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统计学_图文

统计学_图文

例1.某一商店为了了解居民对某种商品的需 要,抽查了100户,得出每月平均需要量为 10斤,样本方差为9斤,如果这个商店供应 10,000户,问最少应准备多少这种商品才 , 能以95%的概率满足需要。?已知Z0.05 ? 1.645

? Z0.025 ? 1.96,t0.05 (99) ? 1.665 ,t0.025 (99) ? 1.99 。

解:首先对以95%的概率总体均值作区间估计。 2 X ? 10 斤, S ? 9斤,n ? 100 ,从而选择 Z 统计量。 已知

由 ? ? 0.05 ,得 Z 0.025 ? 1.96。由此可得:

置信下限为: X ? Z ?
2

置信下限为: X ? Z ?
2

3 ? 9.412 (斤) 10 n S 3 ? 10 ? 1.96 ? ? 10.588 (斤) 10 n ? 10 ? 1.96 ?

S

∵ ∴
www.kqzl0.com www.gfkqyy.com www.024kqyy.com www.gfkouq.com www.sykqyy0.com www.gfkqyy0.com www.kqyy66.com www.jilkq88.com www.jilkq01.com www.jlkq123.com www.gfyykq.com www.syyykq.com

10.588×10000=1058820(斤), 最少应准备105880斤这种商品才能以 95%的概率满足需要。

例2.一个电视节目主持人想了解观众对某个电视 专题节目的喜欢情况,他选取了500个观众作样本, 结果发现喜欢该节目的有175人。试以95%的概率估计 已知Z0.05 ? 1.645 , 观众喜欢这一专题节目的区间范围。?

? Z0.025 ? 1.96,t0.05 (499) ? 1.645 ,t0.025 (499) ? 1.96 。
解: ∵

∴ ∴

175 n ? 500,p ? ? 35%,np ? 175 ? 5,n( 1 ? p) ? 325 ? 5, 500 P( 1 ? P) p ~ N ( P, ) 。 n

置信下限为:
p ? Z?
2

p(1 ? p) 35% ? 65% ? 35% ? 1.96? ? 30.82%; n 500

置信上限为:
p ? Z?
2

p(1 ? p) 35% ? 65% ? 35% ? 1.96? ? 39.18%。 n 500

即有95%的概率可以认为喜欢这一专题的 观众在30.82%到39.18%之间。

例3.某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋,测得每 袋重量(单位:克),计算出 x ? 791.1, S ? 17.136 ,假 设重量服从正态分布,要求在5%的显著性水平下,求这 已知Z ? 1.645 , 批食品的平均每袋重量的置信区间。?
? Z0.025 ? 1.96 ,t0.05 (9) ? 1.833 ,t0.025 (9) ? 2.262 。
0.05

解:已知 n ? 10, x ? 791 .1,S ? 17.136, ∴ 选择 t 统计量。 。 当 ? ? 0.05 时,有 t0.025 (9) ? 2.262 ∴ 置信下限:x ? t 0.025 置信上限:x ? t 0.025
S n
S n

? 791.1 ? 2.262?

17.136 10
17.136 10

? 778.84 (克)

? 791.1 ? 2.262?

? 803.36 (克)

∴ 有95%的把握这批食品的平均每袋重 量在778.84克到803.36克之间。

例4.某制造厂质量管理部门的负责人希望估计移交给 接收部门的5500包原材料的平均重量。一个由250包 原材料组成的随机样本所给出的平均值 x ? 65千克 。 总体标准差 ? ? 15千克。试构造总体平均值 ? 的置 信区间,已知置信概率为95%,总体为正态分布。

?已知Z0.05 ? 1.645 ,Z0.025 ? 1.96 ,t0.05 (249 ) ? 1.645 , ? t0.025 (249) ? 1.96 。
解:已知总体服从正态分布,所以样本均值也服从 已知x ? 65, ? ? 15 。 正态分布。 。 由此可得: 由? ? 0.05, 得Z0.025 ? 1.96
15 x ? z0.025? / n ? 65 ? 1.96? 250 ? 65 ? 1.86

即包装材料的平均重量在63.14~66.86千克之间。 即有95%的把握说包装材料的平均重量介于63.14和 66.86千克之间。

例5.某企业人事部经理认为,该企业职工对工作环境 不满意的人数占职工总数的1/5以上。为了检验这种 说法,从该企业随机调查了职工100人,其中有26人表 示对工作环境不满意。试问在0.10的显著性水平下, ? 已知Z0.10 ? 1.282 , 调查结果是否支持这位经理的看法。
? Z0.05 ? 1.645 ,t0.05 (9) ? 1.833 ,t0.025 (9) ? 2.262 。

解: H 0:P ? p0 ? 20%, H1:P ? p0 ? 20%。 ∵ ∴ ∴
n ? 100,
p? 26 ? 26 %, 100

np ? 26, n(1 ? p) ? 74。

选用Z统计量。

即:

Z?

0.26 ? 0.2 ? 1.5 0.2 ? (1 ? 0.2) 100





? ? 0.10,

∴ ∵


有Z0.10 ? 1.282 。

Z ? ?Z 0.10,
在0.10的显著性水平下,调查结果支持这位 经理的看法。

例6.某食品厂用自动装袋机包装食品,每袋标准 重量为50克,每隔一定时间随机抽取包装袋进行 检验。现随机抽取10袋样本,测得其平均重量为 50.20克,样本标准差为0.62克。若每袋重量服 从正态分布,试以10%的显著水平检验每袋重量 是否符合要求。? 已知Z0.10 ? 1.282 ,Z0.05 ? 1.645 ,

? t0.05 (9) ? 1.833 ,t0.025 (9) ? 2.262 。

解:建立假设, H 0:? ? 50,

H1:? ? 50。

因为总体方差未知且为小样本,
x?? 。 故采用t统计量: t ? S n



x ? 50.2,S ? 0.62,n ? 10,



50.2 ? 50 t? ? 1.02。 0.62 10

。 由于? ? 0.1, 自由度为10-1=9, t0.05 ?9? ? 1.833



t ? t0.05 ?9? 。

故在10%的显著水平下,接受原假设,即每 袋重量符合要求。

例7.根据过去大量资料,某厂生产的产品的使用寿命 服从正态分布 N ?1020 , 1002 ? 。 现从最近生产的一批产 品中随机抽取16件,测得样本平均寿命为1080小时。 试在0.05的显著水平下判断这批产品的使用寿命是否 已知Z0.05 ? 1.645 ,Z0.025 ? 1.96 , 有显著提高? ?

? t0.05 (249) ? 1.645 ,t0.025 (249) ? 1.96 。
x ? ?0

解: H0:? ? 1020 ,H1:? ? 1020 。
1080? 1020 统计检验量z ? ? ? 2.4 ? 100 n 16

由? ? 0.05 ,查表得临界值 z? ? z0.05 ? 1.645

由于 z ? 2.4 ? z? ? 1.645 ,所以应拒 绝 H 0 而接受 H1 ,即这批产品的使用寿命 确有显著提高。

例8.某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均价值 低于480000元。从40间房屋组成的一个随机样本得出 的平均价值为450000元,标准差为120000元。试问在 0.05的显著水平下,这些数据是否支持这位经纪人的 说法? ? 已知Z0.05 ? 1.645 ,Z0.025 ? 1.96 ,t0.05 (39) ? 1.684 ,

? t0.025 (39) ? 2.021 。

。 , H1:? ? 480000 解: H 0:? ? 480000

x ? ?0 450000? 480000 统计检验量z ? ? ? ?1.581 S 120000 n 40

由? ? 0.05 ,查表得临界值 z? ? z0.05 ? 1.645

由于 z ? ?1.581? z? ? 1.645,所以接受 H 0 , 即在0.05的显著水平下,这些数据支持这位经纪 人的说法。

例9.估计成本是回归分析在会计学上的一个重要应 用。根据收集到的产量和成本数据,求出关于才产 量和成本的回归方程,从而使会计师能够估计某一 特定行业生产过程的成本。现有下面某一制造业的 产量和总成本的样本数据:
产量(件) 400 450 550 600 700 750

总成本(万元) 4.0

5.0

5.4

5.9

6.4 7.0

⑴建立回归方程。 ⑵生产中的固定成本是多少?生产每单位产品的可 变成本是多少?

解:列表计算如下:
序号 产量 x 1 400 2 450 3 550 4 600 5 700 6 750 成本 y 4.0 5.0 5.4 5.9 6.4 7.0

x

2

xy
1600 2250 2970 3540 4480 5250

160000 202500 302500 360000 490000 562500

合计

3450

33.7

2077500

20090

(1 ) ∴
? ? ? 1

? x y ? nxy ? 20090 ? 6 ? 575 ? 5.62 ? 712 .5 ? 0.0076, ? x ? n?x ? 2077500 ? 6 ? 330625 93750
i i 2 i 2

? ? y?? ? x ? 5.62 ? 0.0076? 575? 1.25 ? 。 0 1



回归方程为:

? ? 1.25 ? 0.0076x y

(2)由回归方程知:生产中的固定成本是1.25万元, 生产每单位产品的可变成本是0.0076万元。

例10.有两个变量,即亩产量 y 和施肥量 x 。已知: 。试求: x ? 27,y ? 380 ,l xy ? 985.5,l xx ? 101.2,l yy ? 12995 (1)相关系数 r ; (2) y 对的 x 线性回归方程。 解:(1) r ? l l xx yy (2 )
lxy 985.5 ? ? 0.86。 101.2 ? 12995



l xy 985.5 ? ?1 ? ? ? 9.74, lxx 101.2

? ? y?? ? x ? 380? 9.74? 27 ? 117.07, ? 0 1



所求回归方程为:

? ? 117.07 ? 9.74x。 y

例11.某企业1990——1995年化肥产量资料如下:
时间 199 0年 1991年 第八个五年计划期间 1992年 1993年 1994年 1995年

化肥产量 300 (万吨) 定基增长量 — (万吨) 环比发展速 度(%) — 110

35

50 105 95

要求:(1)利用指标间的关系将表中所缺数字补齐; (结果保留1位小数) (2)按水平法计算该地区第八个五年计划期间 化肥产量年平均增长速度。

解:(1)、
时间 化肥产量 (万吨) 1990年 第八个五年计划期间 1991年 1992年 1993年 1994年 1995年

300
— —

330
30 110

335
35 101.5

350
50 104.5

367.5
67.5 105

349.1 49.1 95

定基增长 量(万吨)
环比发展 速度(%)

(2)、∵ ∴

x ? 5 110 % ?101 .5% ?104 .5% ?105 % ? 95% ? 103 .1%,

该地区第八个五年计划期间化肥产量的平 均增长速度是103.1%-100%=3.1%。

例12.某企业养殖场乳牛头数及产奶量资料如下:
月份 1 2 3 4

月初乳牛头数(头)

120

112
37400

130
45800

140
46000

全月产奶量(千克) 38000

试求第一季度平均每月的产奶量;第一季度平均 每月每头乳牛的产奶量。 解: 第一季度平均每月产奶 量 ? 38000 ? 37400 ? 45800 ? 40400 (公斤)
3

第一季度平均每月每头 乳牛产奶量 ?

第一季度平均每月产奶 量 第一季度平均每月乳牛 数 40400 40400 ? ? ? 325.81 (公斤) 120 140 124 ? 112? 130? 2 2 3

例13.已知某公司上年12月至本年6月的商品库存资料 如下表:
12月 1月 2月 3月 4月 5月 6月

月末库存(单位:万元) 500 月平均库存(单位:万元) -

510

514 526
533 549 564

(1)计算并填写上表中的空缺数据; (2)计算第二季度的月平均库存量。 解:(1)
12月 1月 2月 3月 4月 5月 6月

月末库存(单位:万元) 500 月平均库存(单位:万元) -

510
505

514 526 540 558 570 512 520 533 549 564

(2 )
526 570 ? 540? 558? 2 ? 548.67(万元) 第二季度月平均库存量? 2 3

533 ? 549 ? 564 或? ? 548 .67 (万元 ) 3

例14.我国“九五”期间有关资料如下:
年 度 1995 1996 1997 1998 1999 2000

国内生产总值 (亿元)
年末总人口 (万人)

58478.1
121121

67884.6 74462.6 78345.1 82054.3 88618.6
122389 123626 124810 125909 127017

另1994年末全国总人口为119850万人。 计算:(1)“九五”时期我国年人均国内生产总值; (2)“九五”时期人均国内生产总值平均每年 的增长速度。

解:(1) “九五”时期平均年人均国内生产总值:
67884 ?6 ? 74462 ?6 ? 78345 ?1 ? 82054 ?3 ? 88618 ?6 121121 ? 122389? 123626? 124810? 125909? 127017 2 2 391365 ?2 ? ? 0.6304 亿元 / 万人 620803

(2 ) 58478 .1 1995年人均国内生产总值:119850 ? 121121
88618 .6 2000年人均国内生产总值:125909 ? 127017

? 0.4854 (亿元 / 万人 ) 2
? 0.7007 (亿元 / 万人 ) 2

“九五”时期人均国内生产总值年平均增长速度为:
5

7007 ? 100% ? 7.62% 4854

例15.某企业的有关资料如下:
商品名称 计量单位 甲 乙 双 千克 商品销售额

丙 丁

件 只

基期 400 1400 225 100

报告期 450 1440 392 98

报告期价格比基期 降低的% 10 4

2 2

试根据以上资料计算: (1)加权调和平均数物价总指数: (2)由于物价降低使居民节约的金额。

解:(1)
加权调 P 1Q1 和平均 ? KP ? 数物价 P0Q1 总指数 Q1 P 450? 1440? 392? 98 ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 Q P ? 450 ? ? 1440 ? ? 392 ? ? 98 ? K 1 1 0.9 0.96 0.98 0.98 P

? ?

?

2380 ? 95.2% 2500

(2 )

由于物价降 低使居民 =-(2380-2500)=120。 节约的金额

例16.某企业三种产品的生产情况如下表:
商品名称 甲 乙 丙 单位 尺 个 件 单位成本(元) 基期 报告期 5 6 8 12 10 15 产量 基期 报告期 400 500 500 150 600 200

试运用指数体系对该企业三种产品的总成本变动 进行因素分析。

解:
单位成本(元) 产量 商品名称 Z0 Q0 Q1 Z1
甲(尺) 乙(个) 丙(件) 合计 5 8 12 - 6 10 15 - 400 500 150 - 500 600 200 -

基期 Z 0 Q0
2000 4000 1800 7800

报告期 假定期 Z 0 Q1 Z1Q1
3000 6000 3000 12000 2500 4800 2400 9700

(1 )

总 支 出 指 数

QZ ? ?K ? ?Q Z
0

1 1 0

?

12000 ? 153 .85% 7800

总支出变动额

? ?Q1Z1 ? ?Q0 Z0 ? 12000? 7800? 4200 (元)

(2 )
产 量 指 数
QZ ? ? ?Q Z
1 0

? KQ

0 0

?

9700 ? 124.36% 7800

由于产量 (元) 变动引起 ? ?Q1Z0 ? ?Q0 Z0 ? 9700? 7800? 1900 的变动额

(3 )
成 本 指 ? KZ ? 数

?Z Q ?Z Q
1 0

1 1

12000 ? ? 123.71% 9700

由于成本 (元) 变动引起 ? ? Z1Q1 ? ? Z0Q1 ? 12000? 9700? 2300 的变动额

(4)指数体系:
K ? KQ ? KZ ? 124.36%?123.71% ? 153.85%

?Q Z ? ?Q Z
1 1 0

0

? (? Q1Z 0 ? ? Q0 Z 0 ) ? (? Z1Q1 ? ? Z 0Q1 ) ? 1900 ? 2300 ? 4200 (元)

例17.某企业的产品生产费用情况如下表:
产 品 甲 乙 丙 合 计
实际总费用(万元) 报告期 基 期 产品单位 成本降低%

780 520 450 1750

750 500 480 1730

5 3 2 —

要求:(1)计算企业生产费用总指数; (2)用加权调和平均数计算企业全部产品单 位成本总指数; (3)分析产品单位成本的降低,对企业生产 总费用的影响情况。

解:
实际总费用(元) 产 品 报告期( Z1Q1 ) 基 期( Z 0 Q0 ) 假定期( Z 0 Q1 ?
Z1Q1 ) KZ

KZ (% )
95
97 98


乙 丙 合计

780
520 450 1750

750
500 480 1730

821.05
536.08 459.18 1816.31

(1 )
K?

?Q Z ?Q Z
1 0

1 0

?

1750 ? 101.12% 1730

(2 )
KZ

ZQ ? ? ?Z Q
1 0

1 1

1750 ? 96.35% ? 1816 .31

(3 )

?Z Q ? ?Z Q
1 1 0

1

? 1750? 1816 .31 ? ?66.31 (万元)

例18、某商店三种商品的销售情况如下表所示:
商品名称 皮鞋 呢大衣 单位 双 件 价格(元) 销售量

线手套



基期 25 140 0.5

报告期 基期 报告期 28 4000 5000 160 500 550 0.6 800 1000

要求:(1)三种水果的销售额总量指数; (2)分析销售量和价格变动对销售额的 影响程度和影响绝对额。

解:列表计算如下:
商品名称 皮鞋

基期
Q0 P0

报告期 Q1P 1
140000

假定期
Q1P0

100000

125000

呢大衣 线手套 合计

7000 400 170400

88000 600 228600

77000 500 202500

所以有:
Q P 228600 ? K? ? ? 134.15% ? Q P 170400 ? Q P ? ? Q P ? 228600? 170400? 58200(元)
1 1 0 0 1 1 0 0

Q P 202500 ? K ? ? ? 118.84% ? Q P 170400 ? Q P ? ? Q P ? 202500? 170400? 32100(元) P Q 228600 ? K ? ? ? 112.89% ? P Q 202500 ? PQ ? ? P Q ? 228600? 202500? 26100(元)
1 0 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 P 0 1 1 1 0 1

建立指数体系:
K ? 134.15% ? K Q ? K P ? 118.84?112.89%

? PQ ? ? P Q
1 1 0

0

? 58200? 32100? 26100 (元)

分析说明:该商店报告期与基期相比销售额 增长了34.15%,增加销售额了58200元,这是由 于三种产品的销售量平均增长了18.84%,使销售 总额增长了18.84%,增加了32100元,销售价格 平均增加了12.89%,使销售总额增加了12.89%, 增加了26100元,两个因素共同作用的结果。

例19.某公司的销售情况情况如下表:
商品 甲 乙 丙 实际销售额(万元)

1998年
240 485 480

1997年
200 450 350

销售量个体指数(%) 125 110 140

合计

1205

1000



要求:(1)计算全公司销售量总指数; (2)分析销售量的变动对销售额的影响。 解:(1)、 销售额 总指数
QP ? ?K ? ?Q P
1 1

?

0 0

240 ? 485 ? 480 1205 ? ? 120 .5% 200 ? 450 ? 350 1000

(2)、先求销售量指数 K Q
KQ QP ? ? ?Q P K QP ? ? ?Q P
1 0 0 0
Q 0 0

0 0

?

200 ? 125 % ? 450 ? 110 % ? 350 ? 140 % 1000

?

250 ? 495 ? 490 1235 ? ? 123 .5% 1000 1000

计算销售量变动的绝对额:

(万元)。 ?Q P ? ?Q P ? 1235?1000? 235
1 0 0 0

计算结果表明,该公司98年的销售额比97年增长 了20.5%,是由于三种产品的销售量平均增长23.5%, 使销售总额增长了23.5%,由于销售量的增加而使得销 售总额增加了235万元。


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