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学生第四章三角函数

学生第四章三角函数

冯老师一轮复习数学

2、 ? ? l . r
3、弧长公式: l ? n?R ? ? R . 180
4、扇形面积公式: S ? n?R 2 ? 1 lR . 360 2

1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1. 2、 商数关系: tan? ? sin? .
cos? 3、 倒数关系: tan? cot? ?1
§1.3、三角函数的诱导公式

§1.2.1、任意角的三角函数

(概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z )

1、 设? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P?x, y?,那么: sin? ? y, cos? ? x, tan? ? y
x
2、 设点 A? x , y ? 为角? 终边上任意一点,那么:
(设 r ? x2 ? y2 )

sin? ? y , cos? ? x , tan? ? y ,

r

r

x

cot? ? x y

1、 诱导公式一:
sin?? ? 2k? ? ? sin?, cos?? ? 2k? ? ? cos?, (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan?.
2、 诱导公式二:
sin?? ? ? ? ? ?sin?, cos?? ? ? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? tan?.

3、 sin? , cos? , tan? 在四个象限的符号和

三角函数线的画法.

y T
P

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT

O M Ax

3、诱导公式三:
sin?? ? ? ? ?sin?, cos?? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? tan?.
4、诱导公式四:
sin?? ? ? ? ? sin?, cos?? ? ? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? ? tan?.

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°,

90°,180°,270 等的三角函数值.

?

0?

?

?

?

2?

3?

? 3?

2?

6

4

3

2

3

4

2

sin ?

cos ?

5、诱导公式五:
sin?? ? ? ? ?? ? cos? , ?2 ?
cos?? ? ? ? ?? ? sin ?. ?2 ?
6、诱导公式六:

tan ?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

sin?? ? ? ? ?? ? cos? , ?2 ?
cos?? ? ? ? ?? ? ? sin ?. ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象:

y=sinx

y

-4?

-7? -3? 2

-5? 2
-2?

-3? -? 2

?
-2 1 o
-1

? 2

?

3? 2

7?
2 2? 5? 3?
2

4?

x

y=cosx

y

§1-4.? 4-72.?3-3、? -正52? 切-2? 函-32?数-? 的- ?2图-11象o 与?2 性? 质32? 2?

3? 5? 2

7? 2

4?

x

冯老师一轮复习数学

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质: 定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

y ? sin x 在 x ?[0, 2? ] 上的五个关键点为:

(0,0)(,? ,1)(,?,0)(,3? ,-1)(,2?,0).

2

2

1、记住正切函数的图象:
y
y=tanx

2、记住余切函数的图象:
y
y=cotx

3? -2

-?

? -2

o?
2

? 3? x
2

-?

? -2

o?
2

? 3? 2? x
2

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义:对于函数 f ?x? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x?,那么函数 f ?x? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cosx

y ? tan x

冯老师一轮复习数学

图象

定义
R


值域

[-1,1]

R
[-1,1]

{x | x ? ? ? k? , k ? Z} 2
R

最值

x ? 2k? ? ? , k ? Z时,y ? 1

2

max

x ? 2k? ? ? , k ? Z时,y ? ?1

2

min

周期

T ? 2?



x ? 2k? , k ? Z时,y ? 1 max
x ? 2k? ? ? , k ? Z时,y ? ?1 min
T ? 2?


T ??

奇偶









单调 性
k?Z

在[2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递

2

2



在[2k? ? ? , 2k? ? 3? ]上单调递

2

2



在[2k? ?? , 2k? ] 上单调递 增
在[2k? , 2k? ?? ]上单调递


在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递

2

2



对称 性

对称轴方程: x ? k? ? ?
2

k ? Z 对称中心 (k? , 0)

对称轴方程: x ? k?
对称中心 (k? ? ? , 0) 2

无对称轴 对称中心 ( k? , 0)
2

一轮复习数学
§1.5、函数 y ? Asin??x ? ? ?的图象

冯老师

1、对于函数:

y ? Asin??x ??? ? B? A ? 0,? ? 0? 有:振幅 A,周期 T ? 2? ,初相? ,相位?x ? ? ,
?

频率

f

?

1 T

?

? 2?

.

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

y ? Asin ??x ??? ? B 的图象之间的平移伸缩变换关系.

① 先平移后伸缩:
y ? sin x 平移 |?| 个单位 y ? sin ? x ???

(左加右减)
横坐标不变 y ? Asin? x ???

纵坐标变为原来的 A 倍
纵坐标不变 y ? Asin ??x ???

横坐标变为原来的 | 1 | 倍
?
平移 | B| 个单位 y ? Asin ??x ??? ? B

(上加下减)

② 先伸缩后平移:

y ? sin x 横坐标不变 y ? Asin x

纵坐标变为原来的 A 倍
纵坐标不变 y ? Asin ?x

横坐标变为原来的 | 1 | 倍
?

? 平移 个单位

y ? Asin??x ???

?

4

一轮复习数学 (左加右减)
平移 | B| 个单位 y ? Asin ??x ??? ? B

冯老师

(上加下减)

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心

函数 y ? sin(? x ??) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ??) ,x∈R(A,? ,? 为常数,且 A≠0)

的周期T ? 2? ;函数 y ? tan(? x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω,? 为常数,且 A≠0)

|? |

2

的周期T ? ? . |? |

对于 y ? Asin(?x ??) 和 y ? Acos(?x ??) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴
与最值点联系.

求函数 y ? Asin(?x ??) 图像的对称轴与对称中心,只需令?x ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) 与
2 ?x ?? ? k? (k ? Z)

解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.

4、由图像确定三角函数的解析式

利用图像特征: A ? ymax ? ymin , B ? ymax ? ymin .

2

2

? 要根据周期来求,? 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用

1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换

§3.1.1、两角差的余弦公式

记住 15°的三角函数值:

?

sin? cos? tan?

? 12

6? 2 4

6? 2 4

2? 3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
5

一轮复习数学

1、 sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

2、 sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

5、

tan ??

?

?

?

?

tan? ?tan ? 1?tan? tan ?

.

6、

tan ??

?

?

?

?

tan? ?tan ? 1?tan? tan ?

.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、 sin 2? ? 2sin? cos? ,

变形:

sin?

cos?

?

1 2

sin

2?

.

2、 cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 2cos2 ? ?1 ? 1? 2sin 2 ? .

变形如下:

升幂公式:

??1 ? ? ??1 ?

cos cos

2? 2?

? ?

2 cos2 ? 2sin2 ?

降幂公式:

??cos2 ? ? ?sin2 ?

? ?

1 (1? cos 2? ) 2 1 (1? cos 2? )

?

2

3、 tan 2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

.

4、 tan? ? sin 2? ? 1? cos 2? 1? cos 2? sin 2?

§3.2、简单的三角恒等变换

1、 注意正切化弦、平方降次.

2、辅助角公式
6

冯老师

一轮复习数学

冯老师

y ? asin x ? bcosx ? a2 ? b2 sin(x ? ?)

(其中辅助角? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan? ? b ). a
第一章:三角函数

§1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角? 终边相同的角的集合:
?? ? ? ? ? 2k?,k ? Z?.

§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角

第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角 α 的终边所在象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.(2017·福州模拟)已知角 θ 的终边经过点 P(4,m),且 sin θ =35,则 m 等于

()

A.-3

B.3

16 C. 3

D.±3

3.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐 标为( )

A.(-12,

3 2)

B.(- 23,-12)

C.(-12,-

3 2)

D.(- 23,12)

4.(2016·合肥模拟)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终

边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( )

7

一轮复习数学

冯老师

A.-45 3
C.5
第2讲

B.-35 4
D.5
同角三角函数基本关系式与诱导公式

5.已知 tan α =12,且 α∈???π ,3π2 ???,则 sin α =(

)

A.-

5 5

5 B. 5

25 C. 5

D.-2 5 5

6.(2017·甘 肃 省 质 检 ) 向 量 a = ???13,tan α ??? , b = (cos α , 1) , 且 a∥b , 则

cos???π2 +α???=(

)

A.-13

1 B.3

C.-

2 3

D.-2 3 2

7.(2017·孝感模拟)已知 tan α =3,则1s+in22αsin-αcocso2αs α的值是(

)

1

A.2

B.2

C.-12

D.-2

8.若 sin θ ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( )

A.1+ 5

B.1- 5

C.1± 5

D.-1- 5

9.sin21°+sin22°+…+sin290°=________.

第 3 讲 三角函数的图象与性质

10.(2017·石家庄模拟)函数 f(x)=tan???2x-π3 ???的单调递增区间是(

)

A.???kπ2 -π12,kπ2 +51π2 ???(k∈Z)

B.???kπ2 -π12,kπ2 +51π2 ???(k∈Z)

C.???kπ -π12,kπ +51π2 ???(k∈Z)

D.???kπ +π6 ,kπ +2π3 ???(k∈Z)

8

一轮复习数学

冯老师

11.(2017·成都诊断)函数 y=cos2x-2sin x 的最大值与最小值分别为( )

A.3,-1

B.3,-2

C.2,-1

D.2,-2

12.函数

y=12sin

x+

3 2 cos

x???x∈???0,π2

??????的单调递增区间是________.

第 4 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

13.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平

移后图象的对称轴为( )

A.x=kπ2 -π6 (k∈Z)

B.x=kπ2 +π6 (k∈Z)

C.x=kπ2 -π12(k∈Z)

D.x=kπ2 +π12(k∈Z)

14.(2017·衡水中学金卷)若函数 y=sin(ωx-φ)(ω>0,|φ

π |< 2

)在区间???-π2

,π

???上的图象如图所示,则

ω,φ



值分别是( )

A.ω =2,φ=π3

B.ω =2,φ=-2π3

C.ω =12,φ=π3

D.ω =12,φ=-2π3

15.(2016·长沙模拟)函数 f(x)=3sinπ2 x-log1x 的零点的个数是(

)

2

A.2

B.3

C.4

D.5

16.(2017·西安调研)设函数 f(x)=sin???2x+π6 ???,则下列结论正确的是(

)

A.f(x)的图象关于直线 x=π3 对称

B.f(x)的图象关于点???π6 ,0???对称

C.f(x)的最小正周期为π ,且在???0,π12???上为增函数

9

一轮复习数学

冯老师

D.把 f(x)的图象向右平移π12个单位,得到一个偶函数的图象
第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

17.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )

A.-

3 2

3 B. 2

C.-12

1 D.2

18.(2016·肇庆三模)已知 sin α =35且 α 为第二象限角,则 tan???2α +π4 ???=(

)

A.-159

B.-159

C.-3117

D.-1371

课后作业

1.给出下列四个命题:

①-3π4 是第二象限角;②4π3 是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-

315°是第一象限角.

其中正确的命题有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2.(2016·郑州一模)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos α =

15x,则 tan α 等于( )

4 A.3

3 B.4

C.-34

D.-43

3.函数 y= 2sin x-1的定义域为________.

4.(2017·长沙模拟)已知 α 是第四象限角,sin α =-1123,则 tan α =(

)

A.-153

5 B.13

C.-152

12 D. 5

5.已知 sin α = 55,则 sin4α -cos4α 的值为(

)

A.-15

B.-35

1 C.5

3 D.5

6.(2016·四川卷)sin 750°=________.

10

一轮复习数学

冯老师

7.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos???2x+π6 ???,④y=tan???2x-π4 ???中,

最小正周期为π 的所有函数为( )

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③

8.(2016·全国Ⅲ卷)函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=sin x+ 3cos x 的 图象至少向右平移________个单位长度得到.
9.(2017·西安二检)已知 α 是第二象限角,且 tan α =-13,则 sin 2α =( )

A.-3

10 10

3 10 B. 10

C.-35

3 D.5

10.已知 cos4α -sin4α =23,且 α∈???0,π2 ???,则 cos???2α +π3 ???=________.

11


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