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高一数学三角函数的应用PPT课件.ppt_图文

高一数学三角函数的应用PPT课件.ppt_图文

三三角角函函数数模模型型的的简简单单应用应用

y ? Asin(?x ? ? )

振幅

相位 初相(x=0时的相位)

周期 : T ? 2? ?

频率 : f ? 1 ? ? T 2?

例1. 如图:点O为作简谐运动的物体的 平衡位置,取向右的方向为物体位移的正 方向,若已知振幅为3cm,周期为3s,且 物体向右运动到距离平衡位置最远时开始 计时。 (1)求物体对平衡位置的位移x(cm) 和时间t(s)之间的函数关系;(2)求物 体在t=5s时的位置。

Q

O

P

例2.如图:一个半径为3m的水轮,水轮圆心 O恰在水面上,已知水轮每分钟转动4圈,水 轮上点P在下列位置开始计时。(1)将点P距 离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;(2) 点P第一次达到最高点大约需要多长时间?

P P0

(A)点P在A点时开始计时; (B)点P在B点时开始计时; (C)点P在C点时开始计时; (D)点P在D点时开始计时。

解:不妨设水轮沿逆时针方向旋转, P
如图建立平面直角坐标系。

设 ?(0 ? ? ? 2? )是以Ox为始边,OP0
为终边的角。

由OP在t

s内所转过的角为( 4

? 2?
60

)t

?

2?
15

t

可知,以Ox为始边,OP为终边的角为 2? t ? ?,

故P点的纵坐标为 3sin(2? t ? ?) ,则 15

z

?

3sin( 2?

t

15
? ? )(0

?

?

?

2?

).

15

(A)点P在A点时开始计时,? ? 0

则所求函数关系式为

z ? 3sin(2? t)(t ? 0)

15

令 z ? 3sin(2? t) ? 3,得 sin(2? t) ? 1 ,

10



2?

t

? ?15? 2k? (k ? Z)

15


8 6 4 2



15 t?

15

2 ? 15k(k

?

Z

)



A

5

-2

-4

10

15

20

4

15

-6

所以,当k=0时,t= 。

4 故点P第一次到达最高点需要

15

s

4

(B)点P在B点时开始计时,? ? ?

则所求函数关系式为

2

2? ?

2?

z ? 3sin( t ? ) ? 3cos( t)(t ? 0)

15 2

15

令 z ? 3cos(2? t) ? 3,得 cos(2? t) ? 1 ,

10



2?

15
t ? 2k? (k ? Z)



15

8 6

15

4 2

5

10

15

20

故 t ? 15k(k ? Z) ,

-2

-4 -6

所以,当k=0时,t=0。

故点P第一次到达最高点需要0 s

(C)点P在C点时开始计时,? ? ?

则所求函数关系式为

z ? 3sin(2? t ?? ) ? ?3sin(2? t)(t ? 0)

15

15

令z ? ?3sin(2? t) ? 3,得sin(2? t) ? ?1 ,

10 8 6



2?

t

?

15
3? ?

2k? (k

?

Z)

15


4

15 2

2

-2

5

10

15

20 故 t ? 45 ? 15k(k ? Z ) ,

-4 -6

4

45

所以,当k=0时,t= 。

4 故点P第一次到达最高点需要

45

s

4

(D)点P在D点时开始计时,? ? 3?
2
则所求函数关系式为

2? 3?

2?

z ? 3sin( t ? ) ? ?3cos( t)(t ? 0)

15 2

15

令z ? ?3 cos(2? t) ? 3,得cos(2? t) ? ?1 ,



2?

t

??

15
? 2k? (k

?

Z)

15


10

15

8

6 4

故 t ? 15 ? 15k(k ? Z ) ,

2

5

10

15

20

2

15

-2

所以,当k=0时,t= 。

-4 -6

2 故点P第一次到达最高点需要

15

s

2

(A)点P在A点时开始计时; (B)点P在B点时开始计时; (C)点P在C点时开始计时; (D)点P在D点时开始计时。

10 8 6 4 2

A

5

10

15

20

-2

-4

-6

10 8 6 4 2
-2 -4 -6
10 8 6 4 2
-2 -4 -6
10 8 6 4 2
-2 -4 -6

5

10

15

20

5

10

15

20

5

10

15

20

变题:将圆心O上移2米,其余不变,试 求解。
z ? 3sin(2? t ??) ? 2(0 ? ? ? 2? ).
15

圣米切尔山 涨潮

落潮

例3:
潮汐对轮船进出港 口产生什么影响?

某港口在某季节每天的 时间与水深关系表:

时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米

0:00 5.0
9:00 2.5
18:00 5.0

3:00 7.5
12:00 5.0
21:00 2.5

6:00 5.0
15:00 7.5
24:00 5.0

解:以时间为横坐标,水深为纵

坐标,在直角坐标系中画出散点

图,根据图象,可以考虑用函数

y ? Asin(?x ??) ? h

(A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? )

来刻画水深与时间之间的对应关

系.从数据和图象可以得出:

A=2.5,h=5,T=12 ;



T

?

2? ?

? 12

,得 ?

?

?
6

.

由x=0时y=5,得2.5sin? ? 5 ? 5 ;

即 sin? ? 0 ,故 由图可知 ? ? 2k?;所以 ? ? 0

所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为:
y ? 2.5sin ? x ? 5 (0 ? x ? 24)
6

由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:

时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深

0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

小结:


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