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[配套K12]2018高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第4节 垂直关系课时分层训练 文 北师大版

[配套K12]2018高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第4节 垂直关系课时分层训练 文 北师大版

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课时分层训练(三十九) 垂直关系
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2017·西安六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平 面,下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( ) A.α ⊥β 且 m α B.α ⊥β 且 m∥α C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 α ∥β C [由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知 C 正确.] 2.(2017·天津河西模拟)设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的 是( ) A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l∥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β B [A 中,α ∥β 或 α 与 β 相交,不正确.B 中,过直线 l 作平面 γ ,设 α ∩γ =l′, 则 l′∥l, 由 l⊥β ,知 l′⊥β ,从而 α ⊥β ,B 正确. C 中,l∥β 或 l β ,C 不正确. 对于 D 中,l 与 β 的位置关系不确定.] 3.如图 7?4?10,在正四面体 P?ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个 结论不.成.立.的是( )

A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC D [因为 BC∥DF,DF 平面 PDF, 教育配套资料 K12

图 7?4?10

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BC 平面 PDF,

所以 BC∥平面 PDF,故选项 A 正确.

在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC,

所以 BC⊥平面 PAE,则 DF⊥平面 PAE,从而平面 PDF⊥平面 PAE.因此选项 B,C 均正确.]

4.(2017·南昌二模)已知 α ,β 是两不重合的平面,直线 m⊥α ,直线 n⊥β ,则“α ,

β 相交”是“直线 m,n 异面”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

B [分别垂直于两个相交平面的两条直线可能异面,也可能相交,所以“α ,β 相交”

不一定有“直线 m,n 异面”;而当直线 m,n 异面时,两个平面不可能平行,否则若 α ∥

β ,则必有 m∥n,与直线 m,n 异面矛盾.因此“α ,β 相交”是“直线 m,n 异面”的必

要不充分条件,故选 B.]

5.如图 7?4?11,在三棱锥 D?ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命

题中正确的是( )

图 7?4?11 A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BCD C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE C [因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE. 因为 AC 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC 平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE.] 二、填空题 6.如图 7?4?12 所示,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确 的条件即可)DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) [由定理可知,BD⊥PC.

图 7?4?12 ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,有 PC⊥平面 MBD. 教育配套资料 K12

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又 PC 平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD.] 7.如图 7?4?13,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧 面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________.
【导学号:66482338】

图 7?4?13

π 3

[取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,则 AE⊥平面 BB1C1C.

所以∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.

设三棱柱的所有棱长为 a, 在 Rt△AED 中, AE= 23a,DE=a2. 所以 tan∠ADE=DAEE= 3,则∠ADE=π3 . 故 AD 与平面 BB1C1C 所成的角为π3 .] 8.(2016·全国卷Ⅱ)α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β . ②如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n. ③如果 α ∥β ,m α ,那么 m∥β . ④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) ②③④ [对于①,α ,β 可以平行,也可以相交但不垂直,故错误. 对于②,由线面平行的性质定理知存在直线 l α ,n∥l,又 m⊥α ,所以 m⊥l,所以
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m⊥n,故正确. 对于③,因为 α ∥β ,所以 α ,β 没有公共点.又 m α ,所以 m,β 没有公共点,
由线面平行的定义可知 m∥β ,故正确. 对于④,因为 m∥n,所以 m 与 α 所成的角和 n 与 α 所成的角相等.因为 α ∥β ,所
以 n 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等,所以 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等, 故正确.]
三、解答题 9. (2015·北京高考)在三棱锥 V?ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形, AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点.

(1)求证:VB∥平面 MOC;

图 7?4?14

(2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB;

(3)求三棱锥 V?ABC 的体积. [解] (1)证明:因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,

所以 OM∥VB. 3 分

又因为 VB? 平面 MOC,所以 VB∥平面 MOC. 5 分 (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC⊥AB.

又因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC 平面 ABC,

所以 OC⊥平面 VAB. 所以平面 MOC⊥平面 VAB. 8 分

(3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= 2, 所以 AB=2,OC=1.

所以等边三角形 VAB 的面积 S△VAB= 3. 9 分 又因为 OC⊥平面 VAB,

所以三棱锥 C?VAB 的体积等于13OC·S△VAB= 33.

又因为三棱锥 V?ABC 的体积与三棱锥 C?VAB 的体积相等,所以三棱锥 V?ABC 的体积为 33. 12 分

10.⊙O 的直径 AB=4,点 C,D 为⊙O 上两点,且∠CAB=45°,F 为 BC 的中点.沿直

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教育配套资料 K12 径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 7?4?15②).





图 7?4?15

(1)求证:OF∥平面 ACD;

(2)在 AD 上是否存在点 E,使得平面 OCE⊥平面 ACD?若存在,试指出点 E 的位置;若

不存在,请说明理由.

[解] (1)证明:由∠CAB=45°,知∠COB=90°,1 分

又因为 F 为 的中点, 所以∠FOB=45°,因此 OF∥AC,3 分

又 AC 平面 ACD,OF 平面 ACD, 所以 OF∥平面 ACD. 5 分 (2)存在,E 为 AD 中点, 因为 OA=OD,所以 OE⊥AD. 7 分 又 OC⊥AB 且两半圆所在平面互相垂直. 所以 OC⊥平面 OAD. 9 分 又 AD 平面 OAD,所以 AD⊥OC, 由于 OE,OC 是平面 OCE 内的两条相交直线, 所以 AD⊥平面 OCE. 又 AD 平面 ACD, 所以平面 OCE⊥平面 ACD. 12 分
B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·贵州贵阳二模)如图 7?4?16,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点, 沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 P,P 点在 △AEF 内的射影为 O,则下列说法正确的是( )

A.O 是△AEF 的垂心 教育配套资料 K12

图 7?4?16

教育配套资料 K12 B.O 是△AEF 的内心 C.O 是△AEF 的外心 D.O 是△AEF 的重心 A [由题意可知 PA,PE,PF 两两垂直, 所以 PA⊥平面 PEF,从而 PA⊥EF, 而 PO⊥平面 AEF,则 PO⊥EF,因为 PO∩PA=P, 所以 EF⊥平面 PAO, 所以 EF⊥AO,同理可知 AE⊥FO,AF⊥EO, 所以 O 为△AEF 的垂心.]
2.如图 7?4?17,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角 的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________ 时,CF⊥平面 B1DF.
图 7?4?17 【导学号:66482339】
a 或 2a [∵B1D⊥平面 A1ACC1,∴CF⊥B1D. 为了使 CF⊥平面 B1DF,只要使 CF⊥DF(或 CF⊥B1F). 设 AF=x,则 CD2=DF2+FC2, ∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a 或 x=2a.] 3.(2016·四川高考)如图 7?4?18,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠ PAB=90°,BC=CD=12AD.
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教育配套资料 K12 图 7?4?18
(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. [解] (1)取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为所求的一个点. 理由如下:连接 CM,
因为 AD∥BC,BC=12AD, 所以 BC∥AM,且 BC=AM. 2 分 所以四边形 AMCB 是平行四边形, 所以 CM∥AB. 又 AB 平面 PAB,CM? 平面 PAB, 所以 CM∥平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)5 分 (2)证明:由已知,PA⊥AB,PA⊥CD, 因为 AD∥BC,BC=12AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 所以 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 8 分 因为 AD∥BC,BC=12AD,M 为 AD 的中点,连接 BM, 所以 BC∥MD,且 BC=MD, 所以四边形 BCDM 是平行四边形, 所以 BM=CD=12AD,所以 BD⊥AB. 又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD 平面 PBD,所以平面 PAB⊥平面 PBD. 12 分
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