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高中数学人教版A选修2-1教学课件:2.4.1《抛物线及其标准方程》_图文

高中数学人教版A选修2-1教学课件:2.4.1《抛物线及其标准方程》_图文

2.4.1《抛物线及其标准方程》 教学目标 ? 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图 形,能够求出抛物线的方程,能够解决 简单的实际问题. ? 教学重点:求出抛物线的方程. ? 教学难点:抛物线标准方程的推导过程. 2.4.1抛物线及其 标准方程 喷泉 球在空中运动的 轨迹是抛物线规律 , 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 又到底是一条怎样的 抛物线? 复习回顾: 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征: 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e>1时,是双曲线; l l M M l F · F · e>1 · M · F 0< e < 1 e=1 那么,当e=1时,它又是什么曲线 ? 提出问题: L 是不经过点 F 的定直线。 如图,点 F 是定点, H 是L 上 任意一点,过点 F 作MH ? L ,线段FH的垂直平分线m交 MH于点M,拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M 满足的几何条件吗? L H M 几何画板观察 F 问题探究: 当e=1时,即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么? 探 究 ? H M · C · F l e=1 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. 一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点, H d M · C · F 焦 点 准线 l 直线l 叫抛物线的准线 e=1 MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样? d 为 M 到 l 的距离 二、标准方程的推导 解法一:以 L为 y 轴,过点 F 垂直于L 的直线为 x 轴建 立直角坐标系(如下图所示),则定点F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y) ,由抛物线定义得:? ( x ? p) ? y ? x 2 2 y . M(X,y) 化简得:y ? 2 px ? 2 p 2 ( p ? 0) O . l F x 二、标准方程的推导 解法二:以定点 F 为原点,过点 F 垂直于 L 的直线为x 轴建 L 的方程 立直角坐标系(如下图所示),则定点F (0, 0) , 为x ? ? p 设动点 M ( x, y),由抛物线定义得 x2 ? y2 ? x ? p 化简得: y 2 ? 2 px ? p ( p ? 0) 2 二、标准方程的推导 解法三:以过F且垂直于 l 的直 y M(x,y) K o F 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得 p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2 2 l 两边平方,整理得 y ? 2 px( p ? 0) 这就是所求的轨迹方程. 三、标准方程 把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ? ﹒ ﹒﹒ ﹒ y y y o x o x o x o y x 方案(1) 方案(2) 方案(3) 方案(4) 图 l y O 形 标准方程 焦点坐标 准线方程 F l O x y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2 四.四种 p 抛物线的 x?? 2 对比 p P的意义:抛物 x? 2 线的焦点到准 线的距离 y F x y F O l x p 方程的特点: y?? 2 (1)左边是二次 p y? 2 y l O F x p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置. P66思考: 二次函数 y ? ax 2 (a ? 0) 么是抛物线? 的图像为什 1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y a 2 2 1 ? ? ?2 p a 当a>0时与当a<0时,结论都为: 1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a y y=ax2 y=ax2+c y=ax2+bx+c o x 例1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =- 2 3 2 (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y 看图 (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =- 4 x 线的标准方程 看图 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y 课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; 4 (3)焦点到准线的距离是2。 (1)y2 = 20x (1) y2 =12x y2 =x 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (2)x2= 1 y 2 y2 =

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