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2017-2018高中数学第一章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用新人教B_图文

2017-2018高中数学第一章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用新人教B_图文

1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用

学习目标

1.能根据定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y=1 ,y= x

x的

导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

内容索引

知识梳理 题型探究 当堂训练

知识梳理

知识点一 几个常用函数的导数

(1)若y=f(x)=C,则f′(x)= 0 .

(2)若y=f(x)=x,则f′(x)= 1 .

(3)若y=f(x)=x2,则f′(x)=2x .

(4)若y=f(x)=x3,则f′(x)= 3x2 .

(5)若 y=f(x)=1x,x≠0,则 f′(x)= -x-2 = -x12 (x≠0).

(6)若 y=f(x)=

x,x>0,则 f′(x)=

1 2

?1
x2

=21 x(x>0).

知识点二 基本初等函数的导数公式表

y=f(x) y=c y=xn(n∈N+) y=xμ(x>0,μ≠0且 μ∈Q)

y′=f′(x) nxyn′-1 =0_
y′= μxμ-1,n为正整数

y′=

axln a
,μ1为有理数
xln a

y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1,

y′=__co_s_x___
-sin x

特别提醒:(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆

①将xu与ax对比记忆,两公式最易混淆;

②将ax与logax对比记忆,并且要强化记忆,这两个公式最难记;

③将sin x与cos x对比记忆,注意正、负号问题.

(2)函数f(x)=logax的导数公式为f′(x)=(logax)′=

1 ,当a=e时, xln a

上述公式就变为(ln

x)′=

1 x

,即f(x)=ln

x是f(x)=logax当a=e时的特

殊情况.类似地,还有f(x)=ax,当a=e时,(ex)′=ex.

题型探究

类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y=cos π6; 解 y′=0. (2)y=x15; 解 ∵y=x15=x-5,
∴y′=(x-5)′=-5x-6=-x56.
解答

(3)y= x2x;



∵y=

x2x=x

3 2



3
∴y′=( x 2 )?

?

3 2

x

1 2

=32

x.

(4)y=lg x;

解 y′=xln110.

解答

(5)y=5x; 解 y′=5xln 5. (6)y=cos(π2-x). 解 ∵y=cos(π2-x)=sin x, ∴y′=(sin x)′=cos x.
解答

反思与感悟
若给出函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解析式进行化 简或变形后求导,如根式化指数幂的形式求导.

跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y=x12;

解 y′=(x12)′=12x11.

(2)y=5 x3;



y′=(5 x3)′=( x

3 5

)′= 3
5

x

?

2 5



3

55 x2

.

解答

(3)y=log2x; 解 y′=(log2x)′=xln1 2.

(4)y=2sin

x 2cos

x 2.



y′=(2sin

x 2cos

2x)′=(sin x)′=cos x.

解答

类型二 导数公式的综合应用

命题角度1 利用导数公式解决切线问题

例2

(1)已知P,Q为抛物线y=

1 2

x2上两点,点P,Q的横坐标分别为4,

-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标

为 (1,-4) .

解析 答案

(2)已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共 点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.

解 设存在一个公共点(x0,y0),使两曲线的切线垂直,

则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=y

?
1

x=

x

=cos
0

x0,k2=y

?
2

x=

x

=-sin
0

x0.

要使两切线垂直,必须有k1k2=cos x0(-sin x0)=-1,

即sin 2x0=2,这是不可能的.

∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.

解答

解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用: (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.

反思与感悟

1 跟踪训练2 已知函数y=kx是曲线y1=ln x的一条切线,则k= e .

解析 设切点坐标为(x0,y0),

由题意得

y

?
1

x= x0 =x10=k,



又y0=kx0,



而且y0=ln x0,



由①②③可得 x0=e,y0=1,则 k=1e.

解析 答案

命题角度2 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
解答

反思与感悟
利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切 线方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都 与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况, 再利用导数的几何意义准确计算.

跟踪训练3 已知A、B、C三点在曲线y= x上,其横坐标依次为1、 9
m、4(1<m<4),当△ABC的面积最大时,m的值为 4 .
解析 答案

当堂训练

1.下列函数求导运算正确的个数为

①(3x)′=3xlog3e;

②(log2x)′=xln1 2;

③ ?ln

1x?′=x;

④若 y=x12,则 y′|x=3=-227.

A.1

B.2

√C.3

D.4

解析 ①中(3x)′=3xln 3,②③④均正确.

12345

解析 答案

2.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 A.1条 C.3条

√B.2条
D.不确定

解析 设切点为(x0,y0),∵f′(x0)=3x20=1,

∴x0=±

3 3.

故斜率等于1的切线有2条.

12345

解析 答案

1 3.设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a= e .
解析 f′(x)=xln1 a,则 f′(1)=ln1a=-1,∴a=1e.

12345

解析 答案

4.求过曲线 y=sin x 上点 P(π6,12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程. 解 曲线 y=sin x 在点 P(π6,12)处切线的斜率
k=y ? x ? π =cos π6= 23, 6
则与切线垂直的直线的斜率为-2 3 3, ∴所求直线方程为 y-12=-233(x-π6),
即 12 3x+18y-2 3π-9=0.

12345

解答

5.求下列函数的导数.

3

3

(1)y=( x 2 +1)( x 2 -1)+1;

解 ∵y=x3,∴y′=3x2. (2)y=(cos 2x+sin 2x)2-1; 解 ∵y=cos22x+sin22x+2sin 2xcos 2x-1=sin x, ∴y′=cos x.

12345

解答

(3)y=3log23 x. 解 ∵y=log2x,∴y′=xln1 2.

12345

解答

规律与方法
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是 牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地 进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y=1-2sin22x的导数.因为 y=1-2sin22x=cos x, 所以y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函 数符号的变化.

本课结束


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