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高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.6离散型随机变量的数学期望讲义含解析湘教版选修2_3

高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.6离散型随机变量的数学期望讲义含解析湘教版选修2_3

8.2.6 离散型随机变量的数学期望
[读教材·填要点] 1.离散型随机变量 X 的数学期望 当离散型随机变量 X 有概率分布 pi=P(X=xj),j=0,1,…,n,就称 E(X)=x1p1+x2p2 +…+xnpn 为 X 的数学期望或均值. 如果 X 是从某个总体中随机抽取的个体,X 的数学期望 E(X)就是总体均值 μ . 2.数学期望的有关公式 (1)若 Y=aX+b,a,b 为常数,则 E(aX+b)=aE(X)+b; (2)当 X 服从两点分布 B(1,p)时,E(X)=p; (3)当 X 服从二项分布 B(n,p)时,E(X)=np; (4)当 X 服从超几何分布 H(N,M,n)时,E(X)=nMN.
[小问题·大思维] 1.随机变量 X 的均值 E(X)是一个常数还是一个变量? 提示:随机变量 X 是可变的,可以取不同的值,而数学期望(或均值)是不变的,它描述 X 取值的平均水平,由 X 的分布列唯一确定. 2.若 c 为常数,则 E(c)为何值? 提示:由离散型随机变量的均值的性质 E(aX+b)=aE(X)+b 可知,若 a=0,则 E(b) =b,即若 c 为常数,则 E(c)=c. 3.E(X)与 X 的单位是否一致? 提示:E(X)表示随机变量 X 的平均值,因此 E(X)与 X 的单位是一致的.
离散型随机变量的数学期望 [例 1] 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定: 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和 为该顾客所获的奖励额. 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: (1)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; [解] 设顾客所获的奖励额为 X. (1)依题意,得 P(X=60)=CC11C24 13=12,
1

即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12.

(2)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. P(X=60)=12,P(X=20)=CC2423=12, 即 X 的分布列为

X 20 60

P

1 2

1 2

所以顾客所获的奖励额的期望为

E(X)=20×12+60×12=40(元).

解决此类问题的一般步骤为: ①明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果; ②求出随机变量取各个值的概率; ③列出概率分布; ④利用均值公式进行计算.

1.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽

3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个.

(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;

(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.

解:(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 P(A)

=C12CC13130C15=14.

(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且

P(X=0)=CC31380=175,P(X=1)=CC1231C028=175, P(X=2)=CC223C1018=115.

综上知,X 的分布列为

X0

1

2

P

7 15

7 15

1 15

2

故 E(X)=0×175+1×175+2×115=35???或E X =3×120=35???. 2.某运动员投篮命中率为 p=0.6.

(1)求一次投篮时命中次数 X 的数学期望;

(2)求重复 5 次投篮时,命中次数 Y 的数学期望.

解:(1)投篮一次,命中次数 X 的概率分布为:

X0

1

P 0.4 0.6

则 E(X)=p=0.6.

(2)由题意,重复 5 次投篮,命中的次数 Y 服从二项分布,即 Y~B(5,0.6).

则 E(Y)=np=5×0.6=3.

均值性质的应用

[例 2] 已知随机变量 X 的概率分布为:

X -2 -1 0 1 2

P

1 4

1 3

1 5

m

1 20

(1)求 m 的值;

(2)求 E(X);

(3)若 Y=2X-3,求 E(Y).

[解] (1)由随机变量概率分布的性质,

14+13+15+m+210=1,解得 m=16.

(2)E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×210=-1370.

(3)法一:由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,

得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×???-1370???-3=-1652.

法二:由于 Y=2X-3,

所以 Y 的概率分布为:

Y -7 -5 -3 -1 1

P

1 4

1 3

1 5

1

1

6

20

所以 E(Y)=(-7)×14+(-5)×13+(-3)×15+(-1)×16+1×210=-1652.

3

保持例题条件不变,若 Y=aX+3,且 E(Y)=-121,求 a 的值. 解:E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-3107a+3=-121, ∴a=15.

求均值的关键是求出概率分布,只要求出随机变量的概率分布,就可以套用均值的公式 求解,对于 aX+b 型随机变量的均值,可以利用均值的性质求解,当然也可以先求出 aX+b 的概率分布,再用定义求解.

3.随机变量 X 可能取的值为 1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又 X 的数学期望 E(X)=3,求 E(aX+b)的值.

解:由已知得(a×1+b)+(a×2+b)+(a×3+b)+(a×4+b)=1,即 10a+4b=1.①

又 E(X)=3,故(a+b)×1+(2a+b)×2+(3a+b)×3+(4a+b)×4=3,即 30a+10b

=3.②

联立①,②,解得 b=0,a=110,

∴E(aX+b)=aE(X)+b=110E(X)=110×3=0.3.

离散型随机变量的均值的实际应用

[例 3] 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 X 的分布列为

X1

2

3

4

5

P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为

250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.Y 表示经销一件该商品的利润.

(1)求事件 A“购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A); (2)求 Y 的分布列及均值 E(Y).

[解] (1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知, A

表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”.

P( A )=(1-0.4)3=0.216,

P(A)=1-P( A )=1-0.216=0.784.
(2)Y 的可能取值为 200 元,250 元,300 元. P(Y=200)=P(X=1)=0.4, P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,

4

P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2, 因此 Y 的分布列为
Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).

处理与实际问题有关的均值问题,应首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的 知识去分析相应各事件可能性的大小,并求出随机变量的概率分布,最后利用有关的公式求 出相应的概率及均值.

4.某游戏射击场规定:①每次游戏射击 5 发子弹;②5 发全部命中奖励 40 元,命中 4

发不奖励,也不必付款,命中 3 发或 3 发以下,应付款 2 元.现有一游客,其命中率为 0.5.

(1)求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率;

(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.

解:(1)设 5 发子弹命中 X(X=0,1,2,3,4,5)发,

则由题意有 P(X=5)=C55???12???5=312. (2)X 的分布列为

X0

1

2

3

4

5

P

1 32

5 32

10 32

10 32

5 32

1 32

设游客在一次游戏中获得奖金为 Y 元,

于是 Y 的分布列为

Y -2 0

40

P

26 32

5 32

1 32

故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为

E(Y)=(-2)×2362+0×352+40×312=-0.375(元).

解题高手 妙解题

某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3,一旦发生,将造成 400

万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙预防措施所需

的费用分别为 45 万元和 30 万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为 0.9

和 0.85,若预防方案允许甲、乙两种措施单独采用,联合采用或不采用,请确定预防方案

使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的均匀值)

5

[尝试]

[巧思] 用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少,分别求出单独采用甲措 施,单独采用乙措施,联合采用甲乙措施的总费用,然后选取最小者即可.
[妙解] ①不采取预防措施时,总费用损失期望值为 400×0.3=120(万元); ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1, 损失期望值为 400×0.1=40(万元), 所以总费用为 45+40=85(万元). ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1-0.85 =0.15, 损失均匀值为 400×0.15=60(万元), 所以总费用 30+60=90(万元). ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用 45+30=75(万元), 发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015, 损失均值为 400×0.015=6(万元), 所示总费用为 75+6=81(万元). 综合①②③④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用 最少.

1.随机变量次品数 X 的概率分布为:

X0

2

4

P 0.4 0.3 0.3

则 E(5X+4)等于( )

A.13

B.11

C.2.2

D.2.3

解析:选 A E(X)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8,

E(5X+4)=5E(X)+4=5×1.8+4=13.

2.口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状相同的小球,从中任取 2 个,则取出

的球的最大编号 X 的期望为( )

1

2

8

A.3

B.3

C.2

D.3

解析:选 D X=2,3.

6

P(X=2)=C123=13,P=(X=3)=CC2312=23. ∴E(X)=2×13+3×23=83.

3.一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8,则他独立射击 3 次中靶次数 X 的均值为

() A.0.8

B.0.83

C.3

D.2.4

解析:选 D 射手独立射击 3 次中靶次数 X 服从二项分布,即 X~B(3,0.8),∴E(X)=

3×0.8=2.4.

4.某人共有 5 发子弹,他射击一次命中目标的概率为12,击中目标射击停止,射击次数

X 为随机变量,则 E(X)=________. 解析:由题易知,X 的概率分布为:

X1 2 3

4

5

P

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

可知 E(X)=1×12+2×14+3×18+4×116+5×116=1361.

答案:3116

5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅

拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)等于( )

A.112265

B.65

168

7

C.125

D.5

解析:选 B 由题意 X 可取 0,1,2,3,且 P(X=0)=13235=12275,P(X=1)=91×256=15245,

P(X=2)=3× 12152=13265,P(X=3)=1825.故 E(X)=15245+2×13265+3×1285=65.

6.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买

甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率;

(2)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望.

解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险;

7

B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B, P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D=-C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, X~B(100,0.2),即 X 服从二项分布, 所以期望 E(X)=100×0.2=20.

一、选择题

1.已知 X~B???n,12???,Y~B???n,13???.且 E(X)=15,则 E(Y)等于(

)

A.5

B.10

C.15

D.20

解析:选 B 因为 X~B???n,12???,所以 E(X)=n2,

又 E(X)=15,则 n=30.所以 Y~B???30,13???,

故 E(Y)=30×13=10.

2.已知随机变量 X 的概率分布为:

X4

a 9 10

P 0.3 0.1 b 0.2

E(X)=7.5,则 a 等于( )

A.5

B.6

C.7

D.8

解析:选 C ∵E(X)=4×0.3+0.1×a+9b+2=7.5,

0.3+0.1+b+0.2=1,∴a=7,b=0.4.

3.袋中有 7 个球,其中有 4 个红球,3 个黑球,从袋中任取 3 个球,以 X 表示取出的

红球数,则 E(X)为( )

A.6315 B.172 C.2325 D.3158

解析:选 B 随机变量 X 的取值分别为 0,1,2,3,

且 P(X=0)=CC3733=315,P(X=1)=CC14C37 23=1325, P(X=2)=CC24C37 13=1385,P(X=3)=CC3734=345,

8

∴E(X)=0×315+1×1325+2×1385+3×345=172.

4.节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜

花以每束 1.6 元处理.根据前 5 年节日期间对这种鲜花销售情况需求量 X(束)的统计(如下

表),若进这种鲜花 500 束在今年节日期间销售,则期望利润是( )

X 200 300 400 500

P 0.20 0.35 0.30 0.15

A.706 元

B.690 元

C.754 元

D.720 元

解析:选 A 节日期间这种鲜花需求量的均值为 E(X)=200×0.20+300×0.35+

400×0.30+500×0.15=340(束).

设利润为 Y,则 Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5

=3.4X-450,

所以 E(Y)=3.4E(X)-450

=3.4×340-450=706(元).

二、填空题

5.若随机变量 X~B(40,p),且 E(X)=16,则 p=________.

解析:∵E(X)=16,∴40p=16,∴p=0.4.

答案:0.4

6.同时抛掷 2 枚均匀的硬币 100 次,设两枚硬币都出现正面的次数为 X,则 E(X)=

________.

解析:掷两枚均匀的硬币,两枚硬币都出现正面的概率为 p=12×12=14,所以 X~

B???100,14???. 故 E(X)=np=100×14=25.

答案:25

7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕

业生得到甲公司面试的概率为23,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让

其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)=112,则随机变量

X 的数学期望 E(X)=________.

解析:∵P(X=0)=112=(1-p)2×13,∴p=12,随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,因此

9

P(X=0)=112,P(X=1)=23×???12???2+2×13×???12???2=13,P(X=2)=23×???12???2×2+13×???12???2=152,P(X

=3)=23×???12???2=16,因此 E(X)=1×13+2×152+3×16=53.

5 答案:3

8.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中任意抽出 3 张卡片,设 3

张卡片上的数字之和为 X,则 X 的数学期望是________.

解析:X 的取值为 6,9,12,相应的概率为

P(X=6)=CC31380=175,P(X=9)=CC2831C012=175,P(X=12)=CC1831C022=115,E(X)=6×175+9×175+

1 12×15=7.8.

答案:7.8

三、解答题

9.某小组共 10 人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分

别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.

(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率;

(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学

期望.

解:(1)由已知,有 P(A)=C13CC14+210 C23=13.

所以事件 A 发生的概率为13.

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.

P(X=0)=C23+CC21230+C24=145, P(X=1)=C13C13C+210C13C14=175,P(X=2)=CC1321C014=145.

所以随机变量 X 的分布列为

X0

1

2

P

4 15

7 15

4 15

随机变量 X 的数学期望

E(X)=0×145+1×175+2×145=1.

10.已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一

10

件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3

件正品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列. 解:(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,P(A)=AA12A25 13=

130.

(2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X=200)=AA2522=110, P(X=300)=A33+AC3512C13A22=130, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)

136 =1-10-10=10.

故 X 的分布列为

X 200 300 400

P

1 10

3 10

6 10

E(X)=200×110+300×130+400×160=350.

11


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