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江苏省扬州市2014-2015学年高二下学期期末考试 数学(理)

江苏省扬州市2014-2015学年高二下学期期末考试 数学(理)


2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 (理科)试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2015.6 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置)
0 1 2} ,则 A ? B ? 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,,





2.命题:“ ?x ? R , 3 ? 0 ”的否定是
x



. ▲ .

3.已知复数 z ? (1 ? i )i ( i 为虚数单位) ,则 | z |? 4.“ ? ?

”是“ tan ? ? 1 ”的 ▲ 条件. (从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充 4 要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)

?

5.正弦曲线 y ? sin x 在 x ?
x 2 x?4 6.方程 C11 的解为 ? C11

?
6

处的切线的斜率为 ▲ .





7.四位外宾参观某校,需配备两名安保人员.六人依次进入校门,为安全起见,首尾一定 是两名安保人员,则六人的入门顺序共有 ▲ 种不同的安排方案(用数字作答) . 8 .若函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,且在区间 (?? , 0] 上是减函数,则不等式
f (ln x )? f (1) 的解集为

▲ ▲



9.设数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an2 ? 2nan ? 2 , n ? 1, 2,3,? ,通过计算 a 2 , a 3 , a 4 ,试归 纳出这个数列的通项公式 an ? . 10.将函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 6

变)后得到函数 y ? f ( x) 图象,对于函数 y ? f ( x) 有以下四个判断: ①该函数的解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) ; 6 ②该函数图象关于点 ( , 0) 对称; 3 ③该函数在 [0,

?

?

?
6

] 上是增函数;

④若函数 y ? f ( x) ? a 在 [0, 其中,正确判断的序号是

?
2

] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 .
. (写出所有正确判断的序号)



1 11.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) 满足关系 f ( x) ? g ( x) ? ( ) x ,则 3 f (1) g (0) . ▲ (从“ ? ”,“ ? ”,“ ? ” 中,选出适当的一种填空)
12.已知 f ( x) ? cos x ? cos( ▲ .

?
2

? x) ? 2 cos xsin(2 ? ? x) ,若 f ( x) ?

2 , 0 ? x ? ? ,则 x 的值为 4

1 3 ? x ? , x ? [1, ) ? ? 2 2 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? . 若 存 在 x1 , x2 , 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 , ?2 x ? 2 ? 1, x ? [ 3 ,3) ? ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则

f ( x2 ) 的取值范围是 x1





2 14.若实数 x , y 满足 log3 [2 cos (xy )?

1 y e ]? lny ? ? ln ? 0,其中 e 为自然对 2 8cos (xy ) 3 3


数的底数,则 (cos 6 x) y 的值为



二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)
4 3 3 3 ? , sin(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 7 14 2 求: (1) tan 2? 的值; (2)角 ? 的大小.

已知: sin ? ?

16. (本小题满分 14 分) 设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的定义域为 R; 命题 q : 函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] 上单调递减. (1)若命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M;命题 p 为真命题时, a 的取 值集合为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; 5? 11? (2)当 x ?[ , ] 时,求函数 f ( x) 的值域; 24 24 9? 7? (3)当 x ? (? , ? ) 时,设经过函数 f ( x) 图象上任意不同两点的直线的斜率为 k ,试判断 8 8 k 值的符号,并证明你的结论.

18. (本小题满分 15 分) 如图,折叠矩形纸片 ABCD,使 A 点落在边 BC 上的 E 处,折痕的两端点 M 、 N 分别在 线段 AB 和 AD 上(不与端点重合).已知 AB ? 2 , BC ?
4 3 ,设 ?AMN ? ? . 3

(1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并求出 ? 的取值范围; (2)试问折痕 MN 的长度是否存在最小值,若存在,求出此时 cos ? 的值;若不存在,请说明 理由.

A θ M B E

N

D

C

(第 18 题图)

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? log3 x . (1)若 g (2 x ? 1) ? f ( x) ,求函数 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的定义域; (2)记 h( x) ? f ( x ? a ) .

3 ①若 y ?| h( x) | 在 [1, ] 上的最小值为 1,求实数 a 的值; 2
②若 A( x ? a, y1 ) , B( x, y2 ) , C (3 ? a, y3 ) 为 y ? h( x) 图象上的三点,且满足 y1 , y2 , y 3 成等差 数列的实数 x 有且只有两个不同的值,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 1 , g ( x) ? e x . (1)求函数 y ?
f ( x) 的极小值; g ( x)

(2)设函数 y ? f '( x) ? a ? g ( x) (a ? R) ,讨论函数在 (??, 4] 上的零点的个数; (3)若存在实数 t ? [0, 2] ,使得对任意 x ? [1, m] ,不等式 [ xf ( x) ? t ] ? g ( x) ? x 恒成立,求正整 数 m 的最大值.

2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 (理科)试 题Ⅱ
(全卷满分 40 分,考试时间 30 分钟) 2015.6 21. (本小题满分 10 分) 1 已知 ( x ? 4 ) n 展开式中各项的二项式系数和为 64. x (1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项.

22. (本小题满分 10 分) 我市某商场为庆祝“城庆 2500 周年”进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有 8 只除颜色外, 其它完全相同的彩球,其中仅有 5 只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球,共取 三次,拿到红色球的个数记为 X . (1)若取球过程是无放回的,求事件“ X ? 2 ”的概率; (2)若取球过程是有放回的,求 X 的概率分布列及数学期望 E ( X ) .

D1
23. (本小题满分 10 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB . (1)点 P 为棱 CC1 上一动点,求证: AP ? B1 D1 ; (2)求 AD1 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

C1 B1

A1

P D A B
(第 23 题图)

C

24. (本小题满分 10 分) 设 a n 为下述正整数 N 的个数: N 的各位数字之和为 n ,且每位数字只能取 1,3 或 4. (1)求 a1 , a 2 , a 3 , a 4 的值;
2 (2)对 ? n ? N * ,试探究 a2n ? a2 n ? 2 与 a 2 的大小关系,并加以证明. n ?1

2015 年 6 月高二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案
一、填空题: 1. {?1,0} 6.4 或 5 11. ? 二、解答题: 15.解: (1)∵ sin ? ? ∴ tan 2? ? ?
8 3 47
3 3 ? ? 13 且0 ? ? ?? ? ∴0 ?? ? ? ? 且 cos(? ? ? ) ? 14 2 2 14 4 3 ? ,0 ?? ? 7 2

2. ? x ? R , 3 x ? 0 7.48 12. 8. (e, ??)

3. 2

4.充分不必要 10.②④

5.

3 2

9. 2 n ? 1 14. ?

7? 12

13. ( , 2]

4 3

1 8

∴ cos ? ?

1 , tan ? ? 4 3 7

…………3 分 …………7 分 ……9 分

(2)∵ sin(? ? ? ) ?

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? ∵0 ? ? ?

1 13 4 3 3 3 1 3 ? ? ? ? (求出 sin ? ? 也可)…………12 分 7 14 7 14 2 2

?
2

∴? ?

?
3



…………14 分

16.解: (1)若 p 真:即函数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的定义域为 R ∴ x 2 ? ax ? 1 ? 0 对 ?x ? R 恒成立 若 q 真,则 a ? ?1 ∵命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假 ∴ ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,解得: ?2 ? a ? 2 ; …………2 分 …………2 分 ∴ p 真 q 假或 p 假 q 真 …………7 分 …………9 分

??2 ? a ? 2 ?a ? ?2或a ? 2 ∵? 或? ,解得: ?2 ? a ? ?1 或 a ? 2 . a ? ?1 ? a ? ?1 ?

(2)∵ M ? N ? M ∴ N ? M ∵ M ? (m ? 5, m), N ? (?2, 2)
? m ? 5 ? ?2 ∴? ,解得: 2 ? m ? 3 . ? m?2

…………14 分

17.解: f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 (或 f ( x) ? 2 cos(2x ? ) ? 2 ) 4 (1) T ? ? ; (2)∵ x ?[

?

?

…………4 分 …………6 分

5? 11? ? ? 2? ? 1 ,则 sin(2 x ? ) ?[ ,1] , ] 时,∴ ? 2 x ? ? 24 24 6 4 3 4 2

∴ f ( x) 的值域为 [2 ? 2, 2 ?

2 ] 2

…………10 分

(3) k 值的符号为负号; 9? 7? 5 ? ∵ x ? (? , ? ) ,∴ ? ? ? 2 x ? ? ?2? , 8 8 2 4 9? 7? ∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上是减函数. …………12 分 8 8 9? 7? ∴当 x1 , x2 ? (? , ? ) ,且 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,从而经过任意两点 ( x1 , f ( x1 )) 和 8 8 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0. ( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 k ? …………15 分 x1 ? x2 18.解: (1)设 AM ? x ,由图形的对称性可知: AM ? ME ? x , ?BME ? ? ? 2? , ∵ BM ? 2 ? x ∴ cos(? ? 2? ) ?

2? x 2 1 ,整理得: x ? ? 2 x 1 ? cos 2? sin ?

…………3 分

∵ ? ? (0, ) 2

?

1 ? ?2 ? ? AM ? AB sin 2 ? ? 又∵ ? ,即 ? , ? AN ? AD ? 1 ? tan ? ? 4 3 ? 3 ? sin 2 ?

? ? sin ? ? ? ∴? ?sin 2? ? ? ?

? 2 ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 ,? 4 ,解得: ? ? ( , ) ? ? 2 ? 4 3 3 ? ? 2? ? ? 3 ?3 2

…………6 分

(2)在 Rt ?AMN 中, MN ?

x 1 1 ? ? , ? ? ( , ) …………8 分 ? 2 ? 3 cos? sin ? cos? cos? ? cos ? 4 3

1 1 2 1 2 1 2 ,t ? ( , ) , 设 h(t ) ? t ? t 3 , t ? ( , ) …………10 分 ) ,∴ MN ? 令 t ? cos ? , t ? ( , 3 t ?t 2 2 2 2 2 2

∴ h '(t ) ? 1 ? 3t 2 ? ?3(t ? 列表得:

3 3 3 3 )(t ? ) ,令 h '(t ) ? 0 ,则 t ? 或t ? ? (舍) , 3 3 3 3

t
h '(t )

1 3 ( , ) 2 3 ?

3 3

(

0 极大值
3 3 3 时, MN 有最小值为 . 3 2

3 2 , ) 3 2 ?

h (t )

增 ∴当 cos ? ?



∴ h(t ) max ? h(

3 2 3 )? 3 9

(直接对 ? 求导或直接研究函数 MN ? 答:当 cos ? ?

1 1 2 ,t ? ( , ) 皆可) t ? t3 2 2

3 3 3 时, MN 存在最小值为 . 3 2

…………15 分

19.解: (1)令 t ? 2 x ? 1 , x ? 0 ,则 t ? 1 且 x ? ∵ g (2 x ? 1) ? f ( x) ∴ g (t ) ? log3 (
( x ? a)

t ?1 2

t ?1 x ?1 ) ∴ g ( x) ? log3 ( ) ,定义域为 (1, ??) ;…………4 分 2 2

(2) h( x) ? log3 ( x ? a)

? log3 ( x ? a) ①在 y ?| log3 ( x ? a) |? ? ?? log3 ( x ? a)

( x ? a ? 1) ∴函数在 (a, a ? 1) 上单调减,在 (a ? 1, ??) (a ? x ? a ? 1)

上单调增; (Ⅰ) 当 a ?1?

…………6 分

3 1 3 3 7 即 ? a ? 1 时, 当 x ? 时,ymin ? ? log3 ( ? a) ? 1 , ∴ a ? ? 1(舍) ? a ?1, 2 2 2 6 2 3 1 ,即 0 ? a ? 时,当 x ? a ? 1 时, ymin ? 0 (舍) 2 2
∴ a ? ?2 …………10 分

(Ⅱ)当 1 ? a ? 1 ?

(Ⅲ)当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时,当 x ? 1 时, ymin ? log3 (1 ? a) ? 1 ∴综上: a ? ?2 ; (a ?

7 不舍扣 2 分) 6

②∵ y1 , y2 , y 3 成等差数列 ∴ 2 y2 ? y1 ? y3 ,即 2log 3 ( x ? a) ? log 3 x ? log 3 3 化简得: x2 ? (2a ? 3) x ? a2 ? 0 (*) …………13 分

∵满足条件的实数 x 有且只有两个不同的值 ∴(*)在 (a, ??) 上有两个不等实根,设 H ( x) ? x2 ? (2a ? 3) x ? a2
? ? ? (2a ? 3) 2 ? 4a 2 ? 0 ? 2a ? 3 3 ? ?a ∴? ,解得: ? ? a ? 0 . 2 4 ? 2 2 H ( a ) ? a ? (2 a ? 3) a ? a ? 0 ? ?
f ( x) x 2 ? 5 x ? 1 ? , x?R g ( x) ex

…………16 分

20.证: (1) y ? 则 y' ? ?

x2 ? 7 x ? 6 ( x ? 6)( x ? 1) , ?? ex ex 令 y ' ? 0 ,得 1 ? x ? 6 ;令 y ' ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 6 (或列表求) f ( x) ∴函数 y ? 在 (??,1) 单调减,在(1,6)单调增,在 (6, ??) 上单调减, g ( x)
∴函数 y ?
f ( x) 3 在 x ? 1 处取得极小值 ? ; g ( x) e

…………3 分

(2) y ? f '( x) ? a ? g ( x) ? 2x ? 5 ? a ? e x ? 0 ,

∵ ex ? 0 设 h( x) ? ? ∴ h( x) ? ?

∴a ? ?

2x ? 5 , ex

…………5 分

2x ? 5 2x ? 7 7 ,则 h '( x) ? ,令 h '( x) ? 0 ,则 x ? ex ex 2

2x ? 5 7 7 在 (??, ) 上 单 调 减 , 在 ( , 4) 上 单 调 增 , 且 x ? ??, h( x) ? ?? , x e 2 2

7 ? 7 h( ) ? ?2e 2 , h(4) ? ?3e?4 2

∴当 a ? ?3e?4 或 a ? ?2e 2 时,h( x) ? a 有 1 解, 即 y ? f '( x) ? a ? g ( x) 在 (??, 4] 上的零点的个数 为 1 个; 当 ?2e 个; 当 a ? ?2e 2 时, h( x) ? a 有 0 解,即 y ? f '( x) ? a ? g ( x) 在 (??, 4] 上的零点的个数为 0 个. …………8 分 (3)∵ e x ? 0 ,存在实数 t ? [0, 2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 [ xf ( x) ? t ] ? g ( x) ? x 恒成立, ∴存在实数 t ? [0, 2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 t ? ∵ tmin ? 0 ∴对任意的 x ? [1, m] ,不等式 0 ?
x ? xf ( x ) 恒成立 g ( x)
? 7 ? 7 2

?

7

? a ? ?3e ?4 时, h( x) ? a 有 2 解,即 y ? f '( x) ? a ? g ( x) 在 (??, 4] 上的零点的个数为 2

1 ? f ( x ) 恒成立 g ( x)

…………10 分

解法(一) :设 H ( x) ?

1 ? f ( x) ? e ? x ? x 2 ? 5 x ? 1 , x ? [1, ??) g ( x)

∴ H '( x) ? ?e? x ? 2 x ? 5 ,设 F ( x) ? H '( x) ? ?e? x ? 2x ? 5 , ∴ F '( x) ? e? x ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立 ∴ F ( x) ? H '( x) ? ?e? x ? 2x ? 5 在 [1, ??) 上单调减

1 而 H '(1) ? ?e?1 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? 0 , H '(2) ? ?e?2 ? 1 ? 0 , H '(3) ? ?e?3 ? 1 ? 0 e
∴ ?x0 ? (2,3) ,使得 H '( x0 ) ? 0 ,当 1 ? x ? x0 时, H '( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, H '( x) ? 0 ∴ H ( x) 在 (1, x0 ) 上单调增,在 ( x0 , ??) 上单调减 ∵ H (1) ? e?1 ? 3 ? 0 , H (2) ? e?2 ? 5 ? 0 , H (3) ? e?3 ? 5 ? 0 , H (4) ? e?4 ? 3 ? 0 ,
H (5) ? e?5 ? 1 ? 0 且 x ? 5 , H ( x) ? H (5) ? 0 (若不交代函数 H ( x) 的单调性,扣 4 分)

∴正整数 m 的最大值为 4. …………16 分 2 x 解法(二) :即对任意的 x ? [1, m] ,不等式 ( x ? 5x ? 1)e ? 1 恒成立. 设 G( x) ? ( x2 ? 5x ? 1)e x , x ? [1, ??) ,

∴ G '( x) ? (2x ? 5)ex ? ( x2 ? 5x ? 1)e x ? ( x2 ? 3x ? 4)e x ? ( x ? 4)( x ? 1)e x , 可求得 G ( x) 在 (??, ?1) 上 单调增,在 (?1, 4) 上单调减,在 (4, ??) 上单调增, 则 G( x) ? ( x2 ? 5x ? 1)e x [1, 4) 上单调减,在 (4, ??) 上单调增 当 m ? 4 时, G( x) max ? G(1) ? ?3e ? 1恒成立; 当 m ? 4 时, G( x) max ? max{G(1), G(m)} , G (1) ? ?3e ? 1 , G(4) ? ?3e4 ? 1 ,而 G(5) ? e5 ?1 ; ∴正整数 m 的最大值为 4.
0 1 n 21.解: (1) Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ? 64

…………16 分 ∴n ? 6 ; …………4 分

3r 3? 1 r x 4, (2) Tr ?1 ? C6r ( x )6? r ( 4 )r ? C6 x

…………7 分

当3?

3r 4 ? 15 为常数项. ? 0 ,即 r ? 4 时, T5 ? C6 4
1 C52C3 15 ? ; 3 C8 28

…………10 分

22. (1) P( X ? 2) ?

…………4 分

(2)随机变量 X 的可能取值为:0,1,2,3
k 5 k 3 3? k P( X ? k ) ? C3 ( ) ( ) , k ? 0,1,2,3 8 8



X
P

0

1

2

3

27 512

135 512

225 512

125 512
…………8 分

E( X ) ? 0 ?

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8

15 . …………10 分 8 23.解: (1)以 D 为原点, DA , DC , DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所
答:数学期望为 示的空间直角坐标系 D ? xyz .设 AB ? 1 ,则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,

z
B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,D1(0,0,2) , A1(1,0,2) ,B1(1,1,2) ,C1(0,1,2) .

D1 A1 B1

C1

??? ? ????? (1)设 P(0,1, m) ,则 AP ? (?1,1, m) , D1B1 ? (1,1,0) ??? ? ????? 则 AP ? D1 B1 ? 0
∴ AP ? B1 D1 …………4 分

P D x A B
(第 23 题图)

???? ? ???? ? (2) AC ? (?1,1, ?2), DA1 ? (1,0,2) 1 ? 设平面 A1CD 的一个法向量 n ? ( x, y, z)

C

y

? ???? ? ?? ? ? ? x ? ?2 ? ?n ? A1C ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ∴ ? ? ???? ,令 z ? 1 ,则 ? ∴ n ? (?2,0,1) , | n |? 5 ? ? y?0 ? ? n ? DA1 ? x ? 2 z ? 0
???? ? ????? ? 设 AD1 与面 A1CD 所成角的大小为 ? , AD1 ? (?1,0,2) , | AD1 |? 5
???? ? ? ∴ sin ? ?| cos ? AD1 , n ?|? 4 5? 5 ? 4 , 5

…………7 分

所以 AD1 与平面 A1CD 所成角的正弦值为

4 . 5

…………10 分

24.解: (1) n ? 1 ,则 N ? 1 ,∴ a1 ? 1 ; n ? 2 ,则 N ? 11 ,∴ a2 ? 1 ;
n ? 3 ,则 N ? 111 或 N ? 3 ,∴ a3 ? 2 ; n ? 4 ,则 N ? 1111 , N ? 13 , N ? 31 , N ? 4 ,∴ a4 ? 4 ;

综上: a1 ? 1 , a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 4
2 (2)由(1)猜想: a2n a2n? 2 ? a2 ; n?1

…………2 分 …………3 分

记 N ? x1 x2 ? xk ,其中 x1 , x 2 ,…, xk ?{1,3, 4} 且 x1 ? x2 ? ? ? xk ? n
n?3, n?4. 假定 n ? 4 , 删去 x1 , 则当 x1 依次取 1, 3, 4 时,x2 ? x3 ? ? ? xk 分别等于 n ? 1 ,

故当 n ? 4 时, an ? an?1 ? an?3 ? an?4 . 先用数学归纳法证明下式成立: a2n?1 ? a2n ? a2n?1 ① n ? 1 时,由(1)得: a3 ? a1 ? a2 ,结论成立; ②假设 n ? k 时, a2k ?1 ? a2k ? a2k ?1 ;

…………5 分

当 n ? k ? 1 时, a2k ?3 ? a2k ? 2 ? a2k ? a2k ?1 ? a2k ? 2 ? a2k ? (a2k ?1 ? a2k ) ? a2k ? 2 ? a2k ?1 ∴ n ? k ? 1 时,结论成立; 综合①②, a2n?1 ? a2n ? a2n?1 , n ? N * .
2 再用数学数学归纳法证明下式成立: a2n a2n? 2 ? a2 n?1

…………8 分

① n ? 1 时,由(1)得: a2 a4 ? a32 ,结论成立;
2 ②假设 n ? k 时, a2k a2k ? 2 ? a2 ; k ?1

当 n ? k ? 1 时,
2 a2k ? 2 a2k ? 4 ? a2k ? 2 (a2k ?3 ? a2 k ?1 ? a2 k ) ? a2 k ?2 a2 k ?3 ? a2 k ?2 a2 k ?1 ? a 2 ? a2 k ?2 a2 k ?3 ? a2 k ?1 (a2 k ?2 ? a2 k ?1 ) k ?1 2 ? a2k ? 2 a2k ?3 ? a2k ?1a2k ?3 ? a2k ?3 (a2k ? 2 ? a2k ?1 ) ? a2 k ?3

∴ n ? k ? 1 时,结论成立;
2 综合①②, a2n a2n? 2 ? a2 ,n? N *. n?1

…………10 分


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