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2015梅州一模_广东省梅州市2015届高三3月总复习质检(一模)数学文试题_Word版含答案

2015梅州一模_广东省梅州市2015届高三3月总复习质检(一模)数学文试题_Word版含答案

梅州市2015届高三3月总复习质检(一模) 数学文试题
本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1、设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={3,4,5},则下图中的阴影部 分表示的集合为

A、{4}

B、{5}

C、{1,2}

D、{3,5}

2、 i 是虚数单位,若 z (1 ? i) ? i ,则 | z | 等于

A、1

B、

3 2

C、

2 2

D、

1 2

3、下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A、 y ? x ? 1 B、 y ? tan x C、 y ? log 2 x D、 y ? x
3

?x ? 1 ? 4、已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 ,则 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?
A、2 B、3 C、4 D、5 5、已知向量 a ? (1, ? cos? ), b ? (1, 2cos? ) a ? b ,则 cos 2? 等于 A、0 B、-1 C、

1 2

D、

2 2
的值等于

6、对任意非零实数a,b,若

的运算法则如右图的框图所示,则

1

A、

1 4

B、

5 2

C、

1 2

D、

9 4

7、已知l,m,n是三条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是 A.若l⊥ m,l⊥ n,m ? α,n ? α,则l⊥ α B.若l⊥ α,α∥ β,m ? β,则l⊥ m C.若l∥ m,m ? α,则l∥ α D.若l⊥ α,α⊥ β,m ? β,则l∥ m 8、若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于

A、30

B、12
2

C、24

D、4

9、动圆M经过双曲线 x ? A、 y =8 x
2 2

y2 ? 1 的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是 3
C、 y =4 x
2

B、 y =-8 x

D、 y =-4 x

2

10、定义在R上的函数f(x) ,若对任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则称f(x)为“Z函数” ,给出下列函数,

其中是“Z函数”的个数为 A、1 B、2

C、3

D、4

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题) 11、已知等比数列{ an }的公比为正数,且 学科网a3 a9 ? 2a52 , a2 ? 1,则 a1 =___ 12、已知 a, b, c 分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若 a ? 1, b ? 3 ,A+C=2B,则sinA =____ 13、以F1(-1,0) 、F2(1,0)为焦点,且经过点M(1,-

3 )的椭圆的标准方程为___ 2

2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB 于点 D,且 AD=3DB, 设∠COD= ? ,则 tan
2

?
2

学科网 =___

15. (坐标系与参数方程)在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程是 ?

? x ? 3 ? cos ? ? (? 为 ? ? y ? 1 ? sin ?

参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆心 C 的极坐标为___

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 ( x ? R, A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 的一个最低点为 M(

?
2

)的周期为 ? ,且图象上

2? ,-1) 。 3

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 f ( ) ?

?

2

1 , ? ? [0, ? ] ,求 cos? 的值。 3

3

17. (本小题满分 12 分) 某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动, 按年龄分组: 第1组 , 第2组 第3组 ,第 4 组 ,第 5 组 ,得到的频率分布直方图如图所示. ,

(1)下表是年龄的频率分布表,求正整数

的值;

(2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,年龄在第 1,2,3 组抽 取的员工的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年 龄在第 3 组的概率.

4

18. (本小题满分 14 分) 如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D,E 分别为 AC,AB 的中点, 沿 DE 将△ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A '? BCDE ,F 是 A ' B 的中点。

(1)求证:平面 A ' DE ⊥平面 BCDE; (2)求证:EF∥平面 A ' CD ; (2)求四棱锥 A '? BCDE 体积的最大值时。

5

19. (本小题满分 14 分) 数列{ an }中, a1 ? 8, a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N * 。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 (3)设 bn ? ,求 ;

1 (n ? N *), Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn (n ? N *), 是否存在最大的整数 m, n(12 ? an ) m 使得对任意 n ? N * ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。 32

6

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? aex ? be? x ? cx(a, b, c ? R) 的导函数 f '( x) 为偶函数,且曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 年的切线的斜率为 2-c。 (1)确定 a , b 的值; (2)当 c=1 时,判断 f(x)的单调性; (3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围。

7

21. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直 线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴于点 D,且有丨 FA|=|FD|,当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为 正三角形。 (1) 求 C 的方程, (2) 若直线 l1//l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标 ; ②△ABE 的面积是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由。

8

数学(文科)参考答案与评分意见
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. DCDAA ,BBCBC 二、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. 三、 (一)必做题(11~13题) 11.

x2 y2 1 2 ? ? 1. . 12. . 13. 4 3 2 2
1 ? . 15. (2, ) . 3 6

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? ,

? ? , 得? ? 2 ; ? 所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1 . 2?
则有 T ? 因为函数图像有一个最低点 M ( 所以 A ? 2 , 且 sin(2 ? 则有 2 ?

2?

???1 分

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

2? ? ? ) ? ?1 , 3
(k ? Z )
,

3

, ?1) , A ? 0 ,
????????3 分 ??????????? 4 分

解得 ? ?

?

6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

???5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1,

x?R .

???????????6 分

? 1 ? 1 ? 1 (2)由f ( ) ? , 得2 sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? ? . 2 3 6 3 6 3
0 ?? ?? , ?

???7 分

?
6

?? ?

?

7 ? ? ? 又 sin(? ? ) ? 0 6 6 , 6 ,
???9 分

? ? 2 2 ? cos(? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? ? . 6 6 3
? cos ? ? [cos(? ?
=

?

6

)?

?

6

] ? cos(? ?

?

6

) cos

?
6

? sin(? ?

?
6

) sin

?
6

???11 分 ???12 分

?

2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ?? . 3 2 3 2 6
9

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题设可知, a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 , b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 . ????2 分 (2) 因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人, 利用分层抽样在 300 名员工中抽取 6 名员工,每组抽取的人数分别为:

50 50 ? 1 , 第 2 组的人数为 6 ? ? 1, 300 300 200 ?4. 第 3 组的人数为 6 ? 300
第 1 组的人数为 6 ? 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. ?????6 分 (3)设第 1 组的 1 位员工为 A ,第 2 组的 1 位员工为 B ,第 3 组的 4 位员工为

C1 , C2 , C3 , C4 ,则从六位员工中抽两位员工有: ( A, B),( A, C1 ),( A, C2 ),( A, C3 ),( A, C4 ), ( B, C1 ),( B, C2 ),( B, C3 ),( B, C4 ), (C1 , C2 ), (C1 , C3 ), (C1, C4 ),(C2 , C3 ),(C2 , C4 ), (C3 , C4 ),
共 15 种可能. 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: ( A, B), 共 1 种可能, 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1 ? 18. (本小题满分 14 分) (1)证明: ? ?ACB ? 90? ,? BC ? AC. ????10 分 ????11 分 ????12 分

1 14 ? . 15 15

D, E 分别为 AC, AB 的中点,
? DE ∥ BC, ? DE ? DC .
????2 分

沿 DE 将 ?ADE 折起后, DE ? A?D,

A?D ? CD ? D,? DE ? 平面A?DC. DE ? 平面BCDE, ? 平面A' DC ? 平面BCDE.
(2)证明:取 A C 中点 G ,连接 DG, GF . 则由中位线定理可得, DE ∥ BC , DE ?
'

????4 分

1 BC , 2

????5 分

1 BC . 2 所以 DE ∥ GF , DE ? GF , 从而四边形 DEFG 是平行四边形, ? EF ∥ DG .
同理 GF ∥ BC , GF ?
10

????7 分

又 EF ? 面 A' CD , DG ? 平面 A' CD ,

? EF ∥平面 A' CD .
(3)在平面 A' CD 内作 A' H ? CD 于点 H . 由(1) 平面A' DC ? 平面BCDE, 平面A' DC ? 平面BCDE ? CD,
' ' 故 A H ? 底面 BCDE ,即 A H 就是四棱锥 A' ? BCDE 的高.

????9 分

????11 分

' 由 A H ? AD 知,点 H 和 D 重合时,四棱锥 A' ? BCDE 的体积取最大值.?12 分

?ABC 是等腰直角三角形, ?ACB ? 90? , AC ? 2a ,
? A?D ? AD ? CD ? a, BC ? 2a, DE ?
得 V A?? BCDE ?

1 BC ? a, 2

1 1 1 1 S BCDE ? A?D ? ? (2a ? a ) ? a ? a ? a 3 . 3 3 2 2 1 ' 所以四棱锥 A ? BCDE 的体积的最大值为 a 3 . 2
19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意, an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列, 设公差为 d ,由题意,得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 , ? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0, 则n ? 5 , 当

????14 分

????1 分 ????3 分 . ????4 分 ????5 分

n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |
? a1 ? a2 ? ? an ?
????6 分

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S ? a ? a ? ? ? a ? a 当 n 1 2 5 6 ? a7 ? ? an

? S5 ? (S n ? S5 ) ? 2S5 ? S n ? n 2 ? 9n ? 40.
故 sn ? ?
2 ? ?9n ? n , n ? 5, 2 ? ?n ? 9n ? 40, n ? 6.

???8 分

????9 分

(3)

? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 .

????10 分



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )] T n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1

11

?
若 Tn ?

n . 2(n ? 1)
m n m * * ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, 32 n ? 1 16

????12 分

?
?

n 1 ( n ? N * ) 单调递增,当 n ? 1 时,取得最小值 n ?1 2.
m 1 ? , ? m 的最大整数值是 7. 16 2 m . 32

????13 分

即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N * ,均有 Tn ? 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)对 f ? x ? 求导得, f ?( x) ? aex ? be? x ? c , 由 f ? ? x ? 为偶函数,知 f ? ? ? x ? ? f ? ? x ? , 即 (a ? b)(e ? x ? e x ) ? 0, 对?x ? R成立 ,所以 a ? b . 又 f ?(0) ? a ? b ? c ? 2 ? c, 解得 a ? 1, b ? 1 . (2)当 c ? 1 时, f ( x) ? e x ? e ? x ? x ,那么

????14 分

????1 分 ????2 分 ????3 分

????4 分

f ?( x) ? e x ? e ? x ? 1 ? 2 e x ? e ? x ? 1 ? 1 ? 0.


????6 分 ????7 分

f ( x) 在 R 上为增函数.

(3)由(1)知 f ?( x) ? e x ? e ? x ? c , 而 e x ? e ? x ? 2 e x ? e ? x ? 2, 当 x ? 0 时,等号成立. 下面分三种情况进行讨论. 当 c ? 2 时,对任意 x ? R, f ?( x) ? e x ? e ? x ? c ? 0 ,此时 f ? x ? 无极值; 当 c ? 2 时,对任意 x ? 0, f ?( x) ? e x ? e ? x ? 2 ? 0 ,此时 f ? x ? 无极值;
2 当 c ? 2 时,令 e x ? t , 方程 t ? ? c ? 0, 即t ? ct ? 1 ? 0 有两根,

????8 分

??9 分 ?10 分

1 t

c ? c2 ? 4 c ? c2 ? 4 t1 ? ? t2 ? , 2 2

????11 分

12

所以 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1 ? ln t1 , x2 ? ln t 2 . 当 x1 ? x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 从而 f ? x ? 在 x ? x2 处取得极小值. 综上,若 f ? x ? 有极值,则 c 的取值范围为 (2,??) . , ????13 分 ????14 分

21. (本小题满分 14 分)

p ? 2t P , 0) , , 0) ,设 D(t ,0)(t ? 0) ,则 FD 的中点为 ( 4 2 p p 因为 | FA |?| FD | ,由抛物线的定义得: 3 ? ?| t ? | , 2 2
解: (1)由题意知 F ( 解得 t ? 3 ? p 或 t ? ?3 (舍去). 由 ?ADF是正三角形,可得
2

????2 分

p ? 2t ? 3 ,解得 p ? 2 . 4
????4 分

所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x . (2)①由(1)知 F (1,0) . 设 A( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0), D( xD ,0)( xD ? 0) ,因为 | FA |?| FD | , 则 | xD ?1|? x0 ? 1 ,由 xD ? 0 得 xD ? x0 ? 2 ,故 D( x0 ? 2,0) , , 故直线 AB 的斜率为 k AB ? ?

y0 , 2 y0 x?b, 2

????5 分

因为直线 l1 和直线 AB 平行,设直线 l1 的方程为 y ? ? 代入抛物线方程得 y 2 ?

8 8b y? ? 0 ??① y0 y0 64 32b 2 ? ? 0 ,得 b ? ? . 2 y0 y0 y0

由题意方程①的判别式 ? ?

代入①解得 y ? ?

4 4 ,x ? 2 . y0 y0
4 4 , xE ? 2 . y0 y0
????6 分

设 E( xE , yE ) ,则 yE ? ?

13

2 当 y0 ? 4 时, k AB

4 ? y0 yE ? y0 y0 4y ? ?? ? 2 0 , 2 4 y0 xE ? x0 y0 ? 4 ? 2 y0 4
4 y0 ( x ? x0 ) , 2 y0 ?4
????7 分

可得直线 AE 的方程为 y ? y0 ?

2 由 y0 ? 4 x0 ,整理可得 y ?

4 y0 ( x ? 1) , 2 y0 ?4
????8 分

直线 AE 恒过点 F (1, 0) .
2 当 y0 ? 4 时,直线 AE 的方程为 x ? 1 ,过点 F (1, 0) ,

所以直线 AE 过定点 F (1, 0) . ②由①知,直线 AE 过焦点 F (1, 0) , A( x0 , y0 ), E (

????9 分

4 y0
2

,?

4 2 ), y0 ? 4 x0 . y0
??10 分

由抛物线的定义得 | AE |?| AF | ? | FE |? ( x0 ? 1) ? (

1 1 ? 1) ? x0 ? ? 2 x0 x0

设直线 AE 的方程为 x ? my +1.因为点 A( x0 , y0 ) 在直线 AE 上,故 m ? 设 B( x1 , y1 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? ? 由于 y0 ? 0 ,可得 x ? ?

x0 ? 1 , y0

y0 ( x ? x0 ) , 2
???11 分

2 y ? 2 ? x0 y0 .

代入抛物线方程得 y 2 ?

8 y ? 8 ? 4 x0 ? 0 , y0
???12 分

所以 y0 ? y1 ? ?

8 4 8 ,可求得 y1 ? ? y0 ? , x1 ? ? x0 ? 4 , y0 x0 y0

所以点 B 到直线 AE 的距离为

| d?

4 8 ? x0 ? 4 ? m( y0 ? ) ? 1| x0 y0 1? m
2

?

4( x0 ? 1) x0

? 4( x0 ?

1 ). x0
???13 分

则 ?ABE 的面积 S ?

1 1 1 ? 4( x0 ? )( x0 ? ? 2) ? 16 , 2 x0 x0
14

当且仅当 x0 ?

1 即 x0 ? 1 时等号成立. x0 ,
???14 分

所以 ?ABE 的面积的最小值为 16.

15


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