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2016版《创新设计》数学一轮复习(理科)人教A版 课时作业 第3章 第4讲 定积分与微积分基本定理

2016版《创新设计》数学一轮复习(理科)人教A版 课时作业 第3章 第4讲 定积分与微积分基本定理

第4讲

定积分与微积分基本定理

基础巩固题组 (建议用时:35 分钟)
一、选择题 π π 1.(2014· 济南质检)由直线 x=- 3 ,x= 3 ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭 图形的面积为 1 A.2 B.1 3 C. 2 D. 3 3 ? 3? = 2 -?- ?= 3. ? 2? ( )

解析 由题意知 S= 答案 D 1? ? 2.若?a?2x+x?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是 ? ?1? A.2 解析 ? ? ?1?
a?2x+

( D.6

)

B.3
a

C.4

1? ? 2 ? ? =a2+ln a-1, d x = ( x + ln x ) x? ?1

∴a2+ln a-1=3+ln 2,则 a=2. 答案 A 1 3.(2013· 江西卷)若 S1=?2x2dx,S2=?2x dx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小关 ?1 ?1 ?1 系为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 ( )

1

7 ∵e2-e=e(e-1)>e>3>ln 2,∴S2<S1<S3. 答案 B 4.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 10 A. 3 B.4 16 C. 3 D.6 ( )

解析 作出曲线 y= x,直线 y=x-2 的草图(如 图所示),所求面积为阴影部分的面积. ?y= x, 由? 得交点 A(4,2). ?y=x-2 因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面 积为
4 4 ? [ x-(x-2)]dx=? ( x-x+2)dx ?0 ?0

1 16 ?2 3 1 ?? 2 =?3x2-2x2+2x?? =3×8-2×16+2×4= 3 . ? ??0 答案 C

4

5.(2014· 湖南卷)已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 的一条对称轴是 5π A.x= 6 7π B.x= 12 π C.x= 3

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象 ( π D.x= 6 )

π? 3 3 ? ∴2cos φ- 2 sin φ=0,∴ 3cos?φ+ ?=0, 6? ? π π π ∴φ+ 6 = 2 +kπ(k∈Z),解得φ=kπ+ 3 (k∈Z),
2

π π π?? ? ? ∴f(x)=sin ?x-?kπ+ ??,由 x-kπ- 3 =k′π+ 2 3 ? ? ?? 5 得 x=(k+k′)π+6π(k,k′∈Z),故选 A. 答案 A 二、填空题 6.设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a =________.

4 答案 9 7. 如图所示,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个 闭合图形 ( 图中的阴影部分 ) ,则该闭合图形的面积是 ________.
2 ?y=-x +2x+1, 解析 由? ?y=1,

得 x1=0,x2=2. ∴S=?2(-x2+2x+1-1)dx=?2(-x2+2x)dx ?0 ?0

4 答案 3 8.汽车以 v=3t+2(单位:m/s)作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内 经过的路程是________ m.

3 7 13 ?3 ? =2×4+4-?2+2?=10-2= 2 (m). ? ? 答案 6.5

3

三、解答题 9.已知 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2+2f′(2)x+3,试求?3f(x)dx 的值. ?0 解 ∵f(x)=x2+2f′(2)x+3,∴f′(x)=2x+2f′(2), ∴f′(2)=4+2f′(2),∴f′(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3. ?1 ?? ∴? f(x)dx=?3x3-4x2+3x?? =-18. ? ??0 ?0
3 3

10.求曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积. 解 作出曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 的图象,所求 面积为图中阴影部分的面积.
2 ?y=x , 解方程组? 得交点(1,1), ?y=x, 2 ?y=x , 解方程组? 得交点(3,9), ?y=3x,

因此,所求图形的面积为 S=?1(3x-x)dx+?3(3x-x2)dx ?0 ?1 =?12xdx+?3(3x-x2)dx ?0 ?1 1 ?? ?3 =x ? +?2x2-3x3?? ? ??1 ?0 1 1 ?3 ? ?3 ? =1+?2×32-3×33?-?2×12-3×13? ? ? ? ? 13 =3.
1 2? 3

能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
11.(2014· 湖北卷)若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间 ?-1 [-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin2x,g(x)=cos2x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是 ( )

4

A.0

B.1

C.2

D.3

③中 f(x)· g(x)=x3 为奇函数,在[-1,1]上的积分为 0,故①③满足条件. 答案 C 12.(2014· 江西卷)若 f(x)=x2+2?1 f(x)dx,则?1 f(x)dx= ?0 ?0 A.-1 1 B.-3 1 C.3 D.1 ( )

解析 由题意知 f(x)=x2+2?1f(x)dx, ?0 设 m=?1f(x)dx,∴f(x)=x2+2m, ?0 ?1 3 ?? x +2mx?? ? f(x)dx=? (x +2m)dx=? 3 ? ??0 ?0 ?0
1 1 2 1

1 1 =3+2m=m,∴m=-3. 答案 B 13.?1 ( 1-x2+x)dx=________. ?-1 解析
2 1 1 1-x2dx+?1 xdx,根据积分的几何意义可知 ? ( 1-x +x)dx=? ?-1 ?-1 ?-1

π 1 1-x2dx 等于半径为 1 的半圆的面积,即?1 1-x2dx= 2 , ? ?-1 ?-1 π 1 21 2 1 1 ? xdx=2x |-1=0,∴? ( 1-x +x)dx= 2 . ?-1 ?-1 答案 π 2

5

14.在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定 点 t 的值,使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最 小,并求最小值. 解 S1 面积等于边长分别为 t 与 t2 的矩形面积去掉 曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积,即 2 S1=t· t2-?t x2dx=3t3. ?0 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形边长分别为 t2,1-t 面积, 2 1 即 S2=?1x2dx-t2(1-t)=3t3-t2+3. ?t 4 1 所以阴影部分的面积 S(t)=S1+S2=3t3-t2+3(0≤t≤1). 1 ? 1? 令 S′(t)=4t2-2t=4t?t-2?=0,得 t=0 或 t=2. ? ? 1 1 1 2 t=0 时,S(t)=3;t=2时,S(t)=4;t=1 时,S(t)=3. 1 1 所以当 t=2时,S(t)最小,且最小值为4.

6


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