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高中文科数学课件《集合的概念及运算》

高中文科数学课件《集合的概念及运算》


了解集合、空集与全集的含义,理解集合之间
的包含与相等,交集、并集和补集的含义,会 求两个集合的交集、并集与补集,能运用韦恩 图和集合语言解决有关问题.

1.( 2 0 10 ? 湖 北 卷 ) 设 a、 b ? R , 集 合 {1 , a+ b, a }=   b {0, , b }, 则 b- a= ? a A. 1 C. 2
解 析 : 由 题 知 a ? 0, 否 则 所 以 a= - b ? 0 , 即 b a 所 以 b- a=1 - ( -1 ) = 2 . b a = -1 , 所 以 a= -1 , b=1 ,

?
B . -1 D. -2
无 意 义 , 所 以 a+ b= 0 ,

易错点:集合互异性应用错误.

  知 集 合 A={(x, y) | x+ y < 0 , xy > 0 } , B= 2 .已 {(x, y) | x < 0 , y ? 0}, 则 ? A. A ? B C . A= B

?

B.B ? A D. B ? A

? xy ? 0 解析: ? x ? 0, y ? 0, A= B, 故 选 C . 故 ? ? xy ? 0

3 .已 知 M ={ x | x ? 1}, N = ? x | x ? p ? , 若 M ? N ? ? , 则 p应 满 足 的 条 件 是 A. p ? 1 C. p ? 1

? ?
B. p ? 1 D. p ? 1

解 析 : 在 数 轴 上 表 示 出 M ={ x | x ? 1}, N = ? x | x ? p ? , 可 得 p ? 1.

 若 全 集 U = ? 0,1, 2, 3? 且 ?U A= ? 2 ? , 则 集 合 A 4. 的真子集共有 个.

解析:

依 题 意 , 由 已 知 A= ? 0,1, 3? , 则 集 合
3

A的 真 子 集 共 有 2 -1 = 7 个 .

易 错 点 : 集 合 A的 真 子 集 不 能 是 A 本 身 .

 设 A、 B 为 有 限 集 , A中 元 素 的 个 数 为 m, B中 元 素 5. 的 个 数 为 n, A ? B的 元 素 个 数 为 s, 给 出 下 列 结 论 : ① m ? n ? s ; ② m ? n ? s; ③ m ? n ? s ; ④ m ? n ? s 其中可能正确的是    正 确 结 论 的 序 号 ). (填

解 析 : 若 A ? B ? ? , 则 m ? n ? s; 若 A ? B ? ? , 则 m ? n ? s .因 此 可 知 ① ② ④ 正 确 .

1. 集 合 的 有 关 概 念  

?1 ? 一 般 的 , 某 些 指 定 的 对 象 集 中 在 一 起 就 构 成 了
一个集合,集合中的每个对象叫这个集合的元素.

?2?元 素 与 集 合 的 关 系 有 两 种 : ①
② ________ .

________ ,

?3?集 合 中 元 素 的 性 质 : ③ ?4?集 合 的 表 示 法 : ④

____________________ .

________________________ . _______

?5?集 合 的 分 类 . 按 元 素 个 数 可 分 为 : ⑤
_____________________________ .

?6 ?两 个 集 合 A与 B之 间 的 关 系 :

?7 ?常 用 数 集 的 记 法 :

2.集 合 的 运 算 及 运 算 性 质

【要点指导】 ① 属 于 “? ”; ② 不 属 于 “? ”; ③确定性、互异性、无序性; ④列举法、描述法、韦恩图法; ⑤空集、有限集、无限集; ⑥ 2 ; ⑦ 2 -1 ; ⑧ 且 ; ⑨ { x | x ? A 且 x ? B };
n n

⑩或;

{ x | x ? A 或 x ? B };

{ x | x ? U 且 x ? A}

题型一

集合的运算及应用
2

例 1.设 集 合 A={ x | x - 3 x+ 2 = 0 } , B={ x | x - (a+ 3 )x+ 3 a= 0}.
2

?1 ? 若 A ?

B= ?1, 2, 3? , 求 实 数 a的 值 ; A, 求 实 数 a

? 2 ? 若 全 集 U = R , A ? ( ?U B ) ?
的取值范围;

解 析 : 由 x - 3 x+ 2 = 0, 得 x1=1 , x 2= 2 , 即 A= ?1, 2 ? . 由 x - ( a+ 3) x+ 3 a= 0,
2

2

得 ( x- 3)( x- a )= 0, 则 x1= 3 , x 2= a, 从 而 3 ? B, a ? B .

?1 ? 若 A ?

B= ?1, 2 , 3? , 则 B ? ?1, 2 , 3? .

又 3 ? B, 则 a=1 或 a= 2 或 a= 3.

?2? A ?

( 痧 B ) ? A, 得 A ? U

U

B,

所 以 A ? B ? ? , 则 3 ? A 且 a ? A, 故 a ? 1 且 a ? 2.故 a的 取 值 范 围 为 { a ? R | a ? 1 且 a ? 2}.

评析:(1)读懂集合语言,化简集合,才能 找到解题的突破口. (2)解决集合问题,常用韦恩图直观地表示. (3)理解补集的意义:UA指在全集U中但不在集 ? 合A中的元素组成的集合.

变 式 1:1 ? 下 面 四 个 命 题 中 , 正 确 的 有 ? ① ? 0? = ? ; ③ ? ? ?? ? ; ②0? ?; ④ ? ? ?? ?. y+1= 0}, B =

.   

? 2 ? 若 A={ ( x, y ) || x+ 2 | +
{- 2 , -1}, 则 必 有 A. B ? A C . A= B

? ?
D . A ? B= ?

B. A ? B

解析:

? 1 ?? 0 ? 表 示 含 有 一 个 元 素 0的 集 合 ,

? 0? ?

? ;与 ? 是 元 素 与 集 合 的 关 系 , ? ? ; 0 0

?? ? 表 示 含 有 一 个 元 素 ? 的 集 合 , 故 正 确
的命题有③④.

? 2 ? 因 为 A={ (- 2 , -1)}, 表 示 点 集 ,
B={- 2 , -1}, 为 数 集 , 两 个 集 合 不 可 能 有 公 共 部 分 , 故 选 D.

题型二

集合语言与韦恩图及应用

例 2 .设 全 集 U 是 实 数 集 R , 集 合 M ={ x | y= lo g 2 ( x - 4 )}, N = { y | y= x - 2 , - 3 ? x ? 2}, 则
2 2

右图阴影部分所表示的集合是 __________ .

解 析 : 由 于 函 数 y= lo g 2 ( x - 4 )的 定 义 域 是 { x | x ? - 2 或 x ? 2}, 则 M = (- ? , - 2 ) ? ( 2 , + ? ). 又 y= x - 2 (- 3 ? x ? 2 )的 值 域 为 { y | - 2 ? y ? 7},
2

2

则 N = [- 2, 7 ]. 而 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 N ? ( ?u M )= [ ? 2 , 2 ].

评析:集合语言的理解应结合一般元素与 元素的属性思考,如集合M是函数y=log2(x2 - 4)的定义域,而集合N是函数y=x2-2(-3≤x≤2) 的值域.

变 式 2 .某 实 验 班 有 2 1 个 学 生 参 加 数 学 竞 赛 ,7 个 学 生 1 参加物理竞赛, 个学生参加化学竞赛,他们之间既 10 参 加 数 学 竞 赛 又 参 加 物 理 竞 赛 的 有12人 , 既 参 加 数 学 竞 赛 又 参 加 化 学 竞 赛 的 有 6人 , 既 参 加 物 理 竞 赛 又 参 加 化 学 竞 赛 的 有 5人 , 三 科 都 参 加 的 有 2人 . 现 在参加竞赛的学生都要到外地学习参观,问需要预 订多少张火车票?

解 析 : 该 班 学 生 参 加 竞 赛 如 图 所 示 , 集 合 A、 B 、 C 、 D、 E、 F 、 G中 的 任 何 两 个 无 公 共 元 素 , 其 中 G 表 示 三 科 都 参 加 的 学 生 集 合 , card ? G ? = 2.

因 为 既 参 加 数 学 竞 赛 又 参 加 物 理 竞 赛 的 有12人 , 所 以 card ? D ? =1 2 - 2 =10 . 同 理 , 得 card ? E ? = 6 - 2 = 4 , card ? F ? = 5 - 2 = 3. 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别 为 2 1 、7 、 .所 以 card ? A ? = 2 1 - 2 -10- 4 = 5 , 1 10 card ? B ? =1 7 - 2 -10- 3 = 2 , card ? C ? =10- 3 - 2 - 4 =1. 故 需 预 定 火 车 票 的 张 数 为 5 + 2 + 1 + 1 0+ 4 + 3 + 2 = 2 7 .

题型三 元素与集合、集合与集合之间的互相关系

例 3 . ? 1 ? 满 足 M ? { a 1, a 2, a 3, a 4 }, 且 M ? { a 1, a 2, a 3 }={ a1, a 2 }的 集 合 M 的 个 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ .

? 2 ? 若 集 合 A={ x | - 2 ?

x ? 5}, B={ x | m+1 ? x ?

2 m-1}, A ? B= A, 则 实 数 m的 取 值 的 集 合 是 _ _ _ .

解析:

? 1 ?由 M

? { a 1, a 2, a 3 }={ a 1, a 2 }, 可 知 a 1 ? M ,

a 2 ? M , 且 a 3 ? M .又 M ? { a 1, a 2, a 3, a 4 }, 从 而 M = { a 1, a 2 }或 M ={ a 1, a 2, a 4 }, 共 2 个 .

? 2 ?由 A ?

B= A 可 得 B ? A .

? m+1 ? 2 m-1 ? ⅰ) 若 B ? ? 时 , 则 ? m+1 ? 2 ( , 解 得 2 ? m ? 3. ? 2 m-1 ? 5 ? (ⅱ) 若 B = ? 时 , 则 m+1 ? 2 m-1 , 即 m ? 2 . 从 而 , m的 取 值 范 围 是 (- ? , . 3]

? 评析:(1)解集合问题时,不能忽略?对解 题的影响.

?2?常 见 的 等 价 结 论 : ① A ?
④ 痧 ( A ? B )= U A? B;

B= A ? A ? B;
U

② A ? B= B ? A ? B; ③ 痧 ( A ? B )= U
U U

A?

U

B;

?3?空 集 的 性 质 : ?

? A , ? ? A ( A ? ? ),

? ? A= A, ? ? A= ? .

变 式 3 .已 知 集 合 M ={ x | x + x- 6 = 0}, N ={ x | a x-1 = 0}, 且 M ? N = N , 求 实 数 a的 值 .
分析:N ? M=N ? N ? M,根据子集的 概 念 , 集 合 N 可 以 是 空 集 , 所 以 要 对 a的 值 进行分类讨论.

2

解 析 : 由 x + x- 6 = 0 得 x= 2 或 x= - 3 , 所 以 M ={2 , - 3}. N ? M=N ? N ? M. ⅰ)当 a= 0时 , N = ? , 此 时 N ? M ; ( (ⅱ)当 a ? 0时 , N ={ }. a 由N ? M 得 1 a =2或 1 a 1 或- . 2 3 1 = - 3 , 即 a= 1 或 a= - . 2 3 1 1

2

故 所 求 实 数 a的 值 为 0 或

题型四

集合的创新与应用

例 4 .对 于 集 合 A、 B, 我 们 将 { ( a, b ) | a ? A, b ? B } 记 作 A ? B .例 如 : A= ?1, 2 ? , B= ? 3, 4 ? , 则 A ? B= { ? 1, 3 ? ,1, 4 ? ,2, 3 ? ,2, 4 ?}. ? ? ?

? 1 ?已 知 A ? B={? 1, 2 ? ,2, 2 ?}, 则 集 合 A= _ _ _ _ _ _ _ , ?
B= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

? 2 ? 若 A有 3 个 元 素 , B 有 4 个 元 素 , 则 A ? B 共 含 有
__________ 个 元 素 .

解 析 :1 ?由 A ? B={ ( a, b ) | a ? A, b ? B }的 含 义 可 知 ? A= ?1, 2 ? , B= ? 2 ? .

? 2 ? 设 A={ a1, a 2, a 3 }, B={b1, b 2, b3, b 4 }, 则 在 B中
与 a i ( i=1, 2, 3) 组 合 的 元 素 均 有 4 个 , 故 共 有 3 ? 4 =1 2 个元素.

评析:本题属于创新型的概念理解题.准 确理解A×B是解决本题的关键所在.

变 式 4 . ? 1 ? 定 义 集 合 运 算 : A * B={ z | z= xy, x ? A, y ? B }, 设 A= ?1, 2 ? , B= ? 0, 2 ? , 则 集 合 A ? B的 所 有 元 素 之 和 为 ? A. 0 B. 2 C. 3 D. 6

?

? 2 ?已 知 P={ a | a= ? 1, 0 ? + m ? 0,1 ? , m ? R }, Q={ b | b= ? 1,1 ? + n (-1,1), n ? R }是 两 个 向 量 集 合 , 则 P
A. C. ? Q= ?

?

? ? 1,1 ?? ? ? 1, 0 ??

B. { (-1,1)} D.

? ? 0,1 ??

解 析 :1 ? 因 为 z= xy, x ? ?1, 2 ? , y ? ? 0, 2 ? , ? 故 xy= 0, 2, 4 , 从 而 A ? B= ? 0, 2, 4 ? , 故 集 合 A ? B的 所 有 元 素 之 和 为 6 .故 选 D .

解 析 :2 ? 方 法 1 : 由 已 知 可 得 P={ (1 , m )}, ? ?1=1 - n ? Q={ (1 - n ,1 + n )}, 再 由 交 集 的 含 义 , 有 ? ?, ? m=1 + n ? ? n= 0 ? 得? ? , 从 而 P ? Q= ? ? 1,1 ?? , 故 选 A . ? m=1 ? 方 法 2: 本 题 可 以 利 用 向 量 的 几 何 意 义 解 决 . 依 题 意 , P={ a | a= ? 1, 0 ? + m ? 0 ,1 ? , m ? R }, Q={ b | b= ? 1,1 ? + n (-1,1), n ? R }, 所 对 应 的 点 的 集 合 是 P={ ( x, y) | x=1}, Q ={ ( x, y) | x+ y= 2}, 则 P ? Q= ? ? 1,1 ?? , 所 以 答 案 为 A .

备 选 例 题 .? 1 ? ( 2 0 10 ? 长 郡 中 学 ) 集 合 P= { y | y= x },
2

Q= { y | x + y = 2}, 则 P ? Q 等 于 A .1? ? C. , 2} {0

2

2

? ?

B .?1,1 ? , 1,1)} { (- D.,2] [0

? 2 ? 设 I 为 全 集 , S 1, S 2 是 I 的 两 个 非 空 子 集 ,
且 S 1 ? S 2= I , 则 下 面 论 断 正 确 的 是 A . ?I S 1 ? S 2= ? C . 痧S 1 ? I
I

? ?
S1

B . S 1 ? ?I S 2 D. S2 ?
I

S2

解 析 :1 ? 因 为 P=[0, + ? ), Q=[- 2, 2 ], ? 所 以 P ? Q=[0, 2 ], 故 选 D .

? 2 ?因 为 S1 ?
即 痧S 1 ? I
I

S 2= I , 所 以 痧( S 1 ? S 2 )= I

I

I= ?

S 2= ? , 故 选 C .

1.理解集合语言、把握元素的特征是分析解 决集合问题的前提. 2.化简集合(具体化、一般化、特殊化)是求 解集合问题的基本策略. 3.注意集合元素的三要素(尤其是互异性)、 不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍. 4.数形结合、分类讨论、补集思想、转换化 归是解集合问题能力的具体体现.

设 集 合 A={0, a }, 集 合 B={ a , - a , a -1}, 且 A ? B, 则 a的 值 是 (     ) A. 1 ? B . -1

2

3

2

C. 1 D. 2 错 解 : 由 A={0, a } 及 集 合 元 素 的 互 异 性
可 知 a ? 0, 所 以 a ? 0 , - a = 0 , 又 A ? B
2 3

得 a -1 = 0, 即 a= ? 1.故 选 A .
2

错 误 分 析 : 解 出 a= ? 1 后 , 忽 视 了 检 验 这 两个值是否都满足元素的互异性.

正 解 : 由 A={0, a } 及 集 合 元 素 的 互 异 性 可 知 a ? 0, 所 以 a ? 0, - a ? 0,
2 3

又 A ? B, 所 以 a -1 = 0, 解 得 a= ? 1.
2

当 a= -1 时 , a = - a =1 , 这 与 集 合 元 素 互 异 性 矛盾,舍去. 当 a=1 时 , A= ? 0,1? , B={1 , -1, 0}, 满 足 A ? B . 综 上 a=1 , 故 应 选 C.

2

3


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