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2019年高中数学(艺考生)·专题知识突破 第05讲 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性

2019年高中数学(艺考生)·专题知识突破 第05讲 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性


第 05 讲 1.函数的单调性 (1) 单调函数的定义: 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 知识梳理 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调增函数.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调减函数. 从图象来看,增函数图象从左到右是上升的,减函数图象从左到右是下降的,如图所示: (2)单调性与单调区间:如果一个函数在某个区间 M 上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性(区间 M 称为单调区间). 2.函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的概念: 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: ①考察定义域是否关于原点对称. ②考察表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x):若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数;若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x),则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,既非奇非偶函数. 3.函数的周期性 (1) 周期函数的概念:对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+ T)=f(x)都成立,则称 y=f(x)为周期函数,非零常数 T 叫做函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周 期. (3)一般地,如果 T 为函数 f(x)的周期,则 nT(n∈Z)也是函数 f(x)的周期,即有 f(x+nT)=f(x). (4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量 x 要加上的最小正数,这个正数是相对 x 而言的.并不是所有的周期 函数都有最小正周期,比如常数函数 f(x)=C(C 为常数)就没有最小正周期. -1- 典例剖析 题型一 函数单调性的判断 例1 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是________. (填序号) -x ① y= x+1 ② y=(x-1)2 ③ y=2 ④ y=log0.5(x+1) 变式训练 下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是________. (填序号) 1 ① f(x)=x2 ② f(x)=x3 1?x ③ f(x)=? ?2? ④ f(x)=3x 题型二 函数单调性的应用 例 2 如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是________. 变式训练 函数 f(x)= 1 1 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1 题型三 求函数的单调区间 例 3 求函数 y=lo

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