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2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套课件新人教A版选修4_5

2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套课件新人教A版选修4_5

命题热 点关注 本 讲 知 识 归 纳 与 达 标 验 收 考点一 高频考 点例析 第 三 讲 考点二 考点三 阶段质 量检测 ?考情分析 从近两年高考来看,对本部分内容还未单独考查,可也不能 忽视,利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平 方”,利用排序不等式证明成“对称”形式,或两端是“齐次 式”形式的不等式问题. ?真题体验 1.(陕西高考)设 a,b,m,n∈R ,且 a2+b2=5,ma+nb=5, 则 m2+n2 的最小值为________. 解析:由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,将 已知代入得 m +n ≥5? b n”时等号成立. 2 2 a m +n ≥ 5, 当且仅当“m= 2 2 答案: 5 2.(福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. 解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立,所以 f(x)的最小值等于 3, 即 a=3. (2)由(1)知 p+q+r=3,又因为 p,q,r 是正实数, 所以 (p2+ q2+ r2)(12+ 12+ 12)≥(p×1+ q×1 + r×1)2 = (p+ q+ r)2=9, 即 p2+q2+r2≥3. 利用柯西不等式证明有关不等式问题 2 2 2 2 柯西不等式的一般形式为(a1 +a2 2+?+an)(b1+b2+?+ 2 b2 ) ≥ ( a b + a b +?+ a b ) n 1 1 2 2 n n (ai,bi∈R,i=1,2,?,n),形 式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使 一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解. [例 1] 已知 a,b,c,d 为不全相等的正数,求证: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + > + + + . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da [证明] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由柯西不等式( 2+ 2+ 2+ 2)( 2+ 2+ 2+ 2)≥( + ab bc a b c d b c d a 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ) ,于是 2+ 2+ 2+ 2≥ + + + ① cd da a b c d ab bc cd da 1 1 1 1 a b c d b c d a 等号成立? = = = ?a=b=c =d 1 1 1 1 b c d a ?a=b=c=d.又已知 a,b,c,d 不全相等,则①中等号不成立. 1 1 1 1 1 1 1 1 即 2+ 2+ 2+ 2>ab+bc+cd+da. a b c d 利用排序不等式证明有关的不等式问题 排序不等式具有自己独特的体现: 多个变量的排列与其 大小顺序有关, 特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式 问题,利用排序不等式解决往往很简捷. [例 2] 设 a,b,c 为实数,求证: a12 b12 c12 10 10 10 bc + ca + ab ≥a +b +c . [证明] 12 由对称性,不妨设 a≥b≥c, 12 12 1 1 1 于是 a ≥b ≥c ,bc≥ca≥ab. 由排序不等式:顺序和≥乱序和得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc + ca + ab ≥ ab + bc + ca = b + c + a .① 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ,a≤b≤ c, 11 11 11 再次由排序不等式:反序和≤乱序和得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a + b + c ≤ b + c + a .② 由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 + + ≥ a + b + c . bc ca ab 利用柯西不等式或排序不等式求最值问题 有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的 限定.其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处 理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理 往往比较容易. 15 [例 3] 已知 5a +3b = ,求 a2+2ab+b2 的最大值. 8 ?? 5? ? ? ? ?? ?2 ? 3 ?2 ? [解] ∵?? ? +? ? ?[( 5a)2+( 3b)2] ?? 5 ? ? 3 ? ? 2 2 ? ≥? ? ? ? 5 3 ? × 5a+ × 3b?2 5 3 ? 2 2 2 3 5 =(a+b) =a +2ab+b ,当且仅当 5a=3b 即 a= ,b= 8 8 8 时取等号.∴ ×(5a2+3b2)≥a2+2ab+b2. 15 8 8 15 2 2 ∴a +2ab+b ≤ ×(5a +3b )= × =1. 15 15 8 2 2 ∴a2+2ab+b2 的最大值为 1. [例 4] 已知正实数 x1, x2, ?, xn 满足 x1+x2+?+xn=P, 2 2 2 x - x1 x2 x n 1 2 n P 为定值,求 F= + +?+ x + 的最小值. x2 x3 x1 n 1 1 1 [解]不妨设 0<x1≤x2≤?≤xn 则 ≥ ≥?≥x >0 x1 x2 n 2 2 且 0<x1 ≤x2 2≤?≤xn. 1 1 1 1 1 ∵ , ,?,x , 为序列{x }的一个排列. x2 x3 x1 n n 根据排序不等式,得 xn-1 x2 x2 x2 1 2 n F= + + ? + x + x2 x3 x1 n 2 1 2 1 2 1 ≥x1· +x2· +?+xn· xn=x1+x2+?+xn x1 x2 2 P =P(定值),当且仅当 x1=x2=?=xn=n 时取等号. 2 2 2 x - x1 x2 x

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