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安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高三上学期统一考试数学理试题_图文

安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高三上学期统一考试数学理试题_图文

2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷

数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) . 1. 全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) ( A. {x ? 1 ? x ? 3} B. {x ? 1 ? x ? 3} C. {x x ? ?1}

B?


D. {x x ? 3}

4 2.已知数列 {an } 满足 3an ?1 ? an ? 0 , a2 ? ? ,则 {an } 的前 10 项和等于( ) 3 1 A. ?6(1 ? 3?10 ) B. (1 ? 3?10 ) C. 3(1 ? 3?10 ) D. 3(1 ? 3?10 ) 9 ?x ? 0 ? 3.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? x ? 3 y 的最大值等于 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?

(

) A.9 B.12 C.27 D.36 n?2 1? a ? (a ? 1, n ? N * ) ,在验证 n= 1? a

4.用数学归纳法证明: “ 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1

1 时,左端计算所得的项为( ) 1? a A. 1 B. C. D. 1? a ? a2 1 ? a ? a2 ? a3 5. 非零向量 a , b ,| a | ? m ,| b | ? n , 若向量 c ? ?1 a ? ? 2 b , 则 | c | 的最大值为 ( ) A. ?1 m ? ? 2 n 对 6. 若 函数f ( x) ? ( )
? 10 ? A. ? 2, ? ? 3? ? 10 ? B. ? 2, ? ? 3? ? 10 17 ? C. ? , ? ? 3 4?
? 17 ? D. ? 2, ? ? 4?

B. | ?1 | m? | ? 2 | n

C. | ?1 m ? ? 2 n |

D.以上均不

x3 a 2 ?1 ? ? x ? x ? 1 在区间 ? , 4 ? 上有极值点,则实数 a 的取值范围是 3 2 ?3 ?

7.已知 a, b, c 为三条不同的直线, ? 和 ? 是两个不同的平面,且
a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? c .下列命题中正确的是(



A.若 a 与 b 是异面直线,则 c 与 a, b 都相交 B.若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直
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C.若 a // b ,则 a // c D.若 a ? b, a ? c, 则 ? ? ?

8.设 a, b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? A. 充分不必要条件 要条件

1 1 ? b ? ”成立的( a b

) D. 充

B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件

9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 , OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向

量 CA 在 CB 方向上的投影为 ( A. 3 B. 3
2

) C. ? 3
2 2 2 2

D. ? 3

10.设等差数列 ?an ?满足:

sin a3 ? cos a3 ? cos a3 cos a6 ? sin a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 sin(a4 ? a5 )

d ? (?1, 0) .若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首

项 a1 的取值范围是(
7? 4? ? A. ? , ? ? 3 ? ? 6

)
4? 3? ? B. ? , ? ? 2 ? ? 3 7? 4? ? C. ? , ? 3 ? ? 6 ? 4? 3? ? D. ? , ? 2 ? ? 3 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题纸相 应位置上) . 11 .已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 ___________。
2

2
2 正视图

2

2
侧视图

2
俯视图

1 2 12 . 若 存 在 实 数 x ? [ , 2] 满 足 2 x ? a ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 3 x ______________.

13.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (其中 x ? R , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )的部分图 象如下图所示,如果对函数 g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 也可得到 f(x)函数的图像, 则函数 g(x)的解析式是_____________.

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a1 a 2 ? ?2 ,则当 a3 取最大值时, 14. 已知首项为正数的等差数列 ?a n ? 中, 数列 ?a n ?
的公差 d = .

15.函数 f ( x) 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时总有 x1 ? x 2 ,则称
f ( x) 为单函数,例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题:

①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x ( x ? R) 是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f ( x) 为单函数,则函数 f ( x) 在定义域上具有单调性。 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) . 16. (本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动,
?MCN ? 2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 3
A M

b 、c.
(1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;
N B θ C

(2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值.
16 题图

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17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?x n ? 满足 x1 ? 数列 ?x 2 n ? 的单调性,并证明你的结论.

1 1 , x n ?1 ? , n ? N * .猜想 2 1 ? xn

18. (本小题满分 12 分)在多面体 ABCDE 中, BC ? BA , DE // BC , AE ? 平 面 BCDE , BC ? 2 DE , F 为 AB 的中点. (1)求证: EF // 平面 ACD ; D ( 2 )若 EA ? EB ? CD ,求二面角 B ? AD ? E 的正切 值的大小.

E

C F
19. (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ?的公差为 ?1 , 首项为正数,将数列 ?an ?的前 4 项抽去其中一项后, 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ?的前 3 项,
18 题图

B

A

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ; 比数列.

(2)是否存在三个不等正整数 m, n, p ,使 m, n, p 成等差数列且 S m , S n , S p 成等

20. (本小题满分 13 分)如图,某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形,现一客户 订制该圆锥纸筒,并要求该圆锥纸筒的容积为 π 立方分米.设圆锥纸筒底面半 径为 r 分米,高为 h 分米. (1)求出 r 与 h 满足的关系式; (2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,求最省时 的值.
h r

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20 题图

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x???( x ? ?1) . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 1 ? 求证: a2 a3a4 ?
5 4

1 1 ? ???(n ? N ? ) , 2n n 2

; ? an ? e ( e 为自然对数的底数)

xf ( x ? 1) ? x 2 (3)若 k ? Z ,且 k ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1

2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷 数学试题(理科)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) . 1. 全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) ( A A. {x ? 1 ? x ? 3} B. {x ? 1 ? x ? 3} C. {x x ? ?1}

B?


D. {x x ? 3}

4 2.已知数列 {an } 满足 3an ?1 ? an ? 0 , a2 ? ? ,则 {an } 的前 10 项和等于( C ) 3 1 A. ?6(1 ? 3?10 ) B. (1 ? 3?10 ) C. 3(1 ? 3?10 ) D. 3(1 ? 3?10 ) 9 ?x ? 0 ? 3.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? x ? 3 y 的最大值等于 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?

( B

) A.9 B.12 C.27 D.36 n?2 1? a ? (a ? 1, n ? N * ) ,在验证 n= 1? a

4.用数学归纳法证明: “ 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1

1 时,左端计算所得的项为( C ) 1? a A. 1 B. C. D. 1? a ? a2 1 ? a ? a2 ? a3 5. 非零向量 a , b , 若向量 c ? ?1 a ? ? 2 b , 则 | c | 的最大值为 ( B ) |a|?m, |b|? n ,
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A. ?1 m ? ? 2 n 对 6. 若 函数f ( x) ? ( D )
? 10 ? A. ? 2, ? ? 3?

B. | ?1 | m? | ? 2 | n

C. | ?1 m ? ? 2 n |

D.以上均不

x3 a 2 ?1 ? ? x ? x ? 1 在区间 ? , 4 ? 上有极值点,则实数 a 的取值范围是 3 2 ?3 ?
? 10 ? B. ? 2, ? ? 3? ? 10 17 ? C. ? , ? ? 3 4?
? 17 ? D. ? 2, ? ? 4?

7.已知 a, b, c 为三条不同的直线, ? 和 ? 是两个不同的平面,且
a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? c .下列命题中正确的是(

C



A.若 a 与 b 是异面直线,则 c 与 a, b 都相交 B.若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直
C.若 a // b ,则 a // c D.若 a ? b, a ? c, 则 ? ? ?

8.设 a, b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? A. 充分不必要条件 要条件

1 1 ? b ? ”成立的( a b

D

) D. 充

B. 必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件

9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 , OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向

量 CA 在 CB 方向上的投影为 ( A A. 3 B. 3
2

) C. ? 3
2 2 2 2

D. ? 3

10.设等差数列 ?an ?满足:

sin a3 ? cos a3 ? cos a3 cos a6 ? sin a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 sin(a4 ? a5 )

d ? (?1, 0) .若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首

项 a1 的取值范围是(
7? 4? ? A. ? , ? ? 3 ? ? 6

B )
4? 3? ? B. ? , ? ? 2 ? ? 3 7? 4? ? C. ? , ? 3 ? ? 6 ? 4? 3? ? D. ? , ? 2 ? ? 3 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题纸相 应位置上) . 11 .已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 ____ 6? _______。
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2

2
2 正视图

2

2
侧视图

2
俯视图

1 2 12 . 若 存 在 实 数 x ? [ , 2] 满 足 2 x ? a ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 3 x 20 ___ (??, ) _____. 3

13.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (其中 x ? R , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )的部分图 象如下图所示,如果对函数 g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 也可得到 f(x)函数的图像,则函数 g(x)的解析式是 2 sin( 4 x ?
2? ). 3

a1 a 2 ? ?2 ,则当 a3 取最大值时, 14. 已知首项为正数的等差数列 ?a n ? 中, 数列 ?a n ?
的公差 d = -3 .

15.函数 f ( x) 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ( x) 为
单函数, 例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单 函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x ( x ? R) 是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f ( x) 为单函数,则函数 f ( x) 在定义域上具有单调性。
其中的真命题是___②③④___.(写出所有真命题的编号)
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) . 16. (本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动,
?MCN ? 2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 3
A M

b 、c.
(1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;
N B θ C

(2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值. 解: (1)
16 题图

a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,
?MCN ? 2 1 ? , cos C ? ? , 3 2
2 2

? a ? c ? 4 、b ? c ? 2. 又

a 2 ? b2 ? c2 1 ?? , ? 2ab 2
(4 分) 恒 等 变 形 得
?c ? 7.

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?

1 ?? , 2

??

c 2 ? 9c ? 14 ? 0 , 解 得 c ? 7 或 c ? 2 . 又

c?4 ,

??(6 分) ) 在
AC ? sin ?



2
?

?ABC





AC BC AB ? ? sin ?ABC sin? BAC sin? ACB

, ,

BC 3 ? ?2 ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?



AC ? 2sin ?

?? ? BC ? 2sin ? ? ? ? . ?3 ?

??(8 分)

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?

?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 3? 2 ? ?2 ?

?

?(10 分) 又
?

? ? 2? ? ?? , ? ? ? 0, ? ,? ? ? ? ? 3 3 3 ? 3?


??

?
3

?

?
2



??

? 6





f ? ??











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2? 3 .

??(12 分)
1 1 , x n ?1 ? , n ? N * .猜想 2 1 ? xn

17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?x n ? 满足 x1 ? 数列 ?x 2 n ? 的单调性,并证明你的结论. 1 1 解:由 x1 ? 及 x n ?1 ? , 2 1 ? xn 2 5 13 得 x 2 ? , x 4 ? , x6 ? , 3 8 21 由 x 2 ? x 4 ? x6 猜想:数列 ?x 2 n ? 是递减数

列. ??(4 分) 下面用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时,已证命题成立. (2)假设当 n ? k 时命题成立,即 x 2 k ? x 2 k ? 2 ,易知 x k ? 0 , 1 1 那么 x 2 k ? 2 ? x 2 k ? 4 ? ? 1 ? x 2 k ?1 1 ? x 2 k ?3 x 2 k ?3 ? x 2 k ?1 = (1 ? x 2 k ?1 )(1 ? x 2 k ?3 ) 1 1 ? 1 ? x2k ?2 1 ? x2k = (1 ? x 2 k ?1 )(1 ? x 2 k ?3 ) x2k ? x2k ?2 ?0 = (1 ? x 2 k )(1 ? x 2 k ?1 )(1 ? x 2 k ? 2 )(1 ? x 2 k ?3 ) 即 x 2 ( k ?1) ? x 2 ( k ?1) ? 2 也就是说,当 n ? k ? 1 时命题也成立. 结合(1)和(2)知命题成立. ?? (12 分) 18. (本小题满分 12 分)在多面体 ABCDE 中, BC ? BA , DE // BC , AE ? 平 面 BCDE , BC ? 2 DE , F 为 AB 的中点. (1)求证: EF // 平面 ACD ; D ( 2 )若 EA ? EB ? CD ,求二面角 B ? AD ? E 的正切 值的大小.

E

C F
18 题图

B

证明: (Ⅰ)取 AC 中点 G ,连接 DG, FG . 因为 F 是 AB 的中点,所以 FG 是 ?ABC 的中位线,

A

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则 FG // BC , FG ?

1 BC ,所以 FG // DE , FG ? DE , 2

??(2

分) 则四边形 DEFG 是平行四边形,所以 EF // DG ,故 EF // 平面 ACD . ?? (4 分) (Ⅱ)过点 B 作 BM 垂直 DE 的延长线于点 M , 因为 AE ? 平面 BCDE ,所以 AE ? BM ,则 BM ? 平面 ADE , 过 M 作 MH ? AD ,垂足为 H ,连接 BH ,易证 AD ? 平面 BMH , 所以 AD ? BH ,则 ?BHM 是二面角 B ? AD ? E 的平面角. ?? (7 分) 设 DE ? a ,则 BC ? AB ? 2a , 7 a 在 ?BEM 中,EM ? ,BE ? 2a ,所以 BM ? ??(10 a. 2 2 分) 6 42 又因为 ?ADE ∽ ?MDH ,所以 HM ? a ,则 tan ?BHM ? . ??(12 2 6 分) 19. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ?的公差为 ?1 ,首项为正数, 将数列 ?an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ; 的前 4 项抽去其中一项后, 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ?的前 3 项,

(2) 是否存在三个不等正整数 m, n, p ,使 m, n, p 成等差数列且 S m , S n , S p 成等比 数列. 解: (1)设前 4 项为 a, a ? 1, a ? 2, a ? 3. 则 (a ? 1) 2 ? a (a ? 2) 或 (a ? 2) 2 ? (a ? 1)(a ? 3) 或 (a ? 1) 2 ? a (a ? 3) 或 (a ? 2) 2 ? a (a ? 3)

??(3 分) ??(6 分)

? n 2 ? 9n 2 2 (2) 若S m , S n , S p 成等比数列,则S n ? S m S p 解得a ? 4 ? a n ? 5 ? n, S n ? ?

n 2 (9 ? n) 2 m(9 ? m) p (9 ? p ) ? ??(9 分) 4 4 n 2 (9 ? n) 2 m(9 ? m) p (9 ? p ) ? ? 4 4 m? p 2 9? p?9?m 2 但 mp ? ( (12 分) ) ? n 2 , (9 ? m)(9 ? p ) ? ( ) ? (9 ? n) 2 ?? 2 2 ? m ? p ? 等号不成立 故不存在三个不等正整数 m, n, p , 使 m, n, p 成等差数列且 S m , S n , S p 成等比数列. ??(13
分)

20. (本小题满分 13 分)如图,某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形,现一客户 订制该圆锥纸筒,并要求该圆锥纸筒的容积为 π 立方分米.设圆锥纸筒底面半
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径为 r 分米,高为 h 分米. (1)求出 r 与 h 满足的关系式; (2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,求最省时 的值.
h r

20 题图

解: (1)设圆锥纸筒的容积为 V ,则 V ? ?r 2 h ,
1 3 故 r 与 h 满足的关系式为 r 2 h ? 3 ;

1 3

由该圆锥纸筒的容积为 π ,则 ?r 2 h ? ? ,即 r 2 h ? 3 , ???? (4 分) (2)工厂要求制作该纸筒的材料最省,即所用材料的面积最小,即要该圆锥 的侧面积最小, 设该纸筒的侧面积为 S ,则 S ? ?rl ,其中 l 为圆锥的母线长, 且 l ? r 2 ? h2 , 所以 S ? ?r r 2 ? h 2 ? ? (r 2 ? h 2 )r 2 ? ? ( ? h 2 ) ( h > 0 ) , 分)
3 3 9 ? 3h ( h > 0 ) , h h h2 18 3 由 f ?(h) ? ? 3 ? 3 ? 0 ,解得 h ? 6 , h 3 3 当 0 < h < 6 时, f ?(h) < 0 ;当 h > 6 时, f ?(h) > 0 ;
3 h 3 h

??(7

设 f ( h) ? ( ? h 2 ) ?

h ? 6 时 f (h) 取得极小值, 因此, 且是最小值, 此时 S ? ? f (h) 亦最小; ??(11

3

分) 由 r 2h ? 3 得 (13 分)
h h h2 h3 6 ? 2 ? ? ? 2 ,所以最省时 的值为 2 ?????? r r r 3 3

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x???( x ? ?1) . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 1 ?
1 1 ? ???(n ? N ? ) , 2n n 2
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求证: a2 a3a4 ?

; ? an ? e ( e 为自然对数的底数)

5 4

(3)若 k ? Z ,且 k ?

xf ( x ? 1) ? x 2 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1
1 x 。 ?1 ? ? x ?1 x ?1

解: (1)因 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ,所以 f ?( x) ?

当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 。 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, 0) , 单调递减区间是 (0, ??) 。 (3 分) (2)由(1)知,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x 。 因为 an ? 1 ? 令 k ? 2,3,
1 1 1 1 1 1 ? 2 ???(n ? N ? ) ,所以 ln ak ? ln(1 ? k ? 2 ? ? k ? 2 。 n 2 n 2 k 2 k
, n ,这 n ? 1 个式子相加得

??

ln a2 ? ln a3 ?

? ln an ? (

1 1 ? ? 2 2 23

?

1 1 1 )?( 2 ? 2 ? n 2 2 3

?

1 ) n2

1 1 1 1 1 ? ( ? n ) ?[ 2 ? ? ? 2 2 2 2 ? 3 3? 4

?

1 ] ( n ? 1) n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? n ) ?[ ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 2 2 4 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 5 ? ( ? n)?( ? ? ) ? ? n ? ? . 2 2 4 2 n 4 2 n 4

即 ln(a2 a3 ? 分)

? an ) ?

5 ,所以 a2 a3a4 ? 4

? an ? e 4 。

5

??( 8

xf ( x ? 1) ? x 2 x ln x ? x x ? ln x ? 2 (3)令 g ( x) ? 。 ? ???( x ? 1) ,则 g ?( x) ? x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2
令 h( x) ? x ? ln x ? 2 ,则 h?( x) ? 1 ?
1 ? 0 ,故 h( x) 在 (1, ??) 上单调递增, x

而 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 。
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所以 g ( x) 在 (1, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增, 故 [ g ( x)]min ? g ( x0 ) ?
x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 。 x0 ? 1 x0 ? 1

由题意有 k ? [ g ( x)]min ? x0 , 又k ?Z , 所以 k 的最大值是 3。 x0 ? (3, 4) , (13 分)

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