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高等数学(2017高教五版)课件不定积分习题课(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件不定积分习题课(工科类)_图文

第五讲 不定积分习题课

不定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习

不定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习

导数的逆运算 概 念

注意任意常数
有理函数 互逆性质 三角函数 性 质 线性性质 无理函数

公 式

24个

初等函数 积分

方 法

直接积分法 换元积分法 分部积分法

概 念

公 式

初等函数 积分

性 质

方 法

不定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习

不定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

?思路
不好积 凑

? g ( x )dx

? f ? ? ( x ) ? ? ?(x )d x ? ? f ? ? ( x ) ? d ? (x ) ? g ( x )dx ? F ? ? ( x ) ? ? C

第一换元法

令u ? ? ( x)

好积

? f (u )du
F (u ) ? C

u ? ? ( x ) 回代

?关键 拆项

凑积分因子

1.拆项积分法 ?例1 求下列各函数的不定积分 (1) (2)
3 x ? 1 ? 3 x dx
33 2 x 1 ? x dx ?

(3) ? 3

x5
3

1? x 1 dx (4) ? x 1? e ex (5) ? x dx ?x e ? 2 ? 2e x4 ? 1 (6) ? 6 dx x ?1

dx

2. 凑各种因子 ?例2 求下列各函数的不定积分
dx x 1 ? x4 dx 1 ? 1 ? 凑 ? 2 3 dx ? d? 2 ? x ?x ?

(1)
(2) (3) (4) (5)

?

?

x 1? x dx ? cos 4 x



1 2 x

dx ? d x

2 凑 s e c x d x ? d tan x

sin 2 xdx ? 1 ? sin 4 x sin 2 xdx

凑 sin 2 x d x ? d ?sin 2 x ? 凑 ? sin 2 x d x ? d ?cos 2 x ? (2) 求 ? e
5 ? sin 2 2 x

4 ? cos 4 x arctan x d x ?补1 (1) 求 ? x (1 ? x )

?

sin 4 x d x

(6) (7) (8) (9) (10)

cos 2 xd x ? 1 ? sin x cos x tan xdx ? ln cos x ln tan xd x ? cos x sin x x?1 ? x (1 ? xe x ) d x 1 ? ln x ? 2 ? ( x ln x ) 2 d x 1 ? ln x ? ( x ? ln x ) 2 d x
ln( x ? 1 ? x 2 ) 1? x
2

1 d(sin x cos x ) ? ? d( cos 2 x ) 凑 2

凑 ? tan x d x ? d( ln cos x ) 凑
1 d x ? d ?ln tan x ? cos x sin x

凑 (1 ? x ) e x d x ? d ? xe x ?
凑 (1 ? ln x )d x ? d ? x ln x ? 凑
dx 凑

(11)

1 ? ln x ? ln x ? d x ? d ? ? 2 x ? x ? 1 1? x
2

(12) ?

d x ? d ln( x ? 1 ? x 2 )

?

?

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

?思路
不好积 凑

(tx)d )dtx ? g好积

(t)d )dxt ? ? f ?? ? ( tx))? d d? ? (x ??( x(t))?????(?x t) x)du x f (u ? ?f f? ? ? 令 x ? ? (t )

第一换元法

令u ? ? ( x)

好积

第二换元法

不好积

G (t ) ? C

t ? ? ? 1 ( x )回代

?1 G ? ?? C g ( x ?? ( x? ) ?f?( x C)d x ? ? )d(xx )?? F

u ? ? ( x ) 回代

F (u ) ? C

?常用代换 三角代换 无理代换 倒代换

?例3 求下列各函数的不定积分
(1)

?
?
?

1? x dx x ?1 ? 1? x

(2)
(3)

x arcsin x 1? x
e arctan x (1 ? x )
2
3 2

2

dx

dx

?补2 (1) 求 ? x arctan x dx 2
1? x

(2) 求

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

?公式
?关键

? u d v ? uv ? ? v d u
u , v 的选择

?经验顺序 按照“反、对、幂、指、三”的顺序, 前者选为u,后者选为v' ?注 分部积分法可以多次使用 分部积分法多次使用后,可产生循环式

利用循环式,可以得到递推公式

?例4 求下列各函数的不定积分
(1) (2)
(1 ? x ) ln x ? 1 ? (ln x ) 2 d x xearctan x dx ? 2 ?1 ? x2 ?
2

?

x ln x
3 2

dx

(2) (4)

sin x e sin 2 x d x ?

?

xe x e ?2
x

dx

(5)

(6)
2

? sin(ln x )d x
?

?例5 设 f ( x ) 的原函数是 e ? x , 求 ? x f ?( x )d x .
? ?

sin x ? ?例6 (1) 求 ? f ? ( x ) f ??( x )d x (2) 求? x ? ? ? dx x

?例7 建立递推公式 (1)
I n ? ? tan x d x
n

(2) I n ?

1 ? sin n x dx

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

?几种特殊类型函数的积分
有理函数
分解 万能代换 根式代换

三角函数有理式
三角代换

多项式及部分分式之和

简单无理函数

?注
注意根据题目特点灵活使用各种方法

?例8 求下列各函数的不定积分 (1) (3) (5)

? ?

x9 ? 8 dx 10 x ? 8x x2 ? 1 dx 4 x ?1

(2) (4)

?

?

x2 ? 1 dx 4 x ?1 1 dx 4 x ?1

1 ? sin 4 x ? cos 4 x dx (6)

sin x ? sin x ? cos x dx

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

二、题型练习
(一)第一换元法 (二)第二换元法

(三)分部积分法
(四)有理函数的积分

(五)杂题

1.抽象函数的不定积分 ?例9 设 f ( x )的一个原函数为
sin x , 求? x f ?( 2 x )d x . x ? ?例10 设 f ?(sin 2 x ) ? cos 2 x ? tan 2 x , 0 ? x ? , 求 f ( x ). 2
x

?例11 设? f ? ( x )d x ? x ( e

? 1 ) ? C , 求 f ( x ).

2.分段函数的不定积分
?例12 求 ? max( 1, x )d x


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