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河北省黄骅中学2018_2019学年高二数学上学期第二次月考试题文2019011802166

河北省黄骅中学2018_2019学年高二数学上学期第二次月考试题文2019011802166

黄骅中学 2018-2019 年度高中二年级第一学期第二次月考 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(客观题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 共 60 分)

? ? ? , x3 ? x ? 0 1、命题“ ?x ? ? 0, 0 ? , x3 ? x ? 0 A. ?x ? ? ?? ,
3 ? ? ? , x0 C. ?x0 ? ? 0, ? x0 ? 0

”的否定是(



0 ? , x3 ? x ? 0 B. ?x ? ? ?? ,
3 ? ? ? , x0 D. ?x0 ? ? 0, ? x0 ? 0

2、 已 知 甲 、 乙 两 组 数 据 如 茎 叶 图 所 示 , 若 它 们 的 中 位 数 相 同 , 平均数也相同,则图中的 m , n 的比值 A. 1 B.

m =( ) n

1 3

C.

2 9

D.

3 8

3、设 x ? R ,则“

1 1 ? 1 ”是“ ( ) x ? 1 ”的( x 2
B. 必要而不充分条件

)

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 4、已知 x, y 取值如下表: 0 1. 3 1 1. 8

D. 既不充分也不必要条件

4 5. 6

5 6. 1

6 7. 4

8 9. 3 ,则当 x ? 10 时, y 的预测值为( )

从散点图可知: y 与 x 线性相关,且 A. 10.8 B. 10.95 C. 11.15 D. 11.3

5、根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数,众数分别为 ( A.12.5,12.5 D.14,12.5 B.13,12.5 C.12.5,13

)

-1-

6、将参加夏令营的 720 名学生编号为 : 001,002…720,采用系统抽样方法抽取一个容量为 60 的样本,且随机抽得的第一个号码为 004.又这 720 名学生分住在三个营区,从 001 到 360 在第 I 营区,从 361 到 640 在第 II 营区,从 641 到 720 在第Ⅲ营区,则三个营区被抽中的 人数依次为( ) A.30,24,6 C.30,22,8 7、 设不等式组 ? B.30,23,7 D.31,23,6 区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐

?? 2 ? x ? 2 表示的平面区域为 D, 在 ?? 2 ? y ? 2

标原点的距离大于 2 的概率是(  ) A.

?
4

B.

? ?2
2

C.

?
6

D.

4 ?? 4

8、双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,以 F1 F2 为直径的圆交 C 的渐近线于 a2 b2


点 (3, 3 ) ,则 C 的方程为(

A.

x2 y2 y2 ? ? 1 B. x 2 ? ?1 3 9 3

C.

x2 y2 ? ?1 9 3

D.

x2 ? y2 ? 1 3

9、 若 点 P 是 曲 线 y ?

3 2 x ? 2lnx 上 任 意 一 点 , 则 点 P 到 直 线 2


5 y ? x ? 的距离的最小值为( 2
A.

2

B.

3 3 2

C.

3 2 2

D.

5

10、执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 16 ,则判断框内可 填入的条件是( )

A. S ?

15 10

B. S ?

8 5

C. S ?

15 10

D. S ?

8 5

11、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的一点,设点 P 到此抛物线准线的距离为 d1 ,到直线
2

x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离为 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为(  )
-2-

A.

11 5 5

B.

11 5

C. 5

D. 4

12、若存在两个正实数 x, y ,使得等式 3 x ? a ? 2 y ? 4ex ?? lny ? lnx ? ? 0 成立,其中 e 为自然 对数的底数,则实数 a 的取值范围是( A. )

? ??, 0 ?

B. ? 0,

? ?

3? 2e ? ?

C. ? , ?? ? ? 2e ?

?3

?

D.

? ??, 0 ? ? ? ?

3 ? , ?? ? ? 2e ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、将二进制 101101? 2? 化为十进制数,结果为 .

14、在五个数字 1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字至少有一个是偶数的概 率为__________. 15、已知椭圆 C 的左右焦点为 F1 , F2 , P 是 C 上的一点,若 PF1 ? PF2 ,且

?PF2 F1 ?

?
3

,则

C 的离心率为



16、已知奇函数 f ? x ? 的图像在 R 上是连续的,满足 f ? 2 ? ? 函数 f ? ? x ? ? x ,则不等式 f ? x ? ?
2

5 ,且 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的导 3

x3 ? 3 的解集为__________. 3

三、解答题(共 70 分) 17、 ( 10 分)设命题 p : 实数 x 满足 ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足

x ?3 ? 0 .(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; x?2
(2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范 围. 18、 (12 分)某学校为了制定治理学校门口上学、放学期 间家长接送孩子乱停车现象的措施, 对全校学生家长进行了问卷 调查. 根据从其中随机抽取的 50 份调查问卷,得到了如下的列联表:已知在抽取的 50 份调查 问卷中随机抽取一份,抽到不同意限定区域停车问卷的概率为

2 . 5

(1)请将上面的列联表补充完整;(2)是否有 99.5% 的把握认为是否同意限定区域停车与
-3-

家长的性别有关?请说明理由;(Ⅲ)学校计划在同意限定区域停车的家长中,按照性别分 层抽样选取 9 人,在上学、放学期间在学校门口维持秩序.已知在抽取的男性家长中,恰有 3 位日常开车接送孩子. 现从抽取的男性家长中再选取 2 人召开座谈会, 求这两人中至少有一人 日常开车接送孩子的概率. 附临界值表及参考公式:

n ? ad ? bc ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d . K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

19、 (12 分)直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8 x 交于不同的两点 P, Q ,若 PQ 中点的横坐标为
2

2 .(1)求 k 的值;(2)求弦 PQ 的长.
20、 (12 分)已知函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? 4cx( x ? R) 是奇函数,函数 f ( x) 在点 ?1, f ?1? ? 处 3

的切线的斜率为 ? 6 , 且当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值.(1)求 b 的值; (2)求函数 f ( x) 的解析式;(3)求函数 f ( x) 的单调区间. 21、 (12 分)已知动点 M 到定点 F1 ? ?2, 0 ? 和 F2 ? 2, 0 ? 的距离之和为 4 2 . (1)求动点 M 轨迹 C 的方程 ; (2)设 N ? 0, 2 ? , 过点 P ? ?1, ?2 ? 作直线 l , 交椭圆 C 于不同于 N 的 A, B 两点,直线 NA , NB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值. 22、 (12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? x , g ? x ? ? e ? ax ? 1 .
2 x

(1)讨论函数 g ? x ? 的单调性; (2)当 x ? 0 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

附加题共 30 分 1、已知函数 f ? x ? ? log a x ? log 1 8 ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,在集合 ? , ,
a

?1 1 1 ? ,3, 4,5, 6, 7 ? 中任取一 ?4 3 2 ?

个数为 a ,则 f ? 3a ? 1? ? f ? 2a ? ? 0 的概率为( A.



1 4

B.

3 8

C.

1 2

D.

3 4


2、若 a ? 2 x , b ? A.充分不必要条件 C.充要条件

x , c ? log 1 x ,则“ a ? b ? c ”是“ x ? 1 ”的 (
2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2 2

3、已知函数 f ( x) ? ( x ? a ) ? (ln x ? 2a ) ,其中 x ? 0, a ? R ,存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 成立,则实数 a 的值为(  ) A.

4 5

1 5

B.

2 5

C.

1 2

D.1

4、双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?

2 3 x ,一个焦点为 F (0,? 7 ) ,点 A( 2 ,0) ,点 P 为双 3

曲线在第一象限内的点,则当点 P 的位置变化时, ?PAF 周长的最小值为______.

5、 (10 分)已知函数 f ( x) ? e ? a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 .
x

(1)求 f ( x) 的极值;(2)若 f ( x) ? a ? a ,求实数 a 的取值范围.
2

-5-

黄骅中学 2018-2019 年度高中二年级第一学期第二次月考 数学试卷(文科) 附加题答案

1、B

2、B

3、A

4、10

5 解:(1) f ( x) 的定义域为 R ,

f ?( x) ? e x ? a ,
当 a ? 0 时,

f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 R 上单调递增,? f ( x) 无极值…………1 分
当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a ; 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a ,

? f ( x) 在 (??, ln a ) 上 单 调 递 减 , 在 (ln a,??) 上 单 调 递 增 , f ( x) 的 极 小 值 为
f (ln a ) ? ?a ln a …………3 分
(2)当 a ? 0 时, 由(1)知, f ( x) min ? f (ln a ) ? ? a ln a ,

? f ( x) ? a 2 ? a 等价于 ? a ln a ? a 2 ? a ,
即 ln a ? a ? 1 ? 0 , 令 g ( a ) ? ln a ? a ? 1 , 则 g ( a ) 在 (0,??) 上单调递增,又 g (1) ? 0 ,

?0 ? a ? 1;
当 a ? 0 时, 则 f [ln( ? a )] ? ( a ? a )
2

? [?a ln(?a ) ? 2a ] ? (a 2 ? a ) ? ?a[ln(?a ) ? a ? 1] ,
令 h( x) ? ln x ? x ? 1 , 则 h ?( x) ?

1 1? x ?1 ? , x x

令 h ?( x) ? 0 ,则 0 ? x ? 1 ; 令 h ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 ,

-6-

? h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,??) 上单调递减,
? h( x) min ? h(1) ? 0 ,

? h( x) ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ? ln(?a ) ? a ? 1 ? 0 , ? ?a[ln(?a ) ? a ? 1] ? 0 ,
即 f [ln(? a )] ? a ? a ,不合题意,
2

综上,实数 a 的取值范围是 (0,1) .………………10 分

黄骅中学 2018-2019 年度高中二年级第一学期第二次月考 参考答案 1、C 2、D. 3、B 4、B 5、B 13、45 14、 15、 3 ? 1 6、A 7、D 8、C. 9、C 10. D 11、A 12、D

16. ? ??, 2 ?

17(1)若 a ? 1 解得 2 ? x ? 3 ,若 p ? q 为真,则 p, q 同时为真, 即{

2? x?3 ,解得 2 ? x ? 3 ,∴实数 x 的取值范围 ? 2,3? …………5 分 1? x ? 3

(2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 q 是 p 的充分不必要条件, ∴{

3a ? 3 a ?1 ,即 { ,解得 1 ? a ? 2 …………10 分 a?2 a?2

18 解:(Ⅰ)列联表补充如下:

………………………………… …3 分

50 ? ? 20 ?15 ? 5 ?10 ? (Ⅱ)因为 k ? ? 8.333 ? 7.879 ,所以我们有 99.5% 的把握认为是否 25 ? 25 ? 30 ? 20
2

同意限定区域停车与家长的性别有
-7-

关.…………………………………………………………………………………5 分 (Ⅲ)男性家长人数 ?

20 10 ? 9 ? 6 ,女性家长人数 ? ? 9 ? 3 ,所以,按照性别分层抽样, 30 30

需从男性家长中选取 6 人,女性家长中选取 3 人.……………………………………………………………………7 分 记 6 位男性家长中不开车的为 A1 , A2 , A3 ,开车的为 B1 , B2 , B3 . 则从 6 人中抽取 2 人,有 ? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? , ? A2 , A3 ? ,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , B3 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B2 , B3 ? ,共有 15 种,……9 分
其中至少有一人日常开车接送孩子的有 ? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? ,

? A2 , B3 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , B3 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B2 , B3 ? ,共 12
种.……………………11 分 则这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率为

12 4 ? .………………………………………12 分 15 5
2 ? ? y1 ? 8 x1 , (1) 19、(1) y ? 8 x ,设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x 2 , y 2 ) ,中点为 ( x 0 , y 0 ) ,则有 ? 2 ? ? y 2 ? 8 x 2 .(2) 在 y ? kx ? 2 中, x 0 ? 2 时, y 0 ? 2k ? 2 ,? 若PQ中点的纵坐标是 y 0 ? 2k ? 2 . 2

由 k PQ ? y 0 ? 4 得: k ( 2k ? 2) ? 4 ,即 k 2 ? k ? 2 ? 0 . 解之得: k ? 2 或 k ? ?1 .由 ?

? y ? kx ? 2, ? y ? 8 x.
2

得: k x ? 4( k ? 2) x ? 4 ? 0 .
2 2

因为直线与抛物线交于不同的两点,? ?

2 ? ?k ? 0, 2 2 ? ?? ? 16(k ? 2) ? 16k ? 0.

解之得: k > ? 1 且 k ? 0 .? k ? 2 .…………6 分

(2)由 ?

? y ? 2 x ? 2,
2 ? y ? 8 x.

得: 4 x 2 ? 16 x ? 4 ? 0 . 即 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 .

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 4, x1 x 2 ? 1 .
-8-

? | PQ |? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5(16 ? 4) ? 2 15 …………12 分

?

?

20、 (I)由函数 f ( x) 是奇函数,∴ f ( ? x) ? ? f ( x) ,? b ? 0 .…………3 分(II)由 f ( x) ?

a 3 x +4cx, 3 有 f ?( x) ? ax2+4c 且 f ?(1) ? ?6, f ?( 2) ? 0 .
∴?

? a ? 4c ? ?6, ? a ? 2, 2 解得 ? 故 f ( x) ? x 3 ? 8 x .…………7分 3 ?4a ? 4c ? 0, ?c ? ?2.
2 3 x -8x,∴ f ?( x) ? 2x2-8=2(x+2) (x-2). 3
令 f ?( x) <0得-2<x<2.

﹙Ⅲ﹚? f(x)=

令 f ?( x) >0得x<-2或x>2 ,

∴函数 f ( x) 的单调增区间为( ? ?,?2] ,[2,+ ? ) ;单调减区间为[-2,2]. (或增区间为 ( ??, 2) , (2,+ ? ) ;减区间为(-2,2) )…………12 分

21、 (Ⅰ)由椭圆定义,可知点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,以 4 2 为长轴长的椭圆. 由 c ? 2, a ? 2 2 ,得 b ? 2 .故曲线 C 的方程为 分 (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? 2 ? k ? x ? 1? ,

x2 y 2 ? ? 1 .…………5 分 8 4

x2 y 2 ? ?1 由{ 8 ,得 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k ? k ? 2 ? x ? 2k 2 ? 8k ? 0 .…………7 分 4 y ? 2 ? k ? x ? 1?
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? ? 从而

4k ? k ? 2 ? 1 ? 2k 2

, x1 x2 ?

2k 2 ? 8k . 1 ? 2k 2

k1 ? k2 ?
…11 分

4k ? k ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? 2 2kx1 x2 ? ? k ? 4 ?? x1 ? x2 ? ? ? ? 2k ? ? k ? 4 ? ? 4 .……… x1 x2 x1 x2 2k 2 ? 8k

-9-

当直线 l 的斜率不存在时,得 A ? ?1, 得 k1 ? k2 ? 4 .

? ? ?

14 ? ? 14 ? , B ? 1, ? ? ? ?, ? 2 ? 2 ? ? ? ?

综上,恒有 k1 ? k2 ? 4 .…………12 分 22、 (Ⅰ) g ? ? x ? ? e ? a .
x

(1)当 (2)当 当

时, 时,当 时,

在 时,

单调递增. 单调递减;

单调递增.…………4 分

(Ⅱ)当 x ? 0 时, x 2 ? x ? e x ? ax ? 1 ,即 a ?

ex 1 ? x ? ?1. x x

e x ? x ? 1? ? x 2 ? 1 ex 1 ? (x ? 0) 令 h ? x? ? , h ? x? ? . ? x ? ?1 x x x2
令 F ? x? ? e 当 当 又 当 ,
x

(x ? 0) , F ? ? x ? ? x ? ex ? 2? . ? x ? 1? ? x 2 ? 1
时, 时, , , ,所以当 单调递减; 单调递增. 时, 即 单调递减, 单调递增. .

时, F ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x ? 1 ? 0 ,即

?

?

所以 h ? x ?min ? h ?1? ? e ? 1 ,所以 a ? ? ??, e ? 1? …………12 分

- 10 -


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