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2012年扬州市暑期培训高中数学:关于高中数学教学状况的反思与建议(高邮中学特级教师黄桂君)

2012年扬州市暑期培训高中数学:关于高中数学教学状况的反思与建议(高邮中学特级教师黄桂君)


关于高中数学教学现状的反思与建议

江苏省高邮中学

黄桂君

2012.8

结合我个人在教学第一线的切身体会和感受, 结合我们扬州地区的教学现状,谈谈这个话 题的背景,实际中的困惑:为什么我们扬州 高一高二(高三不谈)学期末只要说统考就 有人向省厅举报而流产?而别的大市却能正 常举行?为什么高考数学试题容易一点还好, 只要难一些时,我们的学生就不行了,成绩 与别的大市的差距就明显拉大了?这真是我 们的一个诟病,原因有很多,有的已经不仅 仅是数学教育教学方面的问题了,颇令人深 思.

我主要对如何进行高中数学教学、高 考复习教学、我践行的教学观、目前 教师心里活动(职业操守)等浅显的 思考向大家做一个简单的汇报.并愿 借此机会同各位同仁交流、讨论与学 习.

一、目前高中数学教学环节中若干 问题的新思考
1.关于集体备课的问题 集体备课是促进教师互助合作和专业发 展的有效形式,集体备课相对于个人备 课有许多优势. 另一方面,集体备课是以教师的主观参 与为前提的,具有较强的自主性、开放 性,不易控制.

普遍存在的问题是:(1)隐形竞争 (2)拿来主义 (3)心态各异 (4)例行公事

建议: 目前有效的方式是——案例比较研究

克服困难多相互听课,如“同课异构”; 评议某老师的一节课;讨论某老师编写的 一份教学案;研究一份试卷;学习制作一 个课件;讨论一两个学科难题(典型问题、 考题)、学生易错或难以理解和接受的问 题;弄几道优秀的试题、考题大家做做、 讨论、欣赏、谈谈感受等. (至于集体备课记录可简单的记个流程, 不必要详细记载)

2.数学课一定要预习吗?
曾听过一节高一数学公开课《任意角的三角函 数》,老师通过初中在直角三角形中定义锐角三 角函数,来启发引导学生如何来定义任意角的三 角函数.给了很多时间要学生思考,提出了为什 么要放在直角坐标系中定义?你是怎么想到的? 等问题.事实上如果学生预习了,他们就已经知 道了怎么定义,而老师所谓的启发、引导等等可 以说有不少是在作秀或浪费时间.并且在课后评 课时美其名曰:让学生自己去想,让学生自己得 到,等等大道理往上套.没有教材、没有预习学 生能回答出来才是真本事.

建议:概念性强且概念较多的课、实际应 用问题的课、习题讲评课(高三多)等可 以要求学生提前预习一下;而有“发现规 律”内容的课(典型的如“推理与证明”) 就不应要求学生预习,笔者一般不提倡预 习,甚至反对数学新授课要求学生预 习.因为这些知识预习后就失去了探究的 意义,不利于学生探究能力和问题意识的 培养,有什么比自己是一个发现者更快乐 呢?

数学要不要预习,笔者认为没有必要讨论得 出一个结论,我不主张有时甚至反对预习, 但也没有否认预习一点没有用.重要的是教 师的功夫要花在学生没有预习或学生已经预 习的内容如何进行课堂教学设计上.学生 “看得懂”,教师就“倾听”;学生“道不 明”,教师就“点拨”;学生“看不到”, 教师就“补充”.

3.有教材,还需要每节课都编写教学案 或导学案吗?
现状是有的导学案就是将教师用书中的教学目的、 教学要求等摘录一点,将教科书中的例题抄一遍, 将书中练习题、复习题拿来一些.即概念、定理、 公式等的罗列,加上基础小题几条,大例题几道, 巩固几条,作业几条等.有的编写还能统一格式, 注意留有空白或搞一些设问等给学生思考探究 (如有些公开课或参与评比的学案等),平时有 的编写则“随心所欲,粗制滥造”,甚至有的简 单到就是几条题目,质量可见一斑.

我感觉上课有没有导学案无所谓,有学案也 没有起到什么作用(所以较少使用,可能我 觉得中意的少,当然我也没有水平、能力、 精力每堂课都能编写出一份像样的导学 案).倒是有不少老师,年轻的、教龄比较 长的就等着教学案备课上课,有时没有及时 跟上就不知怎么上了,值得深思.事实上教 学案的使用培养了一批不书写教案仅仅把教 学案上的问题找到答案就上课的懒人.

建议:不要不使用,不同层次的学校、不同 类型的班级遇到有些“难教”的教学内容时 (比如高一区间上二次函数的值域最值问题 等),可通过导学案帮助学生理解学习;也 不必每节课都使用,为了用而用.如果要使 用的话,教学案、导学案的编写一定要依据 国家的《课程标准》和江苏省的《教学要 求》. 实际情况是有许多老师根本不看、不研究学 习,特别是后者的《教学要求》甚至不知 道.许多不作要求或降低要求的习题也出现 在了学案上 .

导学案重在引导,是对教材的一次“再创 造”,即如何将课本上知识的学术形态转化 为教育形态,这是不容易的,难不成你比教 材编写者还能有更多更好的呈现方式? 使用导学案,要注意收集、整理,不断修 改、丰富和完善.同时教师还要有自己个 性化的教案(不仅要有电子稿,更要有手 书的文本).从教多年的教师至少要能拿 出一套像样的教案.

4.多想听常态的数学公开课 现在大多数公开课尤其是面向范围比较广的公 开课几乎是集体打造的,反映的是集体磨课的 水平,并非是上课老师个人的业务水平,以及 课堂教学设计等方面的能力.中学数学期刊上 有关数学优秀课、示范课、研究课等的介绍(课 堂实录),一节课少则3页,多则4-5页,繁琐零 碎、大话套话(“理论解读”),“正确的废 话”说得让人没有耐心看完.还有一个原因就 是不太可操作,说的是一套,做却是另一回 事. 当然,这样优秀的理想化的课需要听一些,看 一些!不过更需要常态课.

打个不恰当的比喻,如果将每天的上课比喻为做菜, 则这个专家谈如何精心选配,那个专家谈如何精准 调料,又一个专家谈如何用心烹饪,甚至如何装盘, 使做出来的菜美观有品位,精致可口,或兼而谈之 等等.事实上,认真准备一两天还是能做得到的, 但要每天、每顿都要计划着这样去做,好处是肯定 的(不能说专家们讲的不对没有道理),却难以持 久(我们只要了解还可以这样那样精细地去做就行 了),因为我们面临的是每一天都要准备,有时候 甚至还缺少“作料” .我们不可能也不需要每天每 顿都能做到“色香味俱全”,我们要的是营养够量、 清口味还好的家常饭菜.上课也一样要简单不要复 杂.课要简洁,而不要让人觉得难受.

建议:数学教研组、备课组内部的公开课要 常态化,不要搞花架子,不要精心打磨(有 时为了实验研究等是可以的),尽可能每次 活动能同时听两位同事同一个课题不同设计 的课即“同课异构”的课,这需要大家投入 一定的时间.恰当使用多媒体、教辅工具, 不要不用,也不要全依赖于课件,板书一个 字都没有.基础数学教学应追求返璞归真的 理念,应当直观化和精简化.

5.学生的自主探究要注意内容和一个度 “自主、合作、探究”的学习方式是新课程倡 导的重要理念之一,构建“自主、合作、探 究”学习课堂成了许多教师的追求. 误区:讲自主却无目标;谈合作却重形式; 说探究却摆样子. 引导学生自主探究、讨论问题要注意其内容和 一个度,就是学生有这种能力吗?因为不是什 么问题都可以拿来给学生探索、研究和讨论的, 有些问题不是每一个学生都能尝试探究的(如 必修3中的算法、统计等许多问题,还有选修 中的简易逻辑等).

自主探究学习如同登山,要上山,无非是三种 选择,一种选择世上并无路,走的人多了,便 有了上山的路,这就是爬山,这就是登山,开 始可能感到很困难,但他有过程性的享受,有 过程性的体验,感到很快乐,目不暇接,看到 无限风光在险峰,那是一种真正的享受.第二 种登山是工业化以后,用水泥石块把它铺好了, 那么随大流,还有登山的过程,但没有个性化 的体验.第三种更简单,那就是坐缆车,上索 道,呼啦一下就上去了,过程省掉,于是他不 会上山,不会思想,没有个性.

建议:由于新课程较之旧教材,在如何将课 本上知识的学术形态转化为教育形态,做了 很大的改进.多数知识在没有要求学生预习 的前提下,可适当的引导学生自主学习、合 作探究,这是课程标准的要求;而有的内容 则可作为间接经验直接告知学生就行了. 给学生一个空间,让他们自己往前走;给学 生一个时间,让他们自己去安排;给学生一 个问题,让他们自己去找答案.

6.数学到底需要不需要上那么多的课? 根据全日制普通高级中学课程计划(表述 不够清楚,不简洁),每周按5天安排教 学,课程设计表中数学必修和选修总计 280+(52~104)课时数,即332~384, 取其上限384,再除以三年35+35+26=96 正好等于4节.我的理解是它规定数学每 周无论哪个年级不超过4节.

现实情况是多少呢?与课程计划对照几乎 已面目全非:高一每周5-6节;高二小高 考前每周6-7节,小高考后(进入高三课 表)每周9-10节(其中含有的学校间接安 排的有意给数学的一节自习课等). 课多了,是不是进度跟着要快?在大家一再 呼吁下,尽管这两年的教学进度做了一些调 整,实践说明进度还是比较紧的,不知大家 是如何赶进度完成任务的.高三上学期文理 复习一轮结束,下学期进行所谓的二轮复习 及模拟训练.如此循环往复!

建议:把我们的课堂(进度)慢下来; 把我们的要求(难度)降下来; 把我们的质量(效率)提上来.

7.如何科学、有效的组织、布置作业(练习)
长期以来,教学都很重视课堂教学设计,而 数学课外作业的布置与处理往往不受重视, 甚至被“轻描淡写”,马虎了事,走走形 式.不要说平时的课堂,就是有的公开课到 结束时也常常只有小结,而忽视作业的布置 (当然,作业是有的). 为什么不在作业的布置环节上也同其它环节 一样动一番脑筋呢?

建议:要控制作业的数量、作业的难度.布置 的每一条练习,尽可能都事先做一遍(来不及 起码要预览一下,做到心中大致有数),将不 适当的习题(重复的、偏难的、后继简便的等) 毫不犹豫的去掉,布置作业不能呆板,要灵活 的出现如去掉××条、或将某一题改为…、或 将课堂上讲的某一问题再增加一小问,内容允 许的话每天给个小思考题等等. 选好题目是教师功德无量的事,也可以说是成 功的一半.

作业要要求学生思考着解,注意速度和正确 率.通过启发学生勤学多思,训练学生数学 思维,培养学生数学素养.努力使学生:由 会解、会做,到会说、会讲,再到会改、会 编. 作业反馈要及时,订正等最好放在第二天上 课开始的时候——我不知道还有什么比这更 好的安排!不要随意占用学生的课余时间 .

8.检查考评(教学评价)等应去繁琐化 《基础教育课程改革纲要(试行)》中指出: “要改革课程评价过分强调甄别与选拔的功 能,发挥评价促进学生发展、教师提高和改 进教学实践的功能”.随着教学改革的不断 发展,进行评价的标准也在不断发生变 化.从主要关注老师怎么讲渐渐转变为关注 老师怎么引导学生学;从主要评价老师讲得 怎么样到主要看学生学得怎么样,是否得到 了全面发展.

建议:从实际出发、从简单易操作层面考 虑,教学评价可以简单的从下列角度进行 综合考察:师德(出勤、迟到早退情况, 是否有偿家教等);调研测试(考试)的 成绩;上公开课的节数与效果、听课的节 数;学生及家长的满意度(问卷调查); 承担导学案、练习卷等编写的份数及其质 量;看看他的教案(手写)的质量;最后 再看有无参与课题研究及公开发表文章 等.

二、高一、高二、高三数学教学特点略谈
1.高一数学教学 一个需要注意但常被忽视的问题——初高中衔 接问题:初中教材知识点的变化对高中数学教 学的影响. (1)初中降低了多项式计算、乘法公式和因 式分解(十字相乘、分组分解不作要求).

因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1” 的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且 对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求, 但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、 不等式等.
如解不等式 2x 2 ? 5x ? 7>0,不能够很快观察得出 ?b ? b ? 4ac ? 2x ? 7 ?? x ? 1? >0,而通过求根公式 2a 7 得出左边二次三项式的两个根 ? 和1,常常又有不少 2 学生不是算错根,就是搞错最后解中不等号方向等.
2

立方和与差公式a3 ? b3 = ? a ? b ? ? a 2 ? ab ? b2 ? 初中 已经删去不讲,而高一在用函数的单调性定义 证明函数f ? x ? ? x3的单调性作差变形时等还要用.

注:初中数学课程标准又已重新修订出版, 今年暑期在大规模集中培训,但现高中还是 受旧课标影响的.

(2)初中削弱了二次函数的值域、最值问 题.初中教材对二次函数要求较低,学生处 于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终 的重要内容(工具函数).配方、作简图、 求值域、求区间上最大最小值、解二次不等 式、判断单调区间、研究变量取值范围等等 是高中数学基本题型与常见问题.
另外,像配方法、换元法、待定系数法等初 中教学大大弱化,不利于高中知识的学习.

教学中可通过下列问题提高学生对“二次函 数”及其图像、性质的认识:
求函数y ? f ? x ? ? ? x 2 ? 2x ? 3在下列定义域内的值域 与最值(有的话):①x ? R;②x ? ??3, 2, 1, ?; ? ? 0,1,2 ③x ? ?1,2?;④ ? ?2, ? ?;⑤x ? ? ?2,0(或x ? ? ?2,0?); ? ? ⑥x ? ? ??, 2? ? ? 2, ? ?;⑦x ? ? ?3,a(或x ? ? a,0?); ? ? ? ⑧x ? ? a,a ? 1? .以及求函数f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? 3, x ? ? ?2,2? 的值域与最值.

目前正在进行或一轮已经结束的准高一新生的暑 期数学补课.建议最好是补上述这些内容.

(3)初中删除根式的运算(二次根式中对分 子、分母有理化不作要求)、无理方程、可化 为一元二次方程的分式方程和二元二次方程组, 三元一次方程组.
高中无理方程、分式方程、三元一次方程组虽不常用, 1 ? ? 但遇到求数列 ? ?的前n项和时,不知道分母 ? n ?1 ? n ? 1 有理化 ? n ? 1 ? n,后“裂项相消”求和: n ?1 ? n

?

2? 1 ?

? ?

3 ? 2 ???

?

?

n ? 1 ? n ;或记

?

an ? n ? 1 ? n,不知道数列?an ? 是单调递减数列.

? 4 3 ? 又如,求过点M ? ? ,1? N 和 ? 4, ?3? ? 的双曲线的标准 ? ? 3 ? ? 方程(苏教版《选修 2-1》的一道练习题). 教学实际情况是:学生不仅做得慢,而且错误率高,主 ? 16 1 ? 3a 2 ? b 2 ? 1 ? 要原因是学生解方程组 ? 感到很吃力.如果引 ?16 ? 9 ? 1 ? a 2 b2 ? 导学生设所求的方程为mx 2 ? ny 2 ? 1? mn ? 0 ?,不出现分 式及关于a 2 ? b 2 ?的特殊一元二次方程时,情况就好多了.

(看看近3年高考解几解答题,都需要通过解方 程组求出直线与椭圆的交点坐标等)

(4)初中删除了一元二次方程根与系数的关 系(韦达定理).二次函数、二次不等式与二 次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理) 在初中不作要求,此类问题仅限于简单常规的 运算,而在高中它们间的相互转化互助的关系 却是很重要的. 含有参数的函数、方程、不等式,初中更是 不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容 却成为了重难点.常成为高考综合题.

(5)初中删除了余切函数;圆中的比例线 段(相交弦定理、切割线定理);弦切角的 概念;四点共圆;相切两圆的性质;相交两 圆的性质.
降低了三角形的重心、垂心、射影定理等要 求. 高中也不要求余切函数(删除的圆的内容放 在了《选修4-1》几何证明选讲中).在高中 圆的教学中,由于学生对于圆的一些简单性 质如四点共圆等缺乏了解,影响了有些常规 问题的解决.

教学中可结合图形引导学生进行一些圆的简 单几何性质的探究.

另:近几年理科附加题21第1题A平几证明题 较容易,比起选矩阵题B要容易些,前者会 就对,后者运算如求逆矩阵等容易错.(顺 带说一下,今年的不等式题D比极坐标题C也 容易,对于我们扬州选“矩阵”和“坐标系” 似乎有点不公平)

(6)初中删除了平行线分线段成比例定理.
A D E

DE // BC ?

AD AE AD AE ? ? ? DB EC AB AC

B

C

高中在立体几何中证明平行时经常要运用到平 行线截得线段成比例及其逆性质.目前的现状 是直接运用,甚至在高考试题的参考解答中也 是直接运用的,否则的话必须穿插运用三角形 相似的证明,那又显得罗嗦了.当然还有少数 学生甚至都不清楚,建议教学中最好作个简单 的介绍(说明、证明).

关于概率、统计;简单几何体的展开与折叠, 投影、盲区、位似 ;图像的对称、平移变 换等非重点突出的内容就不再敷述了.

即使有的学生进入高一数学学习之前进行了 有关内容的补课,如上述有关二次函数的值 域、最值问题的“补充”等,只要不是全校 补授,那么我们就不能丢下暑期没有补课的 同学.在座的有各学校的数学领头人,可考 虑如何处理!不少学校搞了个“初高中衔接 内容小册子”,让学生暑期看看这很好,但 多数内容偏多、偏难;不管有没有弄,在以 后的正常的教学过程中遇到相关问题(如讲 集合的运算时涉及了一元二次不等式的解 等),备课时要做到心中有数,应该根据学 生的实际及时、灵活、适当的做点“补 充” .

高一教学一定要低起点、缓坡度、小步走、 勤反馈、及时补和滚动递进.课堂教学要循 序渐进,进度慢一点,以夯实基础为主.不 要新授知识(概念、公式、定理等)很快讲 完,然后就接着一条接一条的讲题目,比如 引入1、2、3、4,例题1、2、3、4,巩固1、 2、3、4,作业1、2、3、4等等.

少讲难题,如:
1. 判断函数f ? x ? ? 1 ? x2 ? x ?1 1 ? x2 ? x ? 1
2

的奇偶性.

3? ? 2.函数f ? x ? ? ?2 ? cos x ? ? ? 1, x ? ? ?? , ? ?的 2? ? 单调递减区间是 .

?? ? 3.函数f ? x ? ? sin x ? 2 cos x ? 0 ? x ? ?的 4? ? 最大值是 .? 学导数前 ?

b 不要二次函数玩腻了,就来弄函数 y ? ax+ x ? a>0,b>0 ?

人为“拔苗助长”.要少拿高考综合题讲(事实 上经常在平时的学案上、练习上、考试卷上等看 到).要多设计一些问题让学生思考(教学功夫 所在),让他们自己找答案.防止高一不久数学 就出现两极分化,如期中考试考个80分或3位数 不到或100分多一点,学生自己、特别是家长与 初中相比分数差距太大接受不了,造成一定的负 面影响.总之,我们要讲良心、负责任、增本 领.

2.高二数学教学 高二文科、理科小高考后课时一下子增加了 近一倍,每周几乎达10节,这时摆在我们面 前的问题是该如何安排?有没有一个总的思 路?每天的两节课怎么上?建议把进度慢下 来.首先把小高考前一段时间甚至是这学期 以来的教学内容再花一周时间复习巩固一下, 因为学生忙于应对小高考根本没有好好学, 有些学校还停了10天到三周不等的课.

有一种倾向要不得:小高考结束了,下面就全 面进入高三状态,开始蛮干了!教学内容的进 度、难度,作业练习的数量全面上升.注意不 能把高二的课当高三来上!(何况还在新授课 阶段,高一也有这种现象),现在就把弦就绷 紧了,怎么能经受得住今后那么长的战线?要 多思考如何教的有效,让学生学得实在(不要 搞形式主义的花架子).

高二还有一个特别的情况是,因为“比较 难讲”、“非重点”的内容多:如必修3中 的“算法”、“统计”、“概率”;选修 内容中的“常用逻辑用语”、“统计案例 (已不要)”、“推理证明”、“复数”、 “离散型随机变量的概率(分布、期望 等)”;以及系列4中的“矩阵与变换”、 “极坐标与参数方程” 等(应该是高三才 讲的,有的学校有的内容提前放到了高 二).

一般老师们遇到这些内容时,是不愿意开 公开课的,说不好上难讲.因为规定的概 念多,所以实际情况是大多数老师照本宣 科(象文科老师讲课,这还算不错的), 有的根本不讲(说高考不考),而是让学 生看书,或举一两个高考在这里考查的试 题作为例子要求学生模仿并死记注.作业 几乎没有(但是学案有),教学工作重心 转移到讲那些穿插在这段时间内有题目可 做的练习卷上.

其实,这是不符合教学要求的.今年5月18日 在省厅组织的“牵手农村教育,送教下乡”活 动中,我在滨海中学高一(4)班,为全县高 中数学老师开了一节必修3《统计》一章的起 始课《简单随机抽样》.通过设计与滨海当地 有关的4个情境3个问题,如我现在要从4位同 学中随机地抽取一位同学,送他一支笔,该如 何确定呢?(学生说(抓阄),我提供简单 的实验材料(纸、笔、刀、信封)让他们操 作:编号(写名字也行,现在是数字化时代)、 制签、抽签、取样(给笔)),提个名字,推 广总结一下;

引导学生通过抽签的方法制作随机数表(由4 名学生分两组上讲台动手、合作做,教师提供 做好的签),由随机数表的制作过程帮助学生 理解其合理性等,课堂气氛活跃,学生都动起 来了(不要说没有东西可讲,实际是时间还有 点紧,如随机数表的灵活使用还不够到位), 达到比较好的教学效果.课后还与数学同仁们 就目前高中数学教学中所遇到的问题、困惑等 进行了交流.

3.高三数学教学 高三复习教学一直是个老生常谈的话题, 年年谈、月月说、天天讲. 总的来说: 一是审视现状,自我剖析,自我反思.

二是准确定位,夯实基础,卸繁求简.
三是提炼方法,训练能力,不断总结.

下面就最近几年高考的试题,简要提醒一下 我们在复习教学中需要突出注意的问题.
(1)关于运算的训练:高考成也运算!败也 运算!

?? ?? ? ? 例 函数f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2 cos 2 x 6? 3? ? ? ?? ? . ? 0 ? x ? ?的值域是 3? ? 3 1 1 解析 f ? x ? ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? ? (cos 2 x ? ? 2 2 2 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? )? 2 ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 2 ?? ?? ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1(或 2 cos ? 2 x ? ? ? 1), 因为0 ? x ? , 6? 3? 3 ? ? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? 所以 ? 2 x ? ? ,sin ? 2 x ? ? ? ? ,1? ,故 6 6 6 6 ? ?2 ? ?
f ? x ?的值域为 ? 2,3? .(而非 ? 2, 3? )

?? ?? ? ? 如上述在 sin ? 2 x ? ? 、 ? 2 x ? ? 展开式中, cos 6? 3? ? ? ?? ? 尤其在 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? (或 ? 6? ? ?? ? 2 cos ? 2 x ? ? )中的初相出现错误总是很多 3? ?
(将 、 、 、 0 及其正弦值、余弦值搞混、 30 60 3 6 搞错.
0

?

?

又如:2010年、2011年与2012年连续3年的 圆锥曲线解答题都考查了解方程(组):
2010年江苏18(3)的最基本的方法:设点T的坐标 为 ? 9, m ? , m ? 3(80 ? m 2 ) 40m ? y ? ( x ? 3) 由? 得M ( , ), 12 2 2 80 ? m 80 ? m ?5 x 2 ? 9 y 2 ? 45 ? m ? y ? ( x ? 3) 3(m 2 ? 20) 20m ? 由? 得N ( ,? ). 6 2 2 20 ? m 20 ? m ?5 x 2 ? 9 y 2 ? 45 ?

那么怎么解出来的 ? 如设M 点的坐标为 ? x1 , y1 ? . 方法1:整理成关于x( y )的一元二次方程 9m 2 ? 720 ? x 2 ? 54m 2 x ? 81m 2 ? 144 ? 45 ? 0.此方程有 ? 54m 240 ? 3m 一个根 ? 3, 所以由x1 ? 3 ? ? 2 , 得x1 ? , 2 9m ? 720 m ? 80 从而得y1 .
2 2

问题是这里用到了初中已淡化了的根与系数 的关系韦达定理,所以难度较大.

方法 2:(命题组给的)回避了解复杂的一元二次 方程,转化为解一元一次方程. m ? 2 2 ? y1 ? 12 ( x1 ? 3) ? x1 ? 3?? x1 ? 3? m ? x1 ? 3? ? 由? 2 得 ?? 2? , 2 9 12 5 ? x1 ? y1 ? 1 ?9 5 ? x1 ? 3 m 2 x1 ? 3 240 ? 3m 2 因为x1 ? ?3, 则 ?? 2? , 解得x1 ? , 2 9 12 5 m ? 80 进而得y1 .(不具有通性)

2011 年江苏18 3)的最基本的方法: ( ? ? y ? kx 2 2k ? 由? 2 得P ? , ? .(容易) 2 x ? 2y ? 4 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ? k k ? ? 2 ?y ? 2 x ? 2 2? 2 又由 ? 1 ? 2k 得 2 x ? k ? x ? ? ? 8, 1 ? 2k 2 ? ? ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ? 4k 2 4k 2 2 2 整理得 ? k ? 2 ? x ? x? 2 ? 8 ? 0, 2 2k ? 1 2k ? 1

其中必有一个根为A点的横坐标 解得另一个根为B点的横坐标xB ?
2 1 ? 2k 2

?2 1 ? 2k 2

,
2

k 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1 ?

2 ? 3k ? 2 ?

.

注:答案将

记为? ,简化了运算.要有求简意识!

2012年江苏19 2)的最基本的方法: ( 2k 2 ? 1? x 2 ? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0, 解得 ? 将AF1的方程y ? k ( x ? 1)代入x 2 ? 2 y 2 ? 2整理得 ?2k 2 ? 2 ? k 2 ? 1? x1 ? (不别求出y1);同理, 2 2k ? 1 将AF2的方程y ? k ( x ? 1)代入x 2 ? 2 y 2 ? 2整理得 2k ? 2 ? k ? 1?
2 2

2k 2 ? 1? x 2 ? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0, 解得 ? x2 ? 2k ? 1
2

.

解析几何的精髓是:用代数手段研究几何 问题,因而一定的解题运算量是必不可少的, 是其一个特色(当然还有分析探究及推理论 证等).
加强运算能力的培养,在运算速度和正确 率的训练上下功夫.所谓“成也运算,败也 运算”.不断训练学生的运算能力与良好的 个性心理品质(不要畏难等,甚至可以不惜 花一两节课集中训练),跟运算错误作“殊 死”的斗争,直到高考结束(暂告一个段 落).

(2)关于方法的提炼
如有关函数题,在解题过程中,除了熟知的基 本函数不谈,如果是没有见过的函数,则可根 据已知条件通过函数的性质挖掘勾勒出函数的 大致图像,有时很容易破题,走向成功.请看 近几年高考函数解答题.
如2008年20 2),由已知 ( 可知f ? x ? 大致图象,则 其在区间? a, b ? 上单调增 b?a 区间的长度和为 . 2

如2009年20 3),试直接写出(不需要演出步骤) ( 不等式h ? x ? ? 1的解集.因为h ? x ? ? 1即 x ? a ? ? ?2 x 2 ? 1? x ? a ? , 所以只要转化为已知 ?
2

函数y ? ? x ? a ? ? x ? a ?
2

y

图像(抛物线的右半部分) 在函数y ? ?2 x ? 1图像的上
2

1

方(如图,包括在一些 点处相等),即得解集.
? 2 2

O

2 2

x

如2011年19 2):注意考察两个基本函数(一个是 ( 三次函数f ? x ? ? x ? ax, 一个是二次函数g ? x ? ?
3

x ? bx)的图像及其单调性很容易知道b ? 0(由于
2

a ? 0, 所以奇函数f ? x ?的图像轮廓基本上是定的), 如图.
y

O

a ? ?a ? ? 3

b a

-b

x

a a 很显然a, b间的距离 a ? b ? - , 而由- - ? a 3 3 1 a 1 1 及a ? 0得- ? a ? 0, 所以 - ? , a ? b max ? . 3 3 3 3 思维量大一点,书写量则较小.

如2012年18 3):记t ? f ? x ? ,则函数y ? h ? x ? ? ( f ? t ? ? c,由已知,函数y ? f ? t ? 及t ? f ? x ? 在区间

? ?2,2? 上的图像如图所示:
y


2
. . . -2 .

t

2
. .

t=t0 1 2 x

-2 .



-1 O

1


2

t y=c

-1 O -2. 图2

-2 图1

y


2


t

2


t=t0


-2 .





-1 O -2 图1


1

2

. -2



t y=c

-1 O -2. 图2

1

2

x

函数y ? h ? x ?的零点个数,即为函数y ? f ? f ? x ? ? 图像与直线y ? c ? c ? ? ?2, 2?? 交点的个数.由图直 观可知当c ? ?2时,由图1知对应的t ? ?2与t ? 1, 由图2知对应x的不同值得个数(即零点个数)分 别为2和3,计5个;?.

注:这样答题高考可能要被扣分,但辩 证的讲前面第一、二条解答题被扣分是 不应该的,而这里我想被扣个两三分也 相当不错了.

(3)关于数学素养的培养

这是个非常大的课题,要求很高!既不是所 有老师能做得到的(我们自己本身还缺少这 方面的素养),也不是每一个学生都能被培 养出来的.我们只能加强自身的学习,与学 生一道不断训练和提高.

如,今年的向量与三角函数综合题 ?15 ?:第 ?1?问 5 求证 tan B ? 3 tan A不困难;第 ? 2 ?问若 cos C ? ,求 5 A的值.在考场上我注意到,不少学生毫无目的的 sin B 3sin A 套用公式: C ? ? cos ? A ? B ? 展开,把 cos ? cos B cos A 写成 sin B cos A ? 3sin A cos B,:? 没有注意到利用 第 ?1?问的结论,花了不少时间也没有解决.

我想要是第(2)问改为tanc=2就容易联系 第(1)问好多了.这实际上可归为“缺少 数学素养”问题.这是在提醒我们,不能套 用思路死做题(稍微变化了一下就不行 了). 今年高考应用题第(2)问:设在第一象限有 一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2 千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹 可以击中它?请说明理由.

? 2 ? ? a ? 0,? 炮弹可击中目标等价于存在k ? 0,
1 2 2 使ka ? ?1 ? k ? a ? 3.2成立,即关于k的方程 20 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64 ? 0有正根.由? ? 0得a ? 6.

这是有“数学素养的解法”,而一般的套路 解法是:

5k 4 4 ? 2 ? ? ymax ? 2 ? 3.2,? k ? , 就是求在k ? 1+k 3 3 1 下y ? kx ? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 3.2 (或y ? 3.2)有解 20 的x的取值范围. f ? k ? ? x 2 k 2 ? 20 xk ? ? x 2 ? 64 ? , 记 要使f ? k ? ? 0有解,首先? ? 0,得x ? 6.而当 10 4 x ? 6时,k ? ? 符合条件.(这是一种“缺 x 3 少数学素养”的解法?)

2

再看一道平时的练习题(节选):求函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x在区间 ?1,e ? 上的
2

最小值. a 2 x ? (2a ? 1) x ? a f ( x) ? 2 x ? (2a ? 1) x ? ? x x 1 2( x ? ) ? x ? a ? 2 ? ? x ? 0(要注意其分子能因式 ? x 分解,即有有理根,那么待处理的问题要容
2 /

易一些,否则较难).

这样,只需要对a进行 ?1? a ? 1;

? 2 ? a ? e;

? 3?1 ? a ? e三种情况分类讨论.课后有学生
1 1 问,为什么不再对a进行a ? 、;a ? 、 2 2 1 ? a ? 1讨论呢? 2
显然受二次式的影响思维定势了,生搬硬套了 (当然讨论后可以再合并,但没有必要!这与 我们平时教学中过于强调题型及其套路解法有 关) ,可以说就凭这一点,说明其数学素养不 够,还需要训练和培养.

当然,上面所说的数学素养,还是可以训 练培养的.而象2008年高考数列题:先 证明一个既是等差又是等比数列的数列是 常数列,公差d=0 ;2012年根据已知条 0< 件: an?1 ? 2 ,证明等比数列 ?an ?的公比 q=1这些如何想得到?这需要多么高的素 养!(这不是一般的能培养得了的).

4.2012年高考试题给我们的启示(提醒)
失分原因:不适应新题型.官方报道均分比去年 减少近10分,但就全卷来说,最难题的难度其实 比去年有所下降,填空题也基本保持平稳.均分 下降的主要原因是解答题新面孔较多,多题把关, 从解答题第三条开始(第一条第二问还把一些考 生蒙住了)每一题的第二或第三问均设计构思新 颖;而学生不适应.习惯于常见题型的学生,在 平时的大量训练中迷失了方向,不能很好地理解 题意、寻找策略,不能灵活运用数学的基本思想 方法解决问题,独立思考能力、理解分析问题的 能力欠缺.

其实,高考命题多年来一直能力立意,对中学数 学教学有着良好的导向:不能仅靠知识传输、题 型训练让学生取得高考高分.因此,今年的高考 数学命题给平时的数学教学再次提了个醒.

教学建议:(1)治本为上,遵循数学本性. (2)返璞归真,尊重教学规律.

我的一节复习公开课的体会与感受:

三、我践行的一些教学观
作为一名中学数学教师,虽然教了26年的书,上 了超万节的课,送走了一届又一届的学生,但是 要回想总结一下自己的教学成长经历,提炼出具 有个性特色的经验、教学思想来,还真的不容 易.美国有一位功勋教师德?鲍拉说过一句话 “教重要的在于听,学重要的在于说”;钱梦龙 有句名言:“在‘创新’的口号喊得最响亮的时 候,我回归常识性思维;在常识性思维支配一切 的时候,我致力于创新.”都让我印象非常深刻, 这使我对自己的教育教学工作有了一个自我认识, 因为我一直在践行着这样的教学理念.

我以为: “先学后教——以学定教,感受反思;先教 后学——以教导学,温故知新;边学边教— —教学相长,共同促进”.

“教重要的在于听,学重要的在于说”.
“少教多学,学生主动了效果会更好!” “教学内容要追求直观化和精简化,教学方 法要具有灵活性和多样性”.

此外,要关注一些教育至理名言:

追求本质简单自然的数学教学.(章建跃)
“教师要主导但不要主宰,学生要主动但不要盲 动” .(洪宗礼) 教师要将工作的重心转移到如何将课本上知识的学 术形态转化为教育形态.(张奠宙)

新课堂实验促进教育转型:从主要关注老师怎么讲 渐渐转变为关注老师怎么引导学生学;从主要评价老 师讲得怎么样到主要看学生学得怎么样,是否得到了 全面发展. (顾泠沅)
创造适合学生的数学教育(适合的才是最好的).

四、影响高中数学教学质量的主客观 原因剖析
1. 追求高考数学考试分数及升学率,影响 了课标精神、教材理念、教学要求的贯彻和 落实.

2. 学生学习的主动性与教师工作的积极性 等在发生着变化.

早期(80年代):我这一代,受文革影响,恢 复高考后的复习,学习是自觉自愿的(要跳龙 门走出农村),刻苦认真,找书读(甚至手 抄),带晚学(白天要干活);几乎不要老师 问、操心,老师是心有余而力不足. 中期(90年代):我工作5年,开始连续教高 三的时候,教辅资料还很少,讲义试卷等都 是通过刻钢板、手工复印,学生总体还是你 听话,跟着老师走,拼的是老师们的备课水 平,教学能力.

近期(00年代):我小孩这一代(已上大学),教辅用 书泛滥,不仅有专门的教师用书(题目有详细解答过程 等),还有现成的统一使用的教案、学案,可以说有的 老师甚至都不用自己备课了.这时大家相互比较拼的是 什么呢?是课上得多?是作业布置练的多?固然有这方 面的原因,但还有一点似乎更突出了,比拼的是看谁督 促学生学习盯得紧,压或者苦口婆心的“要学生为你学” (现在学习、生活条件好了,有一批学生不愿意学,当 然跟学习枯燥无味、没有兴趣有关),这方面谁花的时 间多、做得功夫深,谁就取得成效(学生能考出分数, 考取本科以上等),教学水平的高低了已不是主要的了 (你水平高,象教授一样课一上就不问学生了,效果并 不怎么样;你只要跟着同组的老师走,但你课后会跟学 生磨,你的效果不会差,有时反而突出).

现在我们不仅要搞好自己的教学,还要想 方设法如何让学生“为我学”.忍受学生 的不懂事和不努力.这工作量及其工作内 容就多了.不是说不要关心学生的学习, 而是如果把复习教学变成在这方面比拼那 就不正常了.

3. 讲良心、负责任、增本领,我们任重道远.

目前高中数学教师的心里状况是:没责任感的, 事不关己;有责任心的,压力很大.不少老师 (有些教龄的)浮躁,静不下心来搞点教学研 究,而是想着如何搞家教多创收,赚钱实 惠.他们什么荣誉、骨干称号也不要,只要把 课上了,其它什么事都不问.

我们高中数学教育教学任重道远,我们总是 与国家课程标准有着一定的距离;我们总是 与省教学要求有着较远的距离;我们总是与 教育专家们设想的课有着很远的距离;且还 在不知不觉中渐行渐远. 期望在国家和省“中长期教育改革和发展规 划纲要”的实施下,“以学论教,少教多学”; 在国家、省、市教育工作会议的精神指导下, 端正态度,严谨治教,与时俱进.努力做到 “创新教育,精致课堂、幸福师生”.

目前课堂教学改革(转型)的方向是“以学 生的学习为中心来组织教学”,即创造适合 学生的数学教育.如果学生是一个圆的圆心 的话,我愿做这个圆上的一个动点,以学生 为中心,围着学生转.

讲良心、负责任、增本领

教得有效、高效 学得实在、愉快 考得满意、高兴
——愿与在座的全体同仁共勉.

欢迎批评指正, 谢谢!


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