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标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1:课时跟踪训练(十八) 最大值、最小值问题

标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1:课时跟踪训练(十八) 最大值、最小值问题

课时跟踪训练(十八) 最大值、最小值问题 x 1.函数 f(x)= x在 x∈[2,4]上的最小值为( e A.0 4 C. 4 e 1 B. e 2 D. 2 e ) )

2.函数 f(x)=x3-x2-x+a 在区间[0,2]上的最大值是 3,则 a 的值为( A.2 C.-2 B.1 D.-1

3.已知函数 f(x)=ax-ln x,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,1) C.(1,+∞) B.(-∞,1] D.[1,+∞)

4.如图,将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强 度同它的断面高的平方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k,k>0).要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽 x 应为( d A. 3 C. 3 d 3 d B. 2 D. 2 d 2 )

5.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M- m=________. 6.如图,已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为 250 mL,则它的底面半径等于 ______时(用含有 π 的式子表示),可使所用的材料最省. 2? 2 7.函数 f(x)=x3+f′? ?3?x -x. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(cos x)的最小值和最大值.

8.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米.余下工程只需建两端桥墩之 间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因 素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

答 案 x 1.选 C ∵f(x)= x, e ex-xex 1-x ∴f′(x)= x 2 = x . e ?e ? 当 x∈[2,4]时,f′(x)<0,即函数 f(x)在[2,4]上是减少的,故当 x=4 时,函数 f(x)的最 4 小值为 4. e 1 2.选 B 由题意 f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- (舍去) 3 又 f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2, 所以 f(x)的最大值为 a+2=3,故 a=1. 3.选 D ∵f(x)=ax-ln x,f(x)>1 在(1,+∞)内恒成立, 1+ln x ∴a> 在(1,+∞)内恒成立. x 1+ln x 设 g(x)= , x ∴x∈(1,+∞)时,g′(x)= -ln x <0, x2

即 g(x)在(1,+∞)上是减少的,∴g(x)<g(1)=1, ∴a≥1,即 a 的取值范围是[1,+∞) 4.选 C 设断面高为 h,则 h2=d2-x2.设横梁的强度函数为 f(x),则 f(x)=k· xh2=k· x(d2

3 3 -x2),0<x<d.令 f′(x)=k(d2-3x2)=0, 解得 x=± d(舍去负值).当 0<x< d 时,f′(x) 3 3 >0,f(x)是增加的;当 3 d<x<d 时,f′(x)<0,f(x)是减少的.所以函数 f(x)在定义域(0, 3 3 3 d.所以 x= d 时,f(x)有最大值. 3 3

d)内只有一个极大值点 x=

5.解析:令 f′(x)=3x2-12=0,解得 x=± 2.计算 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8, f(3)=-1,所以 M=24,m=-8,故 M-m=32. 答案:32 6.解析:设圆柱的高为 h,表面积为 S,容积为 V,底面半径为 r,则表面积 S=2πrh 250 250 500 500 +2πr2,而 V=250=πr2h,得 h= 2 ,则 S=2πr· 2 +2πr2= +2πr2,S′=- 2 +4πr, πr πr r r 3 3 5 π2 5 π2 令 S′=0 得 r= ,因为 S 只有一个极值,所以当 r= 时,S 取得最小值,即此时所 π π 用的材料最省. 3 5 π2 答案: π 2? 7.解:(1)f′(x)=3x2+2f′? ?3?x-1, 2? ?2?2 ?2? 2 ?2? 则 f′? ?3?=3×?3? +2f′?3?×3-1,得 f′?3?=-1, 故 f(x)=x3-x2-x. 1 令 f′(x)=3x2-2x-1>0,解得 x<- 或 x>1. 3 1 -∞,- ? 和 (1 ,+ ∞) ;同理可得 f(x) 的单调递减区间为 故 f(x) 的单调递增区间为 ? 3? ?

?-1,1?. ? 3 ?
1 1 -1,- ?上是增加的,在区间?- ,1?上 (2)设 cos x=t∈[-1,1],由(1)知 f(x)在区间? 3? ? ? 3 ? 1 5 - ?= ;又 f(-1)=f(1)=-1,故 f(cos x)min=-1. 是减少的,故 f(cos x)max=f? ? 3? 27 8.解:(1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, m 即 n= -1, x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m ? m =256? ? x -1?+ x (2+ x)x



256m +m x+2m-256. x

256m 1 1 m 3 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx- = 2(x -512). x 2 2 2x 2 3 令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减少的; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增加的. 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值. m 640 此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.


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