9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案:第三章 §2 2.2 最大值、最小值问题

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案:第三章 §2 2.2 最大值、最小值问题

2.2 最大值、最小值问题 [对应学生用书P33] 1.问题:如何确定你班哪位同学最高? 提示:方法很多,可首先确定每个学习小组中最高的同学,再比较每组的最高的同学, 便可确定班中最高的同学. 2.如图为 y=f(x),x∈[a,b]的图像. 问题 1:试说明 y=f(x)的极值. 提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值. 问题 2:你能说出 y=f(x),x∈[a,b]的最值吗? 提示:函数的最小值是 f(a),f(x2),f(x4)中最小的,函数的最大值是 f(b),f(x1),f(x3)中 最大的. 问题 3:根据问题 2 回答函数 y=f(x),x∈[a,b]的最值可能在哪些点取得. 提示:在极值点或端点中. 1.最值点 (1)最大值点:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点 x0 指的是:函数在这个区间上所 有点的函数值都不超过 f(x0). (2)最小值点:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点 x0 指的是:函数在这个区间上所 有点的函数值都不小于 f(x0). 2.最值 函数的最大值与最小值统称为最值. (1)一般地,连续函数 f(x)在[a,b]上有最大值与最小值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大、最小值必须是整个区间上所有函 数值中的最大、最小值. (3)函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个. [对应学生用书P34] 求函数的最值 [例 1] 1 (1)求函数 f(x)=x3- x2-2x+5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值; 2 1 (2)求函数 f(x)= x+sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值. 2 [思路点拨] 先利用导数求极值,然后与端点处的函数值比较得最值. 1 [精解详析] (1)因为 f(x)=x3- x2-2x+5, 2 所以 f′(x)=3x2-x-2. 2 令 f′(x)=0,解得 x1=- ,x2=1. 3 2? 157 7 因为 f? ?-3?= 27 ,f(1)=2,f(-2)=-1,f(2)=7, 所以函数 f(x)在[-2,2]上的最大值是 7,最小值是-1. 1 (2)因为 f(x)= x+sin x, 2 1 所以 f′(x)= +cos x, 2 2π 4π 令 f′(x)=0,解得 x1= ,x2= . 3 3 2π? π 3 ?4π? 2π 3 因为 f(0)=0,f? = + ? 3 ? 3 2 ,f? 3 ?= 3 - 2 ,f(2π)=π, 所以函数 f(x)在[0,2π]上的最大值是 π,最小值是 0. [一点通] 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数的导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的全部实根 x0; (3)将 f(x0)的各个值与 f(a),f(b)进行比较,确定 f(x)的最大值与最小值. 1.函数 f(x)=x3-3x2+6x-10 在区间[-1,1]上的最大值为________. 解析:因为 f′(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0, ∴函数 f(x)在区间[-1,1]上单调递增, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 f(1)=-6. 答案:-6 π π? 2.求函数 f(x)=sin 2x-x 在? ?-2,2?上的最大值和最小值. 解:f′(x)=2cos 2x-1. π π? 令 f′(x)=0,x∈? ?-2,2?, π π 解得 x=- 或 x= . 6 6 π? π 3 ?π? 3 π 而 f? ?-6?=6- 2 ,f?6?= 2 -6, π π π π - ?= ,f? ?=- , f? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 π π 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小值为- . 2 2 1-x 1 3.已知函数 f(x)= +ln x,当 a= 时,求 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值. ax 2 2?1-x? 1 解:当 a= 时,f(x)= +ln x, 2 x x-2 f′(x)= 2 , x 令 f′(x)=0,得 x=2. 当 x∈[1,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在[1,2)上是减少的;当 x∈(2,e]时,f′(x)>0,故 f(x)在 (2,e]上是增加的.∴f(x)在区间(1,e]上有唯一的极小值点,故 f(x)min=f(x)极小值=f(2)=ln 2 -1. 2-e ∵f(1)=0,f(e)= <0, e ∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为 0. 已知函数的最值求参数的值 [例 2] 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数 a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大 值 3,最小值-29?若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由. [思路点拨] 利用导数求出 f(x)的最值(用 a,b 表示),列方程求 a,b 的值. [精解详析] 显然 a≠0,f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=4(舍去). ①当 a>0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表: x f′(x) -1 (-1,0) + 0 0 (0,2) - 2 f(x) -7a+b ? 最大值 ? -16a+b ∴当 x=0 时,f(x)取得最大值.∴b=3. 又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),∴当 x=2 时,f(x)取得最小值,即 -16a+3=-29,即 a=2. ②当 a<0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表: x f′(x) f(x) -7a+b -1 (-1,0) - ? 0 0 最小值 (0,2) + ? -16a+b 2 ∴当 x=0 时,f(x)取得最小值. ∴b=-29. 又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-

网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com