卷
(本卷共 11 小题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置. 11.过曲线 y ? x3 上一点 P(1,1) 作其切线,则切线的方程 是 .

??? ? ??? ? 12.已知四点 A(1, 2), B(3, 4), C(?2, 2), D(?3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射
影为 .
2

13.若一个圆台的的主视图如图所示,则其侧面积等于 . ... 14.已知数列 {an },{bn } 的通项公式分别是 an ? (?1)n?2012 ? a ,

(?1) n ? 2013 bn ? 2 ? ,若 an ? bn 对任意 n ? N * 恒成立,则 n 4 实数 a 的取值范围是 ? 1 ?x ? , x ? 0 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 ? x) ? a ( a ? 2 )的解 x ? x3 ? 3, x ? 0 ?

2

的个数可能为

(写出所有可能的结果).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,已知向量 ? ?? ? ?? 3 m ? (1, sin A ? 3 cos A) , n ? (sin A, ) ,且 m ∥ n . 2
第 2 页 共 9 页

(1) 求角 A 的大小; (2) 若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅 1 3 有一个零点.命题 q: x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 2 2 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC. .... (1) 求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2) 若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3) 若 D 是棱 CC1 的中点, 问在棱 AB 上是否存在一点 E, DE∥平面 AB1C1? 使 若存在,试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.
A

A1

C
B

D

C1

B1 19.(本小题满分 12 分)南昌市在加大城市化进程中,环境污染问题也日益突

出。据环保局测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距 离的平方成反比.现已知相距 18 km 的 A,B 两家工厂(视作污染源)的污染强 度分别为 a , b ,它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两家工厂对该处的污 染指数之和.设 AC ? x ( km ). (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? xk ? b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数) 的图像经过点 A (4, 2) 、B (16, 4) . P , P , P ,?, P ,? 是函数 f ( x) 图像上的点, 1 2 3 n
Q1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,?是 x 正半轴上的点.

(1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 设 O 为坐标原点, ?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是一系列正三角 1 2 n ... 形,记它们的边长是 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,求数列 {an } 的通项公式; .

第 3 页 共 9 页

(3) 在(2)的条件下,数列 {bn } 满足 bn ?
Sn ? 4 。 3

an ,记 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,证明: 2n

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? k | ln x ?1|, g ( x) ? x | x ? k | ?2 ,其 中0 ? k ? 4. (1) 讨论函数 f ( x) 的单调性,并求出 f ( x) 的极值; (2) 若对于任意 x1 ?[1, ??) ,都存在 x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的取值范围.

江西师大附中、临川一中 2013 届高三联考

文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.) 1 ? 0} ,则 A ? B ? ( C ) 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | x ?1 [? [? ( [ A. 2 , 2] B. 2 , 1) C.1 , 2] D. ?2 , ??) 2 ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位),那么 m ? ( A ) 2.如果 1? i A.1 B. ? 1 C.2 D.0 2? 3.若 a ? 20.5 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( A ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 2 x y 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的 a b 离心率等于 5 ,则该双曲线的方程为( D ) 4 x2 y2 y2 x2 A. 5 x 2 ? y 2 ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 5 5 4 5 4 5 D. 5 x 2 ? y 2 ? 1 4
?x ? 1 ? , 则x ? y 的最小值为( A ) 5.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?

A.2

B.3

C.4
第 4 页 共 9 页

D.5

6.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ?( A ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 7.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥ , ? 则l ? m ; ②若 l ? m , ? ∥ ; 则 则 m; m, 其 ? ③若 ? ? ? , l∥ ④若 l∥ 则 ? ? ? . 中真命题的个数是( C ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示.若△ ... y ??? ? 1 EFG 为等腰直角三角形,且 | EF |? 1 ,则 f ( ) 的值为 (C) 6 O x E F 3 3 1 1 A. ? B. ? C. ? D. G 4 4 4 2 ?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N? ) ,且 (x ? 7) ?a 对任意正整数 m, n (m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范
f(x) = sin(2?x)

围是( C ) 9 A. [ ,3) 4 D. (1,3)

9 B. ( ,3) 4

C. (2,3)

10.已知 a, b, c, d 为常数,若不等式 则不等式

bx dx ? 1 ? ? 0 的解集为( D ) ax ? 1 cx ? 1 1 1 1 A. (1,3) ? ( ?1, ? ) B. (??, ?1) ? (? , ) ? (1, ??) 2 3 2 1 1 C. (?1, ? ) ? ( ,1) D. (?3, ?1) ? (1, 2) 2 3

b x?d 1 1 ? ? 0 的解集为 ( ?1, ? ) ? ( ,1) , x?a x?c 3 2

第Ⅱ卷
(本卷共 11 小题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置. 11.过曲线 y ? x3 上一点 P(1,1) 作其切线,则切线的方程是 3x ? y ? 2 ? 0 或
3x ? 4 y ? 1 ? 0 .

(答错或漏答均不能给分)

??? ? ??? ? 12.已知四点 A(1, 2), B(3, 4), C(?2, 2), D(?3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影
2 10 为 5 .
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13.若一个圆台的的主视图如图所示,则其侧面积等于 3 5? . ... 14.已知数列 {an },{bn } 的通项公式分别是 an ? (?1)n?2012 ? a ,
bn ? 2 ? (?1) n
n ? 2013

2

2

,若 an ? bn 对任意 n ? N * 恒成立,则
4

3 实数 a 的取值范围是 [ ?2, ) . 2

? 1 ?x ? , x ? 0 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 ? x) ? a ( a ? 2 )的解 x ? x3 ? 3, x ? 0 ? 的个数可能为 4、5、6 (填错或漏填均不能给分).
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,已知向量 ? ?? ? ?? 3 m ? (1, sin A ? 3 cos A) , n ? (sin A, ) ,且 m ∥ n . 2 (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围.

?? ? n n 解析: (1) 因为 m ∥ , s (iA n 则i s
所以

A3cs ) o ?

A

?

3 n , s 即i 2

2

A ?3s cs A i o n

A ?

3 . 2

? 1 ? cos 2 A 3 3 3 1 ? sin 2 A ? ,即 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? 1 . 6 2 2 2 2 2 ? ? ? A 是锐角,则 2 A ? ? ,所以 A ? . 6 2 3 (2)因为 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,则 1 1 S? ABC ? ac sin B ? ? 2 ? 4 3 sin 2 B ? 4 3sin 2 B 2 2 1 ? cos 2 B ? 4 3? ? 2 3 ? 2 3 cos 2B . 2 1 由已知, 2 3 ? 2 3 cos 2B ? 3 ,即 cos 2 B ? . 2 ? ? ? 因为 B 是锐角, 所以 0 ? 2 B ? , 0 ? B ? , 即 故角 B 的取值范围是 (0, ) . 3 6 6
17.(本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅 1 3 有一个零点.命题 q: x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 2 2 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 解析:先考查命题 p:
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若 a=0,则容易验证不合题意; 故? ?
a?0 ,解得:a≤-1 或 a≥1. ? f (?1) ? f (1) ? 0

再考查命题 q: 2? ?1 3? ?1 3? ? ∵x∈? , ?,∴3(a+1)≤-?x+ ?在? , ?上恒成立. x? ?2 2? ?2 2? ? 1 ? 9 9 5 ? 易知?(x+ )?max= ,故只需 3(a+1) ≤- 即可.解得 a≤- . x ? 2 2 2 ? ∵命题“p 且 q”是假命题,∴命题 p 和命题 q 中一真一假。 5 当 p 真 q 假时,- <a≤-1 或 a≥1; 2 当 p 假 q 真时, a ?? . 5 综上,a 的取值范围为{a| - <a≤-1 或 a≥1} 2 18.(本小题满分 12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC. .... (1) 求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2) 若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3) 若 D 是棱 CC1 的中点, 问在棱 AB 上是否存在一点 E, DE∥平面 AB1C1? 使 若存在,试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解析:(1)由于 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 B1C1⊥ 1; CC .... 又因为 AC⊥BC ,所以 B1C1⊥ 1C1,所以 B1C1⊥ A 平面 AC1 . E C1 由于 B1C1 ? 平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥ 平面 AC1 . D C (2)由(1)知,B1C1⊥A1C .所以,若 AB1⊥A1C,则可 B 得:A1C⊥ 平面 AB1C1,从而 A1C⊥ AC1 . B1 F 由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1:1. (3)点 E 位于 AB 的中点时,能使 DE∥平面 AB1C1. EF、 则易证: 证法一: F 是 BB1 的中点, 设 连结 DF、 DE. 平面 DEF//平面 AB1C1, 从而 DE∥平面 AB1C1. DE∥ 证法二: G 是 AB1 的中点, 设 连结 EG, 则易证 EG DC1. 所以 DE// C1G, 平面 AB1C1. 19.(本小题满分 12 分)南昌市在加大城市化进程中,环境污染问题也日益突 出。据环保局测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距 离的平方成反比.现已知相距 18 km 的 A,B 两家工厂(视作污染源)的污染强 度分别为 a , b ,它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两家工厂对该处的污 染指数之和.设 AC ? x ( km ). (1) 试将 y 表示为 x 的函数;
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A

A1

(2) 若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值. 解析:1) ( 设点 C 受 A 污染源污染程度为 其中 k ? 0 . 从而点 C 处受污染程度 y ?
ka kb ? . 2 x (18 ? x) 2

kb ka , C 受 B 污染源污染程度为 点 , 2 (18 ? x) 2 x

(2)因为 a ? 1 ,所以, y ?
y ' ? k[

k kb ? , 2 x (18 ? x) 2

18 ?2 2b ? ] ,令 y ' ? 0 ,得 x ? 。 3 3 x (18 ? x) 1? 3 b

又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? xk ? b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数) 的图像经过点 A (4, 2) 、B (16, 4) . P , P , P ,?, P ,? 是函数 f ( x) 图像上的点, 1 2 3 n
Q1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,?是 x 正半轴上的点.

(1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 设 O 为坐标原点, ?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是一系列正三角 1 2 n ... 形,记它们的边长是 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,求数列 {an } 的通项公式; . (3) 在(2)的条件下,数列 {bn } 满足 bn ?
Sn ? 4 。 3 an ,记 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,证明: 2n

? 2 ? 4k ? b 1 ? b ? 0, k ? ? f ( x) ? x . 解析:(1) ? k 2 ? 4 ? 16 ? b ?y? x 1 2 ? ? x ? ? a1 ? . (2)由 ? 3 3 ? y ? 3x ?

? y? x 1 ? 6Sn?1 ? 1 ? 12Sn?1 ? ? 3x ? x ? 3Sn?1 ? 0 ? x ? 由? 6 ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ? 1 1 1 ? 12S n ?1 ,由此原问题转化为: 将 x 代人 an ? 2( x ? S n ?1 ) ? ? 3 3 1 1 2 “已知 (an ? ) 2 ? ? (1 ? 12S n ?1 ) 且 a1 ? ,求 an ”. 3 9 3 1 1 1 1 4 又 (an ?1 ? ) 2 ? ? (1 ? 12 Sn ) ,两式相减可得: (an ?1 ? ) 2 ? (an ? ) 2 ? an 3 9 3 3 3 1 2 1 2 2 ? (an ?1 ? ) ? (an ? ) ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? ) ? 0 3 3 3 2 又,因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? ? 0 , 3
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2 2 2n 为首项, 为公差的等差数列,即 an ? . 3 3 3 1 2 3 n (3) 3S n ? 0 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ,所以 2 2 2 2 3 1 2 n? 1 n Sn ? ? 2 ? ? ? n ? 1? n . 1 2 2 2 2 2 3 1 1 1 n 两式相减得: S n ? 1+ ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 4 n?2 4 ? . 整理得: S n ? ? 3 3 ? 2 n ?1 3

从而 {an } 是以

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? k | ln x ?1|, g ( x) ? x | x ? k | ?2 ,其 中0 ? k ? 4. (1) 讨论函数 f ( x) 的单调性,并求出 f ( x) 的极值; (2) 若对于任意 x1 ?[1, ??) ,都存在 x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的取值范围. ? 2x2 ? k (0 ? x ? e) ? x ? x 2 ? k ln x ? k (0 ? x ? e) ? ' 解析:(1) f ( x) ? ? 2 ,所以 f ( x) ? ? 。 2 x ? k ln x ? k ( x ? e) ? ? 2 x ? k ( x ? e) ? x ? k k 易知, f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增。 2 2 k 3k k k 所以 f 极小 ? f ( ) ? ? ln . 2 2 2 2 1 (2) ? k ? 4 . 3

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