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(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法,练习及答案

(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法,练习及答案


高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数), an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和: Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

n ?p ? q 性质: (1) 若m?

, 则 am ? an ? ap ? aq

(2) ; ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn

( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数) 2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1qn?1 . an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意公比 q ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq 3.求数列通项公式的常用方法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n } 是以 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a1 2 3 ? ? 1 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解: an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

,得

二、累加法

an ? an?1 ? f (n)

例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

1

解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则
n ?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 n ?1 3 3 3 3

三、累乘法

an ? f ( n) a n ?1

例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!
n ?1

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

例 5 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。

2

解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2)




? (n ?1)an?1 ? nan

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

四、待定系数法(重点) 例 6 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ④

将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2an ? 2x ? 5n ,等式两边消去 2an ,得
n 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 x ? 5n , 两边除以 5 , 得3? 5 x?2, x 则 x ?? 1 ,

代入④式得 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )

例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 n?1 n ,则 ? ,代入⑥式得 an?1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2 ? 2) 4 ? y ? 3 y ? ?y ? 2



例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z)
3



将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18)
五、对数变换法



5 例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取常用对 ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an

数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2



设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) 六、迭代法

11 ○

3( n ?1)2 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。

n

3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an?1 ? an ,所以 an ? an ?1

n

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?? ?2

n? 2

n?1

七、数学归纳法 例 11 已知 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。(其他方法呢?) 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

4

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1),(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

八、换元法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

5

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 九、不动点法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 3 1 bn ? ,可化为 bn ?1 ? 3 ? (bn ? 3) , 2 2 2

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两个 4x ?1 4x ?1

不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
十、倒数法

a1 ? 1,an?1 ?

2an ,求 an an ? 2

4. 求数列前 n 项和的常用方法
一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

6

3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
3 n

[例 1]求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和.
2

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二、错位相减法(等差乘等比) [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2

三、倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把 它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn

(反序)

7

0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

①+②得 ∴
2 ? 2

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
? 2 ? 2 ? 2 ?

[例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值 解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得
2 ? 2 ? 2 ? S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? s i n 3 ?si n 2 ?si n 1 …………..②

(反序)

又因为 sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1
? 2 2

①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、 等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解, 然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n)

sin 1? (2) ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
8

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9] 求数列

[例 10] 在数列{an}中, an ? 的和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? [例 11] 求证: cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
解:设 S ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

(裂项)

∴S ? =

(裂项求和)

1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} ? sin 1


1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = sin 1? sin 1? sin 2 1?

∴ 原等式成立

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时, 可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ cosn ? ? cos( 180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···
9

+(cos89°+ cos91°)+ cos90° = 0 [例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002. 解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

(合并求和)

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
……

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5 [例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和
10

(合并求和)

先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的 规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解: 由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ? =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)



1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?? 1 ?? ??? ? 1) ? ? 9 9 ?? n个1
1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9
1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1





[例 16] 已知数列{an}: a n ?

数列练习
一、选择题 1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
1 2
2

B. 为等差数列,

2 2

C.

2
,则 等于

D.2

2.已知 A. -1

B. 1

C. 3

D.7

3. 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a4 是 a3与a7 的等比中项 , S8 ? 32 , 则

S10 等于
A. 18 B. 24
11

C.

60

D.

90 .

4 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 A.13 B.35 C.49 D. 63

5.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2

(C)

1 2

(D)2

6.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

2 7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9 .

8.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n2 ? n

9.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 二、填空题 1 设等比数列 {an } 的公比 q ?
1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4

B. 100

C. 145

D. 190 .



2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 比数列. 3.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 4. 等比数 列 { an } 的公 比 q ? 0 , 已 知 a2 =1 , an?2 ? an?1 ? 6an ,则 { an } 的 前 4 项和 , ,

T16 成等 T12

S4 =

.
12

数列练习参考答案
一、选择题
1.【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的

公比为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

2. 【 解 析 】 ∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。【答案】B
2 3. 答 案 : C 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

S8 ? 8a1 ?
选C

56 d ? 32 得 2

则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ? 2a1 ? 7 d? 8

90 d ? 60 ,.故 2

4.解: S7 ? 或由 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

? a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? a6 ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2
7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2
d=-

所以 S7 ?

5.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ?

1 【答案】B 2

6.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2 7.【答案】C【解析】因为 ?an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0,

得:2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 ×2=38,解得 m=10,故选.C。

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1) 2
1 或 2

8.【答案】A 解析设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) ,解得 d ?

n(n ? 1) 1 n 2 7n d ? 0 (舍去),所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? ? ? ? 2 2 4 4
9.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2

二、填空题 1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充 分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系.

13

【解析】对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

.

2.答案:

T8 T12 , 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列 T4 T8
.

和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 3. 【解析】 : 设等差数列 {an } 的公差为 d , 则由已知得 ?

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

? a1 ? 3 , 所以 ?d ? 2

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

15 n?1 n n?1 2 【解析】由 an?2 ? an?1 ? 6an 得: q ? q ? 6q ,即 q ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 , 2 1 (1 ? 2 4 ) 1 15 解得:q=2,又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 2 2 1? 2
4.【答案】

三、大题 1.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 1).求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? 2).设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

2.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;
? an ? ? n ?1 ? (II)求数列 ? 2 ? 的前 n 项和.

14

2*.已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 12 ,且 2a1, a2 , a3 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)记 bn ?
an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

3. 已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+) (1)证明:数列{an+1-an }是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式

4.已知数列 ?an ? 的各项满足: a1 ? 1 ? 3k (k ? R) , an ? 4n?1 ? 3an?1 . (1) 判断数列 {a n ?
4n } 是否成等比数列;(2)求数列 ?an ? 的通项公式 7

15

5.已知等差数列 ?an ? 和正项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? 1 , a3 ? a7 ? 10 , b3 = a4 (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式 (2)若 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn

16


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