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广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学(理)试题 Word版含解析

广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学(理)试题 Word版含解析

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梅州市高三总复习质检试卷(2014.3) 数学(理科)
一、选择题.
1.设集合 M={x|x2+x-2<0, x ? R },N={x|0<x≤2},则 M∩N=( A、 (-1,2) B、 (-2,1] C、 (0,1] D、 (0,1) )

2.在复平面内,复数 A、第一象限

5i 的对应点位于( 2?i
B、第二象限

) C、第三象限 D、第四象限

3.下列命题中的假命题是(
A.?x ? R, 2 x ?1 ? 0
D.?x ? R, tan x ? 2


B.?x ? N * ,( x ? 1)2 ? 0
C.?x ? R,ln x ? 1

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4.已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若a (a+b).则m =( A、2 B、-2 C、-3

) D、3

5.阅读右面的程序框图,则输出的 S=( A、14 B、20

) C、30

D、55

【答案】C 【解析】 试题分析:第一次循环, s ? 1, i ? 2, 第二次循环, s ? 1 ? 4 ? 5, i ? 3, 第三次循环,
s ? 5 ? 9 ? 14, i ? 4, 第四次循环, s ? 14 ? 16 ? 30, i ? 5 ? 4, 结束循环,输出 s ? 30.

考点:循环结构程序框图.

6.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是( A、

) D、

1 2

B、

1 6

C、

1 12

1 18

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7.如图, 设 D 是图中连长为 2 的正方形区域, E 是函数 y=x3 的图象与 x 轴及 x=±1 围成的 阴影区域,向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为( )

8.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对于任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具 有性质;

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(1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a; (2)对任意 a∈R,a*0=a; (3)对任意 a,b∈R, (a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c. 关于函数 f ( x ) = (2 x )*

1 的性质,有如下说法: 2x 1 1 ), ( , + ∞) . 2 2
C、2 D、3

①函数 f ( x ) 的最小值为 3;②函数 f ( x ) 为奇函数; ③函数 f ( x ) 的单调递增区间为(?∞ , ? 其中所有正确说法的个数为( A、0 B、1 【答案】B 【解析】 )

二、填空题
(一)必做题(9-13 题) 9.函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0
x ?2 ? x, x ? 0

,则 f ( f (0)) 的值为____________.

10. (2 x ? 1) 的展开式中 x 3 的项的系数是____________.(用数字作答)
5

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x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲线 11.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 25 16
C 的方程是____________. 【答案】

x2 y 2 ? ?1 9 16

12. 已知集合 A={x|x2-2x-3>0 },B={x|ax2+bx+c≤0},若 A∩B={x|3<x≤4}, A∪B=R,则

b2 a ? 的最小值为____________. a c2

13.已知函数 f(x)=x-[x] ,其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数,若关于 x 的方程

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f(x)=kx+k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是____________.

考点:根据函数图像求交点个数

(二)选题题(14-15 题,只能选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t ? 3 ?y ? 3?t

(参数 t ? R) ,圆 C 的参数方程是 ? 距离为____________.

? x ? 2cos ? (参数θ ? R) ,则圆 C 的圆心到直线 l 的 ? y ? 2sin ? ? 2

15.(几何证明选讲选做题)如右图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的割线 PAB 和 PCD,PCD 过圆
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心 O,已知 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于____

【答案】 6 【解析】 试题分析:设半径为 r ,则 PC ? PO ?PC ? 3?r , PD ? PO ? OD ? 3 ? r .根据割线定理 可得 PA ? PB ? PC ? PD ,即 1? (1 ? 2) ? (3 ? r )(3 ? r ) ,所以 9 ? r 2 ? 3, r 2 ? 6 ,所以

r ? 6.
考点:切割线定理.

三、解答题
16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间; (2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB=

?
2

) 的部分图象

4 ,求 sinC 的值。 5

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由图象可得 f ( x) 的单调减区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z . 3

??6 分

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17.(本小题满分 12 分)某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频 率分布直方图,如图所示. (1)请根据图中所给数据,求出 a 的值; (2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的成绩都在[60,70) 内的概率; (3)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生中随机选取 3 人的 成绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数学期望.

【答案】 (1) a ? 0.03 , (2)

28 27 (3) EX ? . 11 55
3

X
P

1

2

3 55

24 55

28 55
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【解析】 试题分析: (1)利用频率分布直方图中各小长方形面积表示概率,且所有小长方形面积和为 1,得等量关系 a ?

1 ? (0.005 ? 0.0075 ? 0.0225 ? 0.035) ?10 ? 0.1 ? 0.07 ? 0.03 , (2)先 10

确定成绩在 [50,70) 内的学生

(2)学生成绩在 [50,60) 内的共有 40×0.05=2 人,在 [60,70) 内的共有 40×0.225=9 人, 成绩在 [50,70) 内的学生共有 11 人. ?????4 分

设“从成绩在 [50,70) 的学生中随机选 3 名,且他们的成绩都在 [60,70) 内”为事件 A, 则 P( A) ?
3 C9 28 ? . 3 C11 55

所以选取的 3 名学生成绩都在 [60,70) 内的概率为 (3)依题意, X 的可能取值是 1,2,3.

28 . 55

???6 分

??????7 分

P( X ? 1) ?

2 1 C2 C9 3 ? ; 3 C11 55 1 2 C2 C9 24 ? ; 3 C11 55

P( X ? 2) ?

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P( X ? 3) ? P ( A) ?
所以 X 的分布列为

28 . 55

?????10 分

X
P

1

2

3

3 55

24 55

28 55

EX ? 1?

3 24 28 27 ? 2 ? ? 3? ? . 55 55 55 11

???????12 分

考点:频率分布直方图, 分布列和数学期望.

18.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,BC⊥平面 PAB, AB=BC=

1 PB,∠APB=30°,M 为 PB 的中点。 2

(1)求证:PD∥平面 AMC; (2)求锐二面角 B-AC-M 的余弦值。

【答案】 (1)详见解析. (2)

7 . 7

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解: (1)证明:连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , 四边形 ABCD 是平行四边形,∴点 O 为 BD 的中点. ???? 2 分

∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线, ∴ OM ?? PD . ???? 4 分

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC . ?????6 分

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在 Rt ?MGF 中, cos?MGF ?

GF ? MG

2 2 3? 1 2

?

7 . 7

二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

7 . 7

???? 14 分

考点:线面平行判定定理,二面角的求法.

19.(本小题满分 14 分)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N*) 。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列。 (I)在数列{ dn }中是否存在三项 dm , dk , d p (其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列?若 存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由;

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(II)求证:

1 1 1 ? ? ? d1 d 2 d3

1 15 ? (n ? N * ) . d n 16

两式相减: an?1 ? 3an (n ? N ,n ? 2) .
*

??????2 分

又 a2 ? 2a1 ? 2 , 因为数列 ?an ? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 . 所以 an ? 2 ? 3
n ?1

.

??????4 分

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(Ⅱ)令 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ...... ? , d1 d 2 d3 dn
Tn ? 2 3 4 n ?1 ? ? ? ...... ? , 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 4 n ?1 Tn ? ? ? ? ... ? , 1 2 3 3 4 ?3 4 ? 3 4?3 4 ? 3n

????11 分

两式相减:

2 2 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? ? ...... ? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 1? 3 5 2n ? 5 ? ? 8 8 ? 3n
????13 分

Tn ?

15 3(2n ? 5) 15 ? ? .. 16 16 16 ? 3 n

??????14 分

考点:等比数列通项,错位相减法求和.

20.(本小题满分 14 分)如图,椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A,M 是椭圆 C 上异 m
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点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称。 (1)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(2)若椭圆 C 上存在点 M,使得 OP⊥OM,求 m 的取值范围。

【答案】 (1) m ?

? 1 3? 4 0, ? ,(2) ? ?. ? 7 ? 2 4 ?

因为 A ? ?1, 0 ? , P ? ? ,

?9 4 3? ? ?, 5 5 ? ?
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所以 点 M 的坐标为 ? ?5, 5 ? ? . ???2 分 ? ? 由点 M 在椭圆 C 上, 所以

?2 2 3?

4 12 4 ? ? 1 ,解得 m ? . 25 25m 7

????4 分

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax2+ln(x+1) 。 (1)当 a=-

1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; 4

(2)当 x ? [0, ??) 时,函数 y=f(x)图象上的点都在 ? 求实数 a 的取值范围。 2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? (3)求证: (1 ? 2?3 3? 5 5?8

?x ? 0 所表示的平面区域内, ?y ? x ? 0

? [1 ?

(2

n ?1

2n ] ? e (e 为自然对数的底数) ? 1)(2 n ? 1)

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? x ? 0, (2)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,则当 x ? [0, ??) 时, ?y ? x ? 0

不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立, 设 g ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,只需 g ( x)max ? 0 即可. 由 g ?( x) ? 2ax ? ?? 4 分

1 x[2ax ? (2a ? 1)] ?1 ? , x ?1 x ?1 ?x ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , x ?1
???5 分

(ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ?

函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ①

x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单 2a 2
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调递增,
g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不满足条件;

考点:利用导数求单调区间,不等式恒成立,利用导数证明不等式.

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