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【配套K12】四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三数学4月月考试题 文

【配套K12】四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三数学4月月考试题 文

教育配套资料 K12

成都龙泉中学 2018 届高三下学期 4 月月考试题

数 学(文科)

(考试时间:120 分钟 全卷满分:150 分 )

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={0,1,2,3}, N={x|12<2x<4},则集合 M∩(CRN)等于

A.{0,1,2}

B.{2,3}

C.O/

D.{0,1,2,3}

2.复数 z ? 2i ( i 为虚数单位)所对应的的点位于复平面内 2?i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的外接球的体积



A. 3 ? 3

B. 16? 3

C. 26 ? 3

D. 32 3 ? 27

4..在递增的等比数列{an}中,已知 a1+an=34,a3·an-2=64,且前 n 项和 Sn=42,则 n=

A.3

B.4

C.5

D.6

5.已知实数 a ? 1.70.3, b ? 0.90.1, c ? log2 5, d ? log0.3 1.8 ,那么它们的大小关系是

A. c ? a ? b ? d C. c ? b ? a ? d

B. a ? b ? c ? d D. c ? a ? d ? b

?x ? y ? ?1

6.设变量

x



y

满足约束条件

? ?

x?

y

?4

,则目标函数 z

?

x ? 2 y 的最大值为

?? y ? 2

A. 5

B. 6

C. 13 2

D. 7

7.函数 f (x) ? ?x2 ? 2x , x ?[?1, 3] ,则任取一点 x0 ?[?1, 3] ,使得 f (x0 ) ≥ 0 的概率为

A. 1

B. 1

C. 2

D. 1

6

3

3

2

8.已知三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD,直线 AD 与底面 BCD 所成角为π3 ,

则此时三棱锥外接球的体积为

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A.8π

B.

2π 3

C4

2π 3

D.8

3

2 π

9.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是

A.1

B. 8

9

C. 2

D. 1

3

2

10.若数列{an}满足 a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前 n 项

和的值最大时,n 的值是

开始 k ?1
a ? 2,b ? 0 3

A.6

B.7

C.8

D.9

11.已知椭圆

x2 8

?

y2 b2

? 1 (b ?

0) 与

y 轴交于

A, B

两点,F1, F2

为该椭圆的

左、右焦点,则四边形 AF1BF2 面积的最大值为

A. 4

B. 4 3

C. 8

D. 8 3

12.若函数 f(x)=sin2x-12(x∈R),则 f(x)是

A.最小正周期为π2 的奇函数

B.最小正周期为π 的奇函数

b ? 1? a
否 输出 b
结束

C.最小正周期为 2π 的偶函数

D.最小正周期为π 的偶函数

a ? k ?(2)k 3
k ? k ?1
b?a


第Ⅱ卷(90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知向量 a ? (1, ?1) , b ? (?2, y) ,若 a / /b ,则 a ? b =

.

?x + y ? 2 ? 0,
14.若 x,y 满足 ??2x ? y ? 2 ? 0,则 z = 2x ? y 的最大值为____.
?? y ? 0,

15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积相等,且SS12 =94,则VV12的值是________.

16.下列四个命题: ①若△ABC 的面积为 23,c=2,A=60°,则 a 的值为 3;
②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4 成等比数列,则公差为﹣ ;

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③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为 5+2 ;

④在△ABC 中,若 sin2A<sin2B+sin2C,则△ABC 为锐角三角形.

其中正确命题的序号是

。(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ?1.

(1)求函数

f

(x)

的最小正周期及在区间

???0,

? 2

? ??

的值域;

(2)在 ?ABC 中, ?A , ?B , ?C 所对的边分别是 a , b , c , f (B) ? 3 , b ? 2 ,

a ? c ? 3b ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)

某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,

根据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间满足关系:

P

?

?
?? ?
? ??

1 6?x 2, 3

,1

? x ? c, x?c

(其中

c

为小于

6

的正常数)

(注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为

合格品)已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万

元,故厂方希望定出合适的日产量.

(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数;

(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

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19.(本小题满分 12 分)
在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 菱 形 , ?DAB ? 45 , PD ? 平 面 ABCD , AD ?1,点 E 为 AB 上一点,且 AE ? k ,点 F 为 PD 中点.
AB (1)若 k ? 1 ,求证:直线 AF // 平面 PEC ;
2 (2)是否存在一个常数 k,使得平面 PDE ? 平面 PAB ,若存在,
求出 k 的值;若不存在,说明理由。
20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 6x ? 0 关于直线 l1 : y ? 2x ?1 对称的圆为 C . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 (?1,0) 作直线 l 与圆 C 交于 A , B 两点, O 是坐标原点,是否存在这样的直
线 l ,使得在平行四边形 OASB( AB 和 OS 为对角线)中 | OS |?| OA ? OB | ?若存在,求出所有 满足条件的直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ex . x
(Ⅰ)求曲线 y ? f (x) 在点 P(2, e2 ) 处的切线方程; 2
(Ⅱ)证明: f (x) ? 2(x ? ln x) .
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 写清题号. 22.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方 程为ρ cos???θ -π3 ???=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点.
(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; 教育配套资料 K12

教育配套资料 K12 (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.
23.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
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成都龙泉中学 2018 届高三下学期 4 月月考试题

数 学(文科)参考答案

1—5 BBDAA

6—10 CDDBB

13. ?4

14. 4

3 15. 2

11—12 CD 16.①③

17.解:(1)

f (x) ?

3 sin 2x ? 2cos2 x ?1 ? 2 ?

3

sin

2x

?

cos

2x

?

2

=2

sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

2



所以 f (x) 的最小正周期 T ? 2π ? π , 2

0 ≤ x ≤ π,? π ≤ 2x ? π ≤ 7π ,

26

66

? ?1 ≤

2 sin

? ??

2x

?

π 6

? ??



2

,?1≤

2 sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

2



4



所以函数

f

(x)

在区间

???0,π2

? ??

的值域为 [1,4]



(2)由

f

(B)

?

3



2 sin

? ??

2B

?

π 6

? ??

?

2

?

3



又 π ? 2B ? π ? 13π ,?2B ? π ? 5π ,? B ? π ,

6

66

66

3

由 b ? 2 及余弦定理得: 4 ? a2 ? c2 ? 2ac cos60?,? (a ? c)2 ? 3ac ? 4 ,

又 a ? c ? 3b ,代入上式解得 ac ? 8 , 3

? △ABC 的面积 S ? 1 acsin B ? 1 acsin 60? ? 2 3 .

2

2

3

18.解:(Ⅰ)当 x ? c 时, P ? 2 ,?T ? 1 x ? 2 ? 2 x ?1 ? 0

3

3

3

2分

当1? x ? c 时, P ? 1 , 6?x

1

1

9x ? 2x2

?T ? (1? ) ? x ? 2 ? ( ) ? x ?1 ?

6?x

6?x

6?x 4分

综上,日盈利额T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为:

T

?

?9x ? 2x2 ? ? 6?x

,1 ?

x

?

c

?? 0, x ? c -6 分

(Ⅱ)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0 当1? x ? c 时,

T ? 9x ? 2x2 ? 15 ? 2[(6 ? x) ? 9 ] ?15 ?12 ? 3

6?x

6?x

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当且仅当 x ? 3 时取等号-8 分 所以 (i) 当 3 ? c ? 6 时,Tmax ? 3 ,此时 x ? 3

(ii)

当1?

c

?

3 时,由T ?

?

2x2 ? 24x ? (6 ? x)2

54

?

2(x ? 3)(x ? (6 ? x)2

9)

知函数 T

?

9x ? 2x2 6?x

在[1, 3] 上递增,?Tmax

?

9c ? 2c2 6?c

,此时

x

?

c -11



综上,若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润 若1? c ? 3 ,则当日产量为 c

万件时,可获得最大利润---12 分

19.(Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M.

∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? 1 CD . 2

∵ k ? 1 ,ABCD 为菱形∴ AE ? 1 AB ? FM ,且 AE∥FM∴AEMF

2

2

为平行四边形,∴AF∥EM.

P

F

M

∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC ,

D

C

∴直线 AF // 平面 PEC.

………………6 分

(Ⅱ)存在常数 k ? 2 ,使得平面 PED⊥平面 PAB . 2

A

E

B

∵ AE ? k , AB ? 1, k ? 2 ,∴ AE ? 2 .

AB

2

2

又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE. 又∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AB. 又∵ PD ? DE ? D ,∴AB⊥平面 PDE.

∵ AB ? 平面PAB ,∴平面 PED⊥平面 PAB.

…………………12 分

20.解析:(Ⅰ)圆 C1 化为标准方程为 (x ? 3)2 ? y2 ? 9 ,

设圆 C1 的圆心 C1(?3,0) 关于直线 l1 :y ? 2x ?1 的对称点为 C(a ,b) ,则 kCC 1 kt ? ?1,且 CC1 的

中点

M

? ??

a

? 2

3

,b 2

? ??

在直线

l1



y

?

2x

?

1

上,

所以有

? ??

a

b ?

3

?

2

?

???(a ? 3) ?

?
b 2

?1 ?1

?

0

,解得:

?a ??b

? ?

1 ?2



所以圆 C 的方程为 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 .

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(Ⅱ)由 | OS |?| OA ? OB |?| BA | ,所以平行四边形 OASB 为矩形,所以 OA ? OB .

要使 OA ? OB ,必须使 OA ? OB ? 0 ,即: x1x2 ? y1y2 ? 0 . ①当直线 l 的斜率不存在时,可得直线 l 的方程为 x ? ?1,与圆 C : (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 交于

两点 A(?1, 5 ? 2) , B(?1,? 5 ? 2) .

因为 OA ? OB ? (?1)(?1) ? ( 5 ? 2)(? 5 ? 2) ? 0 ,所以 OA ? OB ,
所以当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x ? ?1满足条件. ②当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) . 设 A(x1 ,y1) , B(x2 ,y2 )



?(x ?

? 1)2

?

(y

?

2)2

?

9

? y ? k(x ? 1)

得: (1 ? k2 )x2 ? (2k 2 ? 4k ? 2)x ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 .由于点 (?1,0) 在圆 C 内部,所以 ? ? 0 恒成

立,

x1

?

x2

?

?

2k2 ? 4k 1? k2

?

2



x1x2

?

k2 ? 4k ? 1? k2

4



要使 OA ? OB ,必须使 OA ? OB ? 0 ,即 x1x2 ? y1y2 ? 0 ,

也就是: x1x2 ? k 2 (x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0

整理得: (1? k2 ) k2 ? 4k ? 4 ? k2 ? 2k2 ? 4k ? 2 ? 0

1? k2

1? k2

解得: k ?1,所以直线 l 的方程为 y ? x ?1

存在直线 x ? ?1和 y ? x ?1,它们与圆 C 交于 A , B 两点,且平行四边形 OASB 对角线相等.

21.解:(Ⅰ)∵

f

(x)

?

ex x

,∴

f

'( x)

?

ex (x ?1) x2



f

'(2)

?

e2 4

,又切点为 (2, e2 2

)



所以切线方程为 y ? e2 ? e2 (x ? 2) ,即 e2 x ? 4 y ? 0 . 24

(Ⅱ)设函数 g(x) ?

f (x) ? 2(x ? ln x) ?

ex x

? 2x ? 2 ln x , g '(x) ?

(ex

? 2x)(x ?1) , x2

x ?(0, ??) ,

设 h(x) ? ex ? 2x , x ?(0, ??) ,则 h '(x) ? ex ? 2 ,令 h '(x) ? 0 ,则 x ? ln 2 ,

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所以 x ?(0,ln 2) , h '(x) ? 0 ; x ?(ln 2, ??) , h '(x) ? 0 .

则 h(x) ? h(ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,



g

'( x)

?

(ex

? 2x)(x x2

?1)

?

0

x

?1,

所以 x ? (0,1), g '(x) ? 0 ; x ?(1, ??) , g '(x) ? 0 ;

则 g(x)min ? g(1) ? e ? 2 ? 0 ,从而有当 x ?(0, ??) , f (x) ? 2(x ? ln x) .

22.(1)证明 由ρ cos???θ -π3 ???=1,得ρ ???12cos θ + 23sin θ ???=1.

因为?????xy= =ρρ

cos sin

θ θ

, ,

所以 C 的直角坐标方程为12x+ 23y=1,即 x+ 3y=2.
当θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0). 当θ =π2 时,ρ =2 3 3,所以 N???2 3 3,π2 ???. (2)解 由(1)可知 M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为???0,2 3 3???. 所以 P 点的直角坐标为???1, 33???, 则 P 点的极坐标为???2 3 3,π6 ???. 所以直线 OP 的极坐标方程为θ =π6 ,ρ ∈(-∞,+∞).

23.证明 (1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( a+ b)2>( c+ d)2. 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d, 则( a+ b)2>( c+ d)2, 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd,于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
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教育配套资料 K12 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
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