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山东省菏泽一中高中数学人教版选修2-1课件《圆锥曲线综合》_图文

山东省菏泽一中高中数学人教版选修2-1课件《圆锥曲线综合》_图文

圆锥曲线综合(二) 一 知识与方法 1、直线与圆锥曲线的位置关系: 1)相离 2)相切 几 何 角3)相交 度 没有交点 有一个交点 有两个交点 有一个交点 注意:只有一个交点时不一定相切 代数角度 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,可将直 线 l的方程代入曲线 C的方程,消去y(或 x)得一个关于 变 量 x( 或 y) 的 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 ( 或 ay2+by+c=0). (1)若a≠0,Δ=b2-4ac,则 ①Δ>0,直线l与圆锥曲线有 两 交点. ②Δ=0,直线l与圆锥曲线有 一 公共点. ③Δ<0,直线l与圆锥曲线 无 公共点. 椭圆 (2)若a=0,此时圆锥曲线不是________; 当圆锥曲线为双曲线时,l与双曲线的渐近线 平行或重合 ______ ; 当圆锥曲线为抛物线时,l与抛物线的对称轴 ______________ 平行或重合 . 2. 弦:直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦; 通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴, 此时焦点弦也叫通径。 = 3.设直线 Ax+By+C=0 与圆锥曲线 f(x,y)=0 相交于 A(x1, y1),B(x2,y2),则弦长 |AB|= 1+k |x1-x2|= (1+k )[(x1+x2) -4x1x2] = 1+ 2|y1-y2|= 1 2 2 2 k (1+ 2)[(y1+y2) -4y1y2]. 1 2 k 4、弦的中点问题 x2 y2 设 A( x1,y1),B (x2,y2)是椭圆 2 + 2=1 上不同的两点, a b 2 2 ? x y 1 ? 2+ 1 2 =1, ?a b 且 x1 ≠x2, x1+x2≠0, M(x0, y0)为 AB 的中点, 则? 2 2 x y 2 2 ? 2+ 2=1. ? ?a b 2 2 b y1-y2 y1+y2 b k k ?? 2 两式相减可得 · =- 2, AB OM a x1-x2 x1+x2 a x y 类似可得为双曲线 2- 2 = 1 时,有 a b 为抛物线 y2=2px( p>0)时,有 2 2 k AB kOM b2 ? 2 a . kAB ( y1 ? y2 ) ? 2 p . 友情提示: 一种方法 _-----点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆 锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的 两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜 率,然后利用中点求出直线方程. “ 点差法” 的常见题型有:求中点弦方程、求 (过定点、平行弦 ) 弦中点轨迹、垂直平分线问题. 必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否 为正数. 一条规律:“联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分 布找范围,曲线定义不能忘”. 典型例题 (A) 相交 2 2 x y 1.直线y=kx-k+1与椭圆 ? ? 1 的位置关系为( A 9 4 ) (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定 2. 已知双曲线方程 x2-y2=1,过 P(0 , 1)点的直线 l与双曲线 只有一个公共点,则l的条数为( A ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线 条数是( D ) (A)0 y x (B)1 (C)2 (D)3 y 0 x 0 例 3、 (1)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,- 15),则 E 的方程为( x2 y2 A. - =1 3 6 x2 y2 C. 6 - 3 =1 ). x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. 5 - 4 =1 解析 x2 y2 设双曲线的标准方程为 a2 - b2 =1(a>0,b>0),由题意 知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有: 2 2 ?x1 y1 ?a2-b2=1, ? 2 2 y2 ?x2 2- 2=1, ?a b y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 两式作差得: = 2 = = x1-x2 a ?y1+y2? -15a2 -15-0 4b2 =1,所以将4b2=5a2代入a2+b2= 2 ,又AB的斜率是 5a -12-3 2 2 x y 9得a2=4,b2=5,所以双曲线的标准方程是 4 - 5 =1. 答案 B (2)椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点, 2 C 是 AB 的中点, 若 AB=2 2, OC 的斜率为 , 求椭圆的方程. 2 解 法一 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 代入椭圆方程并作差得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =koc= , 2 x1-x2 x1+x2 代入上式可得 b= 2a. 再由|AB |= 1+k2|x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, 其中x1、x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根, ? 2b ? b-1 ? ?2 故?a+b? -4· =4, a+b ? ? 1 2 将b= 2a代入得a= ,∴b= . 3 3 x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 3 + 3 =1. 法二 2 2 ? ?ax +by =1, 由? ? ?x+y=1, 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 设A(x1,y1)、B(x2,y2), 2 4 b -4?a+b??b-1? 2 2 则|AB|= ?k +1??x1-x2? = 2· . 2 ?a+b? a+b-ab ∵|AB|=2 2,∴ =1.①

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