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高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.3 空间的角的计算含解析

高中数学苏教版选修2-1学案:3.2.3 空间的角的计算含解析


3.2.3 空间的角的计算 1.理解空间三种角的概念,能用向量方法求线线、线面、面面的夹角.(重 点、难点) 2.二面角的求法.(难点) 3.空间三种角的范围.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 空间角的向量求法 阅读教材 P106~P108 的部分,完成下列问题. 1.两条异面直线所成角的向量求法 若异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 a,b,l1,l2 所成的角为 θ,则 cos θ= |cos a,b |. 2.直线和平面所成角的向量求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,a 与 n 的夹角为 θ1,l 与 α |a· n| 所成的角为 θ2,则 sin θ2=|cos_θ1|= . |a||n| (1) 3.二面角的向量求法 (2) 设二面角 α?l?β 的大小为 θ, α, β 的法向量分别为 n1, n2, 则|cos θ|=|cos n2 |= ,θ 取锐角还是钝角由图形确定. |n1||n2| |n1· n2| n1, 图 3219 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( ) (2)若向量 n1,n2 分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的 余弦值为 cos〈n1,n2〉= .( |n1||n2| n1· n2 ) (3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角.( ) ) (4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补.( 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° ,则直线 l 与平 面 α 所成的角为________. 【解析】 由题意得,直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60° ,∴ 直线 l 与平面 α 所成的角为 90° -60° =30° . 【答案】 30° 3.异面直线 l 与 m 的方向向量分别为 a=(-3,2,1),b=(1,2,0),则直线 l 与 m 所成的角的余弦值为__________. 【解析】 ∵a· b=-3+4=1,|a|= b〉= = |a||b| a· b 70 = . 70 14· 5 70 70 1 9+4+1= 14,|b|= 5,∴cos〈a, 【答案】 4.已知二面角 α?l?β,α 的法向量为 n=(1,2,-1),β 的法向量为 m=(1, -3,1),若二面角 α?l?β 为锐角,则其余弦值为________. 【解析】 n· m 1-6-1 66 cos〈n,m〉= = =- . |n||m| 11 6· 11 66 11 又因二面角为锐角,所以余弦值为 66 11 . 【答案】 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 求两条异面直线所成的角 (1)如图 3220,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠ACB=90° ,AC= BC=2,AA1=4,若 M,N 分别是 BB1,CC1 的中点,则异面直线 AM 与 A1N 所成角的大小为________. 【09390086】 图 3220 (2)在三棱锥 DABC 中,DA⊥平面 ABC,DA=4,AB=AC=2,AB⊥AC, E 为 BC 中点, F 为 CD 中点, 则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为_______

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