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四川省南充高级中学高三4月模拟考试(三)数学(文)试题 Word版含答案

四川省南充高级中学高三4月模拟考试(三)数学(文)试题 Word版含答案

流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项 是符合题目要求的.
? ? 1.已知集合 A ? ??2, ?1, 0,1, 2? ,集合 B ? x | x2 ? 1 ,则 A B ? ( )

A.??2, ?1, 0,1?

B.?-1,1?

C.??1, 0?

D.??1, 0,1?

2.已知 i 是虚数单位,复数 ?2 ? i?2 的共轭复数为( )

A. 3 ? 4i

B. 3 ? 4i

C. 5 ? 4i

D. 5 ? 4i

3.设向量 m ? ?2x ?1,3? ,向量 n ? ?1, ?1? ,若 m ? n ,则实数 x 的值为( )

A.—1

B.1

C.2

D.3

4.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( )

A.24

B.120

C.360

D.720

5.已知圆的方程为 x2 ? y2 ? 6x ? 0 ,过点 ?1, 2? 的该圆的所有弦中,最短弦的长为( )

A. 1 2

B.1 C.2

D.4

6.已知双曲线 E : x2 ? y2 ? 1的左焦点为 F ,直线 x ? 2 与双曲线 E 相交于 A, B 两点,则 3

?ABF 的面积为( )

A.12

B.24

C. 4 3

D.8 3

7.函数

f

?x? ?

A

sin

??

x

?

?

?

? ??

A

?

0,?

? 0, ?

?

? 2

? ??

的部分图象如图所示,则函数

f

?x?

的解析式为( )

A.

f

?x?

?

2 sin

? ??

x

?

? 6

? ??

B.

f

?

x?

?

2

sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

C.

f

?

x?

?

2

sin

? ??

x

?

? 12

? ??

D.

f

?x?

?

2

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

?x ? 0

8.实数

x,

y

满足不等式组

?? ? ?

y x

? ?

0 y

?

1

?

0

,则 2x ? y 的最大值为( )

?? x ? 2 y ? 1 ? 0

A. ? 1 2

B.0

C.2

D.4

9.利用计算机产生 120 个随机正整数,其最高位数字(如:34 的最高位数字为 3,567 的最

高位数字为 5)的频数分布图如图所示.若从这 120 个正整数中任意取出一个,设其最高位

数字为 d ? d ? 1, 2,? ? ?, 9? 的概率为 P .下列选项中,最难反映 P 与 d 的关系是( )

A. P ? 1 d?2

D.

P

?

3 5

?

1 2d

B.

P

?

lg

? ??

1

?

1 d

? ??

?d ? 5?2
C. P ? 120

10.设 a, b 是不相等的两个正数,且 bln a ? a ln b ? a ? b ,给出下列结论:①

a ? b ? ab ? 1;② a ? b ? 2 ;③ 1 ? 1 ? 2 .其中所有正确结论的序号是( ) ab

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

11.某单位有 500 位职工,其中 35 岁以下的有 125 人,35-49 岁的有 280 人,50 岁以上的有

95 人.为了了解职工的健康状态,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本,需抽取

35 岁以下职工人数为

.

12.一个几何体的三视图如图所示,则几何体的体积为

.

13.已知 tan? ? 3,则 sin? cos? 的值是

.

? ? 14.已知函数 f ? x? ? 2x ? 2?x ,若不等式 f x2 ? ax ? a ? f ?3? ? 0 对任意实数 x 恒成

立,则实数 a 的取值范围是

.

9.如图,

A1 ,

A2

为椭圆

x2 9

?

y2 5

? 1的长轴的左、右端点, O 为坐标原点, S,Q,T 为椭圆

上不同于 A1, A2 的三点,直线 QA1, Q A2 , OS, OT 围成一个平行四边形 OPQR ,则

OS 2 ? OT 2 ?

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)

16.(本小题满分 12 分)
一种饮料每箱装有 6 听.经检测,某箱中每听的容量(单位: ml )如以下茎叶图所示.
(Ⅰ)求这箱饮料的平均容量和容量的中位数;
(Ⅱ)如果从这箱饮料中随机取出 2 听饮用,求取到的 2 听饮料中至少有 1 听得容量为 250 ml
的概率.

17. (本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且满足 a cos B ? bcos A.

(Ⅰ)判断 ?ABC 的形状;

(Ⅱ)求

sin

B

?

cos

? ??

A

?

? 6

? ??

的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

? ? 设数列 an 各项为正数,且 a2 ? 4a1, an?1 ? an2 ? 2an ? n ? N *? .
? ? (Ⅰ)证明:数列 log3 ?1? an ? 为等比数列; ? ? ? ? (Ⅱ)设数列 log3 an ? 1 的前 n 项和为Tn ,求使Tn ? 520 成立时 n 的最小值.
19. (本小题满分 12 分)

如图,在正方形 ABCD中,点 E, F 分别是 AB, BC 的中点,将 ?AED, ?DCF 分别沿 DE 、

DF 折起,使 A,C 两点重合于 P . (Ⅰ)求证:平面 PBD ⊥平面 BFDE ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? BFDE 的体积.

20. (本小题满分 12 分)
过点 C ? 2, 2? 作一直线与抛物线 y2 ? 4x 交于 A, B 两点,点 P 是抛物线 y2 ? 4x 上到直线

l : y ? x ? 2 的距离最小的点,直线 AP 与直线 l 交于点 Q . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)求证:直线 BQ 平行于抛物线的对称轴.
21. (本小题满分 12 分)设 a,b ? R ,函数 f ? x? ? 1 x3 ? ax2 ? bx ? 1, g ? x? ? ex ( e 为自
3
然对数的底数),且函数 f ? x? 的图象与函数 g ? x ? 的图象在 x ? 0 处有公共的切线.
(Ⅰ)求 b 的值;
(Ⅱ)讨论函数 f ? x? 的单调性; (Ⅲ)证明:当 a ? 1 时, g ? x? ? f ? x? 在区间 ? ??, 0? 内恒成立.
2

一、选择题 1. D 2.A 3.C 4.B 二、填空题

参考答案

5.C 6.A 7.B

8.D 9.B 10.D

11. 25

12. ?

13. 3 10

14. ? ?2, 6? 15. 14

三、解答题

16.本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法

分析和解决实际问题的能力,考查推理论证能力、应用意识。

(Ⅰ)由茎叶图知,这箱饮料的平均容量为 249 ? ?1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 1 ? 249 ,容量的中位 6

数为 249 ? 249 ? 249 .……………………4 分 2
(Ⅱ)把每听饮料标上号码,其中容量为 248 ml ,249 ml 的 4 听分别记作:1,2,3,4,容量为
250 ml 的 2 听分别记作:a, b ,抽取 2 听饮料,得到的两个标记分别记为 x 和 y ,则? x, y?
表示一次抽取的结果,即基本事件,从这 6 听饮料中随机抽取 2 听的所有可能结果有:
?1, 2?,?1,3?,?1, 4?,?1, a?,?1, b? ,

?2,3?,?2, 4?,?2, a?,?2,b?,?3, 4?,?3, a?,?3,b?,?4, a?,?4, b?,?a, b? .共计 15 种,即事件
总数为 15.

17.本题主要考查和差角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解 能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.

(Ⅰ)由 a cos B ? bcos A,根据正弦定理,得 sin Acos B ? sin Bcos A,即nis ? A ? B?0? .

在 ?ABC 中,有 ?? ? A ? B ? ? ,所以 A ? B ? 0 ,即 A ? B .所以 ?ABC 是等腰三角
形.………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ), A ? B ,则

sin

B

?

cos

? ??

A

?

? 6

? ??

?

sin

A

?

? ???

3 2

cos

A?

1 sin 2

? A ???

?

1 sin 2

A?

3 2

cos

A

?

sin

? ??

A

?

? 3

? ??

,因为

A?

B ,所以 0

?

A

?

? 2

,则 ? 3

?

A?

? 3

?

5? 6

,所以

1 2

?

sin

? ??

A?

? 3

? ??

? 1 ,于是

sin

B

?

cos

? ??

A

?

? 6

? ??

的取值范围是

? ??

1 2

,1???

.………………………………12



18.本题考查等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识,考查运算求解能
力.

? ? ? ? (Ⅰ)由已知, a2 ? a12 ? 2a1 ? 4a1 ,则 a1 a1 ? 2 ? 0 ,因为数列 an 各项为正数,所以

a1 ? 2 ,由已知, an?1 ? 1 ? ?an ? 1?2 ? 0 ? ,得 log3 an?1 ? 1? ? 2log3 ?an ?1? ,又
? ? log3 ?a1 ?1? ? 2log3 3 ? 1 ,所以,数列 log3 ?1 ? an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数

列.…………………………7 分

? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, log3 1? an ? 2n?1 ,所以Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1 .

由Tn ? 520 ,得 2n ? 521? n ? N *? .所以 n ? 10 ,于是Tn ? 520 成立时 n 的最小值为
10.……12 分 19.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能 力。
(Ⅰ)证明:连接 EF 交 BD 于 O ,连接 OP .在正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,所以 BE ? BF, DE ? DF ,所以 ?DEB ? ?DFB ,因此 ?BDE ? ?BDF ,

所以在等腰 ?DEF 中,O 是 EF 的中点,且 EF ? OD .因此在等腰 ?PEF 中,EF ? OP , 从而 EF ? 平面 OPD .又 EF ? 平面 BFDE ,所以平面 BFDE ⊥平面 OPD .即平面 PBD ? 平面 BFDE .………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知平面 POD ⊥平面 DEF ,易知,

OP ? OE ? OF ? 2 ,OD ? 3 2 , PD ? 2 ,由于 OP2 ? PD2 ? OD2 ? 18 ,所以

2

2

4

?OPD ? 90 .作 PH ? OD于 H ,则 PH ? 平面 DEF .在 Rt?POD 中,由

OD ? PH ? OP ? PD ,得 PH ? 2 ,又四边形 BFDE 的面积 3

S ? 1 EF ? BD ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 ,所以,四棱锥 P ? BFDE 的体积

2

2

V ? 1 S ? PH ? 4 .………12 分

3

9

20.本题主要考查抛物线的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解

能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

? ? (Ⅰ)设点 P 的坐标为 x0 , y0 ,则 y02 ? 4x0 ,所以,点 P 到直线 l 的距离

d?

x0 ? y0 ? 2 ? 2

y02 4

?

y0

?2

? y0 ? 2?2 ? 4

?

?

2

42

2 2

.当且仅当

y0

?

2 时等号成立,

此时 P 点坐标为 ?1, 2? .………………4 分

(Ⅱ)设点

? A 的坐标为 ?
?

y12 4

,

y1

? ? ,显然 ?

y1

?

2 .当

y1

?

?2 时,A 点坐标为 ?1, ?2?

,直线

AP

的方程为 x ? 1;当 y1 ? ?2 时,直线 AP 的方程为 y ? 2 ?

y1 y12

?2 ?1

?

x

?

1?

,化简得

4

4x ? ? y1 ? 2? y ? 2y1 ? 0 ,综上,直线 AP 的方程为 4x ? ? y1 ? 2? y ? 2y1 ? 0 ,与直线 l

的方程 y

?

x ? 2 联立,可得点 Q 的纵坐标为 yQ

?

2 y1 ? 8 y1 ? 2

,当

y12

?

8 时,直线 AC 的方

程为 x ? 2 ,可得 B 点的纵坐标为 yB ? ? y1 ,此时,

y0

?

2 y1 ? 8 y1 ? 2

?

2?

4 y1 ?

2

?

2?

4? y1 ? 2?
y12 ? 4

?

? y1 ,即知 BQ

/

/x

轴,当

y12

?

8 时,直线

AC 的方程为 y ? 2 ?

y1 y12

?2 ?2

?

x

?

2

?

,化简得

4

? ? ? ? ?4y1-8? x ? y12 ? 8 y ? 2y12 ? 8y1 ? 0,与抛物线方程 y2 ? 4x 联立,消去 x ,可得

? ? ? ? ? y1-2? y2 ? y12 ? 8 y ? 2y12 ? 8y1 ? 0 ,所以,点 B 的纵坐标为

yB

?

y12 ? 8 ? y1 ? 2

y1

?

2y1 ? 8 ,从而可得 BQ / y1 ? 2

/ x 轴,所以 BQ / / x 轴.…………13 分

21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推

理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与

转化等数学思想.

(Ⅰ) f ? x? ? x2 ? 2ax ? b, g '? x? ? ex ,由 f '?0? ? b ? g '?0? ? 1,得 b ? 1.…………2


(Ⅱ) f '? x? ? x2 ? 2ax ? 1 ? ? x ? a?2 ? 1? a2 .当 a2 ? 1时,即 ?1 ? a ? 1时,

f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 在定义域内单调递增.当 a2 ? 1时,
? ? ? ? ? ? f '? x? = x ? a ? a2 ?1 x ? a ? a2 ?1 ,此时,当 x ? ??, ?a ? a2 ?1 时, ? ? f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 单调递增;当 x ? ?a ? a2 ?1, ?a ? a2 ? 1 时, ? ? f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 单调递减;当 x ? ?a ? a2 ?1, ?? 时, f '? x? ? 0 ,从而

函数 f ? x? 单调递增.…………7 分

(Ⅲ)令 h ? x? ? g '? x? ? f '? x? ? ex ? x2 ? 2ax ? 1 ,则 h ?0? ? e0 ? 1 ? 0 ,

h '? x? ? ex ? 2x ? 2a ,令 ? ? x? ? h '? x? ? ex ? 2x ? 2a ,则 ? '? x? ? ex ? 2 .当 a ? 1 时,
2
? ?0? ? h '?0? ? 1 ? 2a ? 0 .又当 x ? 0 时, ? '? x? ? 0 ,从而 ? ? x? 单调递减;所以

? ? x? ? 0 ,故当 x ? ? ??, 0? 时, h ? x? 单调递增;又因为 h ?0? ? 0 ,故当 x ? 0 时,

h ? x? ? 0 .从而函数 g ? x? ? f ? x? 在区间 ? ??, 0? 单调递减;又因为 g ?0? ? f ?0? ? 0 ,所

以 g ? x? ? f ? x? 在区间 ? ??, 0? 恒成立.…………14 分


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