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2.5等比数列的前n项和1_图文

2.5等比数列的前n项和1_图文

等比数列的前n项和 (第一课时)

等比数列的前n项和
一、教材分析 二、目标分析 三、过程分析 四、教法分析 五、评价分析

一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的 一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛 的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等 等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、 分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是 学生今后学习和工作中必备的数学素养.

一、教材分析
2.从学生的认知角度来看
学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从 公式的形成、特点等方面进行类比,这是认知的 有利因素.认知的不利因素有:本节公式的推导 与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同, 这对学生的思维定势是一个突破,另外,对于q=1 这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后 面使用的过程中容易出错.

一、教材分析
3.学情分析
教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有

一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思
维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因 而片面、不够严谨.

一、教材分析
4.重点、难点分析
本节课的重点是公式的推导、公式的特点和公式的
运用;难点是公式的推导方法及公式应用中q与1的

关系.
这样确定重点,既能夯实“双基”,又凸现 了掌握知识的三个层次:识记、理解和运 用.而公式推导用到了多种重要的数学思想方

法,所以既是重点又是难点.

二、目标分析
1.知识与技能目标
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、 公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之 有关的问题.

分析:这一目标体现了基础知识的落实、基 本技能的形成,这是数学教学的首要环节,也正 符合课程标准的要求.

二、目标分析
2.过程与方法目标
通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透
特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培 养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆

向思维的能力.

分析:因为数学教学的最终目的是通过思想方法 的渗透以及思维品质的锻炼,从而让学生在能力上 得到发展.

二、目标分析
3.情感、态度与价值观
通过对公式推导方法的探索与发现,优化
学生的思维品质,渗透事物之间等价转化和 理论联系实际的辩证唯物主义观点.

三、过程分析
创设情境, 提出问题 讨论交流, 延伸拓展 总结归纳, 加深理解 师生互动, 探究问题 变式训练, 深化认识 故事结束, 首尾呼应 类比联想, 解决问题 例题讲解, 形成技能

课后作业, 分层练习

1.创设情境,提出问题
引入:印度国际象棋发明者的故事

(西 萨)

设计意图:

设计这个情境目的是在引入课题的 同时激发学生的兴趣,调动学习的积极 性.故事内容紧扣本节课的主题与重 点.

设问:同学们,你们知道西萨要的
是多少小麦吗?

引导学生写出麦粒总数为

1+ 2+ 22 + 23 + ??? + 263 =

设计意图:
在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花 时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错 位相减法”,这样做有悖学生的认知规律:求和就想到相 加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马 上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来,因而在 教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生 学习的障碍.同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲, 引导学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下 伏笔.

2.师生互动,探究问题
探讨: 发明者要求的麦粒总数是: S64=1+2+22+· +263 · · ①

上式有何特点?
如果①式两边同乘以2得 2S64=2+22+23+·· 63+264 ② ·+2 比较①、②两式,有什么关系?

设计意图:

留出时间让学生充分地比较,等比数列 前n项和的公式推导关键是变“加”为 “减”,在教师看来这是“天经地义”的, 但在学生看来却是“不可思议”的,因此教 学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学 生的辩证思维能力的良好契机.

错位相减法
S64=1+2+22+23+·· 63 ·+2
2S64= 2+22+23+·· 63+264 ·+2




两式上下相对的项完全相同,把两式相减,就可以 消去相同的项,得到 s64 = 264 -1 .

反思: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以2 ?

设计意图:

学生经过繁难的计算之苦后,突然发现上述 解法,会惊呼:真是太简洁了!让学生在探索过 程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学 习数学的兴趣和学好数学的信心.

3.类比联想,解决问题
设等比数列?an ?,首项为a1,公比为q, 如何求前n和sn?

问题:

sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? ? ? a1q n?1
qsn ? a1q ? a1q 2 ? ? ? ? ? a1q n?1 ? a1q n

特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学生 自己探究公式,从而体验到学习的成功和愉快.

在教师的指导下,让学生从 设计意图:

a1 - a1 q n 探讨1:由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得n = s 1-q 对不对?q =1时 sn =? (这里引导学生对 q 进行分 类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下 基础.)

探讨2: 结合等比数列的通项公式

用 sn a1、an、q 表示出来?(引导学生得出公式的 另一形式)

an = a1q n-1 , 如何把

设计意图:

通过反问精讲,一方面使学生加深对知识 的认识,完善知识结构,另一方面使学生由简 单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从 而进一步提高分析、类比和综合的能力.这一 环节非常重要,尽管用时比较少,仅仅几句话, 然而却有画龙点睛的作用.

4.讨论交流,延伸拓展
思路1: sn = a1 + a1q + a1q 2 + ? ? ? + a1q n-1

= a1 + q( a1 + a2 ? ? ? ? + an-1 )
思路2:

a 2 a 3 a4 an = = = ??? = =q a1 a2 a3 an-1

设计意图:

以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学 生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都 可以化归到 sn ? a1 ? qsn?1 , 这其实就是关于 sn 的 一个递推式,递推数列有非常重要的研究价值,是 研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本, 又高于课本,对学生的思维发展有促进作用.

5.变式训练,深化认识
1: 求等比数列 1 , 1 , 1 , 1 , ? ? ? 前8项和. 2 4 8 16
1 , 1 , 1 , 1 , ? ? ?前多少项的和是 63 ? 1、 等比数列 2 4 8 16 64

2、 等比数列 1 , 1 , 1 , 1 , ? ? ?求第5项到第10项的和. 2 4 8 16
3、 等比数列 1 , 1 , 1 , 1 , ? ? ?求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16

设计意图:

采用变式教学题组,深化学生对公式的认 识和理解,通过直接套用公式——变式运用公 式——研究公式特点这三个层次的问题解决, 促进学生新的数学认知结构的形成.通过以上 形式,让全体学生都参与教学,培养学生的参 与意识和竞争意识.

6.例题讲解,形成技能
2:求和 1 + a + a 2 + a 3 + ? ? ? + a n?1 .

设计意图: 解题时,以学生分析为主,教师适时
给予点拨,该题有意培养学生对含有参数 的问题进行分类讨论的数学思想.

7.总结归纳,加深理解
提出问题,引导学生回顾公式及其推导方法,鼓励 学生积极回答,然后老师再从知识点及数学思想方法两 方面总结.

设计意图: 以此培养学生的口头表达能力,
归纳概括能力.

8.故事结束,首尾呼应
1 - 264 64 19 S64 = = 2 - 1 ≈ 1.84 ? 10 (粒) 1- 2 约7000亿吨

设计意图: 把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生
克服认知疲劳,促进积极思维.

9.课后作业,分层练习
选作: 思考题(1):求和 x + 2 x2 + 3 x3 + ? ? ? + nxn .
(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三 百八十一,请问尖头几盏灯?” 这个问题的答案是 多少?

设计意图:出选作题的目的是注意分层教学和
因材施教,为学有余力的学生提供思考的空间.

四、教法分析
对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去 脉,掌握公式的推导方法,理解公式的成立条件,充分 体现公式之间的联系.在教学中,我采用 “问题―― 探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规 律、总结规律、应用规律四个阶段. 利用多媒体辅助教学,直观地反映了教学内容,使 学生思维活动得以充分展开,从而优化了教学过程,大 大提高了课堂教学效率.

五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究,使学生从不同的 思维角度掌握了等比数列前n项和公式.错位相减:变 加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质; 等比定理:回归定义,自然朴实.学生从中深刻地领 会到推导过程中所蕴含的数学思想,培养了学生思维 的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性.同时通过精讲 一题,发散一串的变式教学,使学生既巩固了知识, 又形成了技能.在此基础上,通过民主和谐的课堂氛 围,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯,也 培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质.

敬请指导


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