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2019年人教A版选修2-1高中数学同步习题第三章空间向量与立体几何 3.1.2及答案

2019年人教A版选修2-1高中数学同步习题第三章空间向量与立体几何 3.1.2及答案

3.1.2 空间向量的数乘运算 课时目标 1. 掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线 (平行)向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法 .2.能理解共 线向量定理和共面向量定理及其推论,并能运用它们证明空间向量 的共线和共面的问题. 1.空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘:实数 λ 与空间向量 a 的乘积仍然是一个向量,记 作________,称为向量的数乘运算.当 λ>0 时,λa 与向量 a 方向 ________;当 λ<0 时,λa 与向量 a 方向________;λa 的长度是 a 的长度的________倍. (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律. 分配律:______________;结合律:______________. 2.共线向量 (1) 共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ________或________,则这些向量叫做共线向量或平行向量. (2) 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a 、 b(b≠0) , a ∥ b 的 充 要 条 件 是 ________________. (3) 方向向量: 如图 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使 ____________,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 3.共面向量 (1)共面向量:平行于________________的向量,叫做共面向量. (2)如果两个向量 a、b 不共线,那么向量 p 与向量 a、b 共面的充 要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使__________.空间内一 点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x, y),使 ______________. 对空间任意一点 O,点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数 对(x,y),使________________. 一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a,b,c 共面,即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb 2. 满足下列条件, 能说明空间不重合的 A、 B、 C 三点共线的是( →+→ A.AB BC=→ AC →=→ C.AB BC →=→ B.→ AB-BC AC D.|→ AB|=|→ BC| ) 3.如图,空间四边形 OABC 中,M、N 分别是 OA、BC 的中点,点 G → + y OB + z → 在 线 段 MN 上 , 且 MG=2GN , 则 OG =x OA OC , 则 ( ) 1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 6 6 3 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3 4.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是( A. OM =2→ OA- OB -→ OC 1 1 1 B. OM = → OA+ OB + → OC 5 3 2 C. MA +→ MB+→ MC=0 D. OM +→ OA+ OB +→ OC=0 → → 5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A ,D 1C,A1C1是( A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 6.下列命题中是真命题的是( ) ) ) A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,则 这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 →,CD →,满足|AB →|>|→ →与→ C.若向量AB CD|,且AB CD同向,则→ AB>→ CD →满足AB →+→ → D.若两个非零向量→ AB与CD CD=0,则→ AB∥CD 二、填空题 7.在空间四边形 ABCD 中,连结 AC、BD,若△BCD 是正三角形,且 E 1→ 3→ → 为其中心,则→ AB+ BC - DE-AD的化简结果为________. 2 2 →=a,OB =b,OC →=c,D 为 BC 的中点, 8.在正四面体 O-ABC 中,OA →=______________(用 a,b,c 表示). E 为 AD 的中点,则OE 9.已知 P 和不共线三点 A,B,C,四点共面且对于空间任意一点 O,都 →+ OB +λ→ 有 OP =2→ OA=2OA OC,则 λ=________. 三、解答题 10.已知 ABCD—A′B′C′D′是平行六面体. 1 → →+2→ (1)化简 AA ′+BC AB; 2 3 (2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BC C′ B′对角线 B C′上 3 → 的 分点,设 MN =α→ AB+β→ AD+γAA ′,试求 α,β,γ 的值. 4 11.设 A,B,C 及 A1,B1,C1 分别是异面直线 l1,l2 上的三点,而 M, N,P,Q 分别是线段 AA1,BA1,BB1,CC1 的中点.求证:M,N,P,Q 四点共面. 能力提升 12.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点,若 A1B1 =a,A A 1D1=b, 1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是 ( ) 1 1 1 1 A.- a+ b+c B. a+ b+c 2 2 2 2 1 1 1 1 C. a- b+cD.- a- b+c 2 2 2 2 13.如图所示, 已知点 O 是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 对交线的交点, →+ → →1+PB →1+PC →1+ 点 P 是空间任意一点.试探求 PA +PB PC+→ PD+PA →1与→ PD PO的关系. 1.向量共线的充要

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