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2019年高中数学 3.1.3 可线性化的回归分析课件 北师大版选修2-3_图文

2019年高中数学 3.1.3 可线性化的回归分析课件 北师大版选修2-3_图文

北师大版数学课件

精品资料整理

-1-

1.3

可线性化的回归分析

1.通过对典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应 用. 2.结合具体的实际问题,了解可线性化回归问题的解题思路. 3.体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用.

1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的散点图,从散点图 中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合. 【做一做 1 】 x,y 的取值如下表 :
x y 0.2 0.04 0.6 0.36 1.0 1 1.2 1.4 1.4 1.9 1.6 2.5 1.8 3.2 2.0 3.98 2.2 4.82

则 x,y 之间的关系可以选用函数 答案:y=x2

进行拟合.

2.对于非线性回归模型如果能化为线性回归模型,则可先将其转化为 线性回归模型,从而得到相应的回归方程. (1)幂函数曲线 y=ax .作变换 u= ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数 u=c+bv. (2)指数曲线 y=ae .作变换 u=ln y,c=ln a,得线性函数 u=c+bx. (3)倒指数曲线
y=a e .作变换 bx b

u= ln y,c=ln a,v= ,得线性函数 u=c+bv.

1

(4)对数曲线 y=a+bln x.作变换 v= ln x,得线性函数 y=a+bv.

【做一做 2 】 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统 计得到数据如下 :
x y x y 1 10.15 20 1.62 2 5.52 30 1.41 3 4.08 50 1.30
1

5 2.85 100 1.21

10 2.11 200 1.15

检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数 之间是否具有线性相关关系;如 有,求出 y 对 x 的回归方程. 分析:本题是非线性回归问题,要通过变量置换,把非线性回归问题转化 为线性回归问题,然后利用解决线性回归问题的方法处理.

解:令 u= ,原题中所给数据变成如下表所示的数据 :
u y u y
10 =1

1

1 10. 15 0.05 1.62

0.5 5.52 0.03 1.41

0.33 4.08 0.02 1.30

0.2 2.85 0.01 1.21

0.1 2.11 0.005 1.15

∵ =0.224 5,=3.14, ∑ uiyi=1×10.15+0.5×5.52+…+0.005×1.15=15.204 55, ∑ 2 =12+0.52+…+0.0052=1.412 825, ∑ 2 =10.152+5.522+…+1.152=171.803,
10 10

=1

=1

∴ r=

=1 10 =1

∑ -10
2 =1

10

∑ 2 -10

∑ 2 -10

10

≈0.999 8.
2

由此可以得出 u 与 y 之间具有较强的线性相关关系.回归系数
∑ -10
=1 10

b= =1 10

∑ 2 -10

2

≈8.973,

a=3.14-8.973×0.224 5≈1.126, ∴ y=8.973u+1.126. ∴ y 对 x 的回归方程为 y=
8.973 +1.126.

根据原始数据求拟合函数应注意的事项 剖析:(1)可先由原始数据作散点图. (2)对于一些函数模型的图形要熟悉. 如 :①幂函数曲线 y=axb.

②指数曲线 y=aebx.

③倒指数曲线

y=a e .

④对数曲线 y=a+bln x.

(3)由散点图找出拟合函数的类型. (4)将非线性函数转化为线性函数. (5)求出回归方程.

题型一

题型二

题型一

求拟合线性函数

【例 1】 某地今年上半年患某种传染病人数 y 与月份 x 之间满足的函数关 系模型为 y=aebx,确定这个函数解析式.
月份 x 人数 y 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83

分析:函数模型为指数型函数,可转化为线性函数,从而求出.

题型一

题型二

解:设 u= ln y,c=ln a,则 u=c+bx. 由已知得下表 :
x u=ln y
6 =1

1 3.951 2
6 =1

2 4.110 9
6

3 4.219 5

4 4.304 1

5 4.356 7
6

6 4.418 8

∑ xi=21, ∑ ui≈25.361

6 2 2, ∑ =91, ∑ 2 ≈107.347 =1 =1

6, ∑ xiui≈90.344
=1

2, =3.5, ≈4.226 9,
∑ -6
2 ∑ 2 -6 =1 6

b= =1 6

=

90.344 2-6×3.5×4.226 9 91-6×3.5
2

≈0.090 2,

题型一

题型二

c= -b =4.226 9-0.090 2×3.5=3.911 2, ∴ u=3.911 2+0.090 2x. ∴ y=e3.911 2·e0.090 2x=e0.090 2x+3.911 2. 基础函数模型为指数函数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求 出回归直线方程.

题型一

题型二

题型二

可线性化的回归分析的应用

【例 2】 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表 :
身高 x/cm 体重 y/kg 身高 x/cm 体重 y/kg 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15. 02 160 47. 25 110 17.50 170 55.05

(1)画出散点图. (2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年 男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系 ?试写出这个函数模型的解析式. (3)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为 偏瘦,那么这个地区一名身高为 175 cm,体重为 78 kg 的在校男生的体重是 否正常 ?

题型一

题型二

解:(1)作散点图如图所示.

题型一

题型二

(2)从散点图可看出函数曲线符合指数曲线 y=aebx. 设 u=ln y,c=ln a,则 u=c+bx.
x u x u
12 i=1

60 1.813 2 120 3.040 7
12 i=1

70 2.066 9 130 3.290 6

80 2.301 6 140 3.437 5
12

90 2.497 3 150 3.659 7
12

100 2.709 4 160 3.855 5

110 2.862 2 170 4.008 2

∑ xi=1 380,∑ ui=35.542
12

8, ∑ i2=173 i=1 =

000, ∑ xiui=4 369.283,
i=1

=115, =2.961

9,b= i=1 12

∑ i i-12
i=1

4 369.283-12×115×2.961 9 173 000-12×115
2

∑ 2 i -12

2

≈0.019

7,c= -b =2.961 9-0.019 7×115=0.696 4, ∴ u=0.696 4+0.019 7x,y=e
0.696 4

·e

0.019 7x

=e

0.019 7x+0.696 4

.

题型一

题型二

(3)∵ x=175 时,u=4.143 9, ∴ y=e =e
u 4.143 9

≈63.048 2.

78 ≈1.237>1.2,此男子偏胖. 63.048 2

根据给出的数据,画出散点图,选择散点图所符合的函数曲线再转化 为线性关系解答.

1

2

3

4

1 可以对下列数据 x,y 之间的关系进行拟合的函数是(
x y 1 2 2 2.69 3 3 4 3.38 5 3.6 6 3.8 7 4 8 4.08 9 4.2

)
10 4.3

A.y=2+ x
1 C.y=2e

1 3

B.y=2ex

D.y=2+ln x 解析:选项 C 中的函数在区间(0,+∞)内为减函数,不合题意. 选项 B 中当 x=10 时,y=2·e10,远远大于 4.3,不合题意. 选项 A 中当 x=8,9,10 时,函数值与所给数值偏差较大,不合题意.故选 D. 答案:D

1

2

3

4

2 指数曲线 y=aebx 的图像可以是(

)

解析:∵ y=aebx,∴ a>0 时 y>0,排除选项 A,C,且 x∈R,排除选项 D,选 B. 答案:B

1

2

3

4

3 若 x,y 的取值如下表 :
x y x y 0.4 0.082 5 0.818 7 0.5 0.135 10 0.904 8 1 0.367 8 20 0.951 2 0.607 30 0.967 5

则 x,y 之间的关系可以用函数

进行拟合.

1

2

3

4

解析:画出散点图,当 x 无限大时,y 逐渐接近于 1,符合倒指数曲线 其中 a=1,b=-1.所以可以用函数 y= e 答案:y= e
1

y=a e .

-

1 来进行拟合.

1

2

3

4

4 在一化学反应过程中某化学物质的反应速度 y(g/min)与一种催化剂 的量 x(g)有关,现收集了 8 组数据列于表中,试建立 y 与 x 之间的回归方程.
催化剂量 x/g 反应速度 y/(g/min) 15 6 18 8 21 30 24 27 27 70 30 205 33 65 36 350

1

2

3

4

解:根据收集的数据作散点图如图所示:

根据样本点分布情况,可选用两种曲线来进行拟合. (1)可认为样本点集中在某二次曲线 y=c1x +c2 的附近.令 t=x ,则变换后
2 2

样本点应该分布在直线 y=bt+a( b=c1,a=c2)的周围.

1

2

3

4

由题意得变换后 t 与 y 的样本数据如下表 :
t y 225 6 324 8 441 30 576 27 729 70 900 205 1 089 65 1 296 350

作 y 与 t 的散点图,如图所示,

由 y 与 t 的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围 , 因此不宜用线性回归方程 y=bt+a 来拟合,即不宜用二次曲线 y=c1x +c2 来 拟合 y 与 x 之间的关系.
2

1

2

3

4

(2)根据 x 与 y 的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数曲线 y=c1e2 x 的周围. 令 z=ln y,则 z=c2x+ln c1, 即变换后样本点应该分布在直线 z=bx+a(a= ln c1,b=c2)的周围. 由 y 与 x 数据表可得 z 与 x 的数据如下表 :
x z 15 1.792 18 2.079 21 3.401 24 3.296 27 4.248 30 5.323 33 4.174 36 5.858

1

2

3

4

作出 z 与 x 的散点图,如图所示 :

由散点图可观察到图中的点大致在一条直线附近,所以可用线性回归 方程来拟合. 由 z 与 x 数据表,得到线性回归方程 z=0.181 2x-0.849 2, 所以非线性回归方程为 y=e
0 .181 2x-0.849 2

.

因此,该化学物质反应速度对催化剂的量的非线性回归方程为 y=e0.181 2
-0.849 2

.


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